Ακόμα.. Μια πρώτη εκτίμηση...

#1

Αν είναι:
$\displaystyle{A=\frac{2\cdot \sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}, \ \ n\in N}$ με $\displaystyle{ n\geq 2}$

Τότε να δείξετε ότι είναι:

$\displaystyle{ A \geq 2(n+1)+(n-1)ln2 }$

mick7 · #2

Μια πειραματική επαλήθευση στο γνωστο πακετο Mathematica.Νομίζω χρήσιμη για να ελέγχουμε γρήγορα ανισότητες.

ksofsa · #3

Καλησπέρα!

Μια προσπάθεια...

Είναι $\dfrac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}=1+\dfrac{1}{\sqrt[n]{2}}+...+\dfrac{1}{(\sqrt[n]{2})^n}+...$ .

Θέτω $A=\dfrac{1}{\sqrt[n]{2}}+...+\dfrac{1}{(\sqrt[n]{2})^n}$ και παρατηρώ ότι:

$\dfrac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}=1+A+\dfrac{1}{2}A+\dfrac{1}{4}A+...=1+2A$ .

Συνεπώς , αρκεί $1+2A\geq n+1+\dfrac{n-1}{2}ln2\Leftrightarrow A\geq \dfrac{n}{2}+\dfrac{n-1}{4}ln2$ .

Θα αποδείξω ότι $\dfrac{1}{(\sqrt[n]{2})^{n-m}}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{mln2}{2n}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2^{1-\dfrac{m}{n}}}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{mln2}{2n}$ .

Θέτοντας $x=\dfrac{m}{n}$ , η ανισότητα γράφεται $\dfrac{1}{2^{1-x}}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{xln2}{2}\Leftrightarrow 2^x\geq 1+xln2\Leftrightarrow e^{xln2}\geq 1+xln2,$ , που ισχύει.

Επομένως, $A=\dfrac{1}{\sqrt[n]{2}}+\dfrac{1}{(\sqrt[n]{2})^2}+...+\dfrac{1}{(\sqrt[n]{2})^n}\geq \dfrac{n}{2}+\dfrac{ln2}{2n}(1+2+..+(n-1)))=$

$\dfrac{n}{2}+\dfrac{ln2}{2n}\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{n-1}{4}ln2$ , ό.έ.δ.

Ακόμα.. Μια πρώτη εκτίμηση...

Ακόμα.. Μια πρώτη εκτίμηση...

Re: Ακόμα.. Μια πρώτη εκτίμηση...

Re: Ακόμα.. Μια πρώτη εκτίμηση...

Μέλη σε σύνδεση