Σύστημα!

#1

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}a^2+c=b^2, \\ a+d^2=c^2, \\ b+2cd=0, \\ d=2ab.\end{cases}}$

#2

matha έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 20, 2021 7:11 am
Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}a^2+c=b^2, \\ a+d^2=c^2, \\ b+2cd=0, \\ d=2ab.\end{cases}}$

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα:

$\begin{cases}c^2-d^2=a \\ 2cdi=-bi \\ b^2-a^2=c \\ 2abi=di \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(c+di)^2=a-bi \\ (b+ai)^2=c+di \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(b+ai)^4=a-bi \\ c+di=(b+ai)^2 \ \ (2) \end{cases}$

Θέτοντας λοιπόν z=a-bi

, η πρώτη εξίσωση γίνεται $(zi)^4=z \Leftrightarrow z(z^3-1)=0 \Leftrightarrow z=0, z=1, \ z = \omega, z=\omega^2$

όπου $\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ και $\omega^2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ (δηλαδή οι πρωταρχικές κυβικές ρίζες της μονάδας)

Για $z=0: \ a=b=0$ και από τη $(2): \ c=d=0$

Για $z=1: \ a=1, \ b=0$ και από τη $(2): \ c=-1, \ d=0$

Για $z=\omega: \ a=-\dfrac{1}{2}, \ b=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ και από τη $(2): \ c+di=(zi)^2=(\omega i)^2 = -\omega^2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ απ' όπου $c=\dfrac{1}{2}, \ d=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Για $z=\omega^2: \ a=-\dfrac{1}{2}, b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ και από τη $(2): \ c+di=(zi)^2=(\omega^2 i)^2=-\omega=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ απ' όπου $c=\dfrac{1}{2}, \ d=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Τελικά οι λύσεις είναι οι τετράδες:

$(a,b,c,d)=(0,0,0,0), \ (1,0,-1,0), \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), \ \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Αλέξανδρος

#3

Εκτός από τον όμορφο τρόπο του Αλέξανδρου, κάποιος που δεν ΄έχει διδαχθεί μιγαδικούς, θα μπορούσε να εργαστεί με αντικατάσταση,

Από τις εξισώσεις $\displaystyle{b+2cd=0 , d=2ab}$ , παίρνουμε $\displaystyle{b+4abc=0\Leftrightarrow b=0}$ ή $\displaystyle{4ac+1=0}$

(α) Αν $\displaystyle{b=0}$ , εύκολα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{d=0 , a=c^2 , c^4 +c=0}$ και από εδώ , τις λύσεις : $\displaystyle{a=0, b=0 , c=0 , d=0}$ και

$\displaystyle{a=1 , b=0 , c=-1 , d=0}$ .

(β) Αν $\displaystyle{4ac+1=0}$ , τότε $\displaystyle{c=-\frac{1}{4a^2}}$ , οπότε έχουμε το σύστημα:

$\displaystyle{c=-\frac{1}{4a^2}}$
$\displaystyle{a^2 -\frac{1}{4a}=b^2}$
$\displaystyle{a+4a^2b^2 =\frac{1}{16a^2}}$
$\displaystyle{d=2ab}$

Άρα:

$\displaystyle{c=-\frac{1}{4a}}$
$\displaystyle{b^2 =a^2 -\frac{1}{4a}}$
$\displaystyle{a+4a^4 -a=\frac{1}{16a^4}}$
$\displaystyle{d=2ab}$

Άρα:

$\displaystyle{c=-\frac{1}{4a}}$
$\displaystyle{a=\pm \frac{1}{2}}$
$\displaystyle{b^2 = a^2 -\frac{1}{4a}}$
$\displaystyle{d=2ab}$

Άρα:

Β1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a=\frac{1}{2} , b^2 = -\frac{1}{4}}$ , η οποία απορρίπτεται στο

B2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a=-\frac{1}{2} , b^2 =\frac{3}{4} , c =\frac{1}{2} , d=-b}$ και από εδώ προκύπτουν οι υπόλοιπες λύσεις.

Σύστημα!

Σύστημα!

Re: Σύστημα!

Re: Σύστημα!

Μέλη σε σύνδεση