Ανισότητα

Συντονιστής: nsmavrogiannis

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm

Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό \displaystyle{n \in \mathbb{N}} και τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in ( 1, n ]} τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}

Κάνοντας μια διόρθωση. Ισχύει αυτή η ανισότητα τώρα με τις συνθήκες που έχουν δοθεί, και αν ναι πως αποδεικνύεται;
τελευταία επεξεργασία από TrItOs σε Τετ Δεκ 09, 2020 10:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2953
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Δεκ 09, 2020 1:53 pm

Διαγραφή δημοσίευσης -- δεν έλαβα υπ' όψιν το δεξιό άκρο του διαστήματος [1,n] :oops:
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τετ Δεκ 09, 2020 3:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 09, 2020 2:10 pm

\dfrac{1+1+27}{3}=9,6666 ... αλλά  (\sqrt[3]{1\cdot1\cdot27})^2=9


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Δεκ 09, 2020 3:01 pm

\dfrac{1+1+27}{3}=9,6666 ... αλλά  (\sqrt[3]{1\cdot1\cdot27})^2=9

Σχολιάζουμε ότι υπάρχουν λάθος διότι δεν ικανοποιείται η υπόθεση \displaystyle{1 \in [1,3] , 1 \in [1, 3] , 27 \notin [1, 3]}.

Σημειώνω ότι ισχύει η επιπλέον συνθήκη \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in [ 1, n ]}, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}} ανήκουν στο κλειστό διάστημα \displaystyle{[1, n]}.


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Δεκ 09, 2020 3:03 pm

Έχω σημειώσει ότι οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}} ανήκουν στο διάστημα \displaystyle{(1, n]} 
.
τελευταία επεξεργασία από TrItOs σε Τετ Δεκ 09, 2020 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 158
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Δεκ 09, 2020 4:31 pm

TrItOs έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό \displaystyle{n \in \mathbb{N}} και τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in [ 1, n ]} τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}
Δεν ξέρω αν χάνω κάτι.
Αντιπαράδειγμα για n=6:
Αν a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=1,a_{6}=6 τότε από την ανισότητα παίρνουμε
\dfrac{11}{6}\leq \sqrt[3]{6}
\Leftrightarrow 11^3<6^4\Leftrightarrow 1331<1296 το οποίο δεν ισχύει


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Δεκ 09, 2020 6:06 pm

Ναι όντως το έλεγξα και πράγματι έχεις δίκιο.
τελευταία επεξεργασία από TrItOs σε Τετ Δεκ 09, 2020 6:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Δεκ 09, 2020 6:23 pm

TrItOs έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 6:06 pm
Έχετε κάνει λάθος διότι το δεύτερο μέλος της ανισότητας που θέλουμε να αποδείξουμε είναι υψωμένο στο τετράγωνο, οπότε
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι. \leftarrow έχετε ξεχάσει να υψώσετε στο τετράγωνο το δεύτερο μέλος

Δηλαδή θα έπρεπε να κάνατε:
Αν a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=1,a_{6}=6 τότε από την ανισότητα παίρνουμε
\dfrac{11}{6}\leq \Big( \sqrt[3]{6} \Big)^{2}
\Leftrightarrow \frac{11}{6} < 3 <  \Big( \sqrt[3]{6} \Big)^{2} το οποίο προφανώς ισχύει. Δηλαδή για το συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει ότι
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{n} < \Big(\sqrt[6]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} \cdot a_{5} \cdot a_{6}}} \Big)^{2}}
Για ξανά κοίταξε το.Εσύ έχεις κάνει λάθος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 09, 2020 6:46 pm

TrItOs έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό \displaystyle{n \in \mathbb{N}} και τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in [ 1, n ]} τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}
Δεν έχει ελπίδα να ισχύει, αλλά για αντιπαράδειγμα βολεύει να κοιτάξεις μεγάλα n. Για παράδειγμα αν

a_1=a_2=...=a_{n-2}=1,\, a_{n-1}= a_n=n το μεν αριστερό μέλος είναι

\dfrac {1+...+1+n+n}{n} = \dfrac {3n-2}{n} \to 3 ενώ το δεξί

 \Big(\sqrt[n]{1\cdot 1 \cdot  ... \cdot 1 \cdot n \cdot n}} \Big)^{2}} = n^ {4/n} \to 1

Για παράδειγα η περίπτωση n=20 σύμφωνα με το κομπιουτεράκι μου δίνει

Αριστερό = 2,95 και δεξί \approx 1,820564203.

Ελπίζω να μην χάνω κάτι γατί τώρα συνέρχομαι από την επίσκεψή μου (βιοψία) στο Νοσοκομείο.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Δεκ 09, 2020 6:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ανισότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Δεκ 09, 2020 6:50 pm

Για ξανά κοίταξε το.Εσύ έχεις κάνει λάθος. \leftarrow Πράγματι έχετε δίκιο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 09, 2020 7:00 pm

Tώρα που το ξαναβλέπω, ακόμα πιο εύκολο αντιπαράδειγμα

a_1=a_2=...=a_{n-1}=1,\,  a_n=n το μεν αριστερό μέλος είναι

\dfrac {1+...+1+1+n}{n} = \dfrac {2n-1}{n} \to 2 ενώ το δεξί

 \Big(\sqrt[n]{1\cdot 1 \cdot  ... \cdot 1  \cdot n}} \Big)^{2}} = n^ {2/n} \to 1

Οι αντίστοιχες τιμές για n=20 σύμφωνα με το κομπιουτεράκι μου είναι

Αριστερό = 1,9 και δεξί \approx 1,349282848

Αν στο δεξί μέλος της υποψήφιας ανισότητας βάλεις 1000 στην θέση του 2, πάλι χάνει για τους ίδιους λόγους που ανέφερα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 09, 2020 11:25 pm

TrItOs έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό \displaystyle{n \in \mathbb{N}} και τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in ( 1, n ]} τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}

Κάνοντας μια διόρθωση. Ισχύει αυτή η ανισότητα τώρα με τις συνθήκες που έχουν δοθεί, και αν ναι πως αποδεικνύεται;
Και έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει;

Έχουμε εμμονή και επαναφορά της εσφαλμένης ανισότητας εδώ (βλέπε ιδίως από το ποστ #13 και κάτω). Τα είπαμε 1000 φορές εκεί, αλλά δεν φαίνεται να εμπεδώθημε.

Θα ήθελα να ήξερα αν είναι συμπτωματική η εμμονή, ή μήπως ο TrItOs του εδώ ποστ και o jimgabal του εκεί, έχουν κάποια συνάφεια.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2953
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Δεκ 10, 2020 10:17 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 11:25 pm
TrItOs έγραψε:
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό \displaystyle{n \in \mathbb{N}} και τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in ( 1, n ]} τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}

Κάνοντας μια διόρθωση. Ισχύει αυτή η ανισότητα τώρα με τις συνθήκες που έχουν δοθεί, και αν ναι πως αποδεικνύεται;
Και έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει;

Έχουμε εμμονή και επαναφορά της εσφαλμένης ανισότητας εδώ (βλέπε ιδίως από το ποστ #13 και κάτω). Τα είπαμε 1000 φορές εκεί, αλλά δεν φαίνεται να εμπεδώθημε.

Θα ήθελα να ήξερα αν είναι συμπτωματική η εμμονή, ή μήπως ο TrItOs του εδώ ποστ και o jimgabal του εκεί, έχουν κάποια συνάφεια.
... roommates??? ;)

[Συγγνώμην για τον Αμερικανισμό, υποθέτω ότι η μονολεκτική απόδοση στα Ελληνικά θα ήταν "ομοκάμαροι" :lol: (Εγώ θυμήθηκα την προ εβδομάδων συζήτηση αμέσως, τόσο άμεσα ... που την πάτησα -- δεν είδα δηλαδή τον περιορισμό a_k\leq n :lol: Ίσως πάντως να προκύψει κάποιο θεωρηματάκι στο τέλος, γιατί όχι; Ας δώσουμε μια τζογαδόρικη ευκαιρία στην εμμονή, let's give persistence a gambler's chance!)]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Ανισότητα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Πέμ Δεκ 10, 2020 10:50 am

Θα ήθελα να ήξερα αν είναι συμπτωματική η εμμονή, ή μήπως ο TrItOs του εδώ ποστ και o jimgabal του εκεί, έχουν κάποια συνάφεια.

Όχι απλά ένας φίλος μου έδειξε αυτή την ανισότητα . . .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 10, 2020 12:12 pm

TrItOs έγραψε:
Πέμ Δεκ 10, 2020 10:50 am
Όχι απλά ένας φίλος μου έδειξε αυτή την ανισότητα . . .
Λήγει λοιπόν το θέμα. Η ανισότητα δεν ισχύει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης