Ανισότητα

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:08 pm

Για x>0 , x \neq 1 να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\frac{\ln x}{x-1} \leq \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{x + \sqrt[3]{x}}}
Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2945
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 08, 2020 10:14 pm

Η ζητούμενη ανισότητα -- που ανήκει σε άλλον φάκελο -- διασπάται σε δύο ανισότητες:

x+x^{4/3}-1-x^{1/3}-xlnx-x^{1/3}lnx<0 για x<1

και

x+x^{4/3}-1-x^{1/3}-xlnx-x^{1/3}lnx>0 για x>1.

Με δεδομένο τον μηδενισμό της συνάρτησης για x=1 ... αμφότερες οι ανισότητες προκύπτουν από την μη αρνητικότητα της παραγώγου,

\dfrac{4}{3}x^{1/3}-\dfrac{4}{3}x^{-2/3}-lnx-\dfrac{1}{3}x^{-2/3}lnx\geq0 για x>0.

Θέτουμε f(x)=\dfrac{4}{3}x^{1/3}-\dfrac{4}{3}x^{-2/3}-lnx-\dfrac{1}{3}x^{-2/3}lnx. Παρατηρούμε ότι η f είναι θετική εκτός κάποιου διαστήματος [a, b], μπορούμε για παράδειγμα να πάρουμε a=e^{-4} (καθώς -\dfrac{4x^{-2/3}}{3}-\dfrac{x^{-2/3}lnx}{3}>0 για x\leq e^{-4}) και b=6 (καθώς x^{1/3}>lnx και x>4+lnx για x\geq 6). Απομένει να δείξουμε ότι f(x)\geq 0 για a\leq x\leq b, κάτι που θα προέκυπτε από την f(x_0)\geq 0 για f'(x_0)=0 ... ή κάτι παραπλήσιο ;) [Αν συνάρτηση είναι μη αρνητική και στα άκρα δοθέντος διαστήματος και στα όποια σημεία τοπικού μεγίστου ή τοπικού ελαχίστου τότε η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο δοθέν διάστημα.]

Έστω λοιπόν ότι f'(x_0)=0 για τυχόν x_0>0, οπότε

lnx_0=\dfrac{9x_0^{2/3}-4x_0-5}{2}

και

f(x_0)=\dfrac{(x_0^{1/3}-1)^3(4x_0^{2/3}+3x_0^{1/3}+1)}{2}.

Τα παραπάνω συνεπάγονται -- καθώς ο δευτεροβάθμιος παράγων του αριθμητή είναι μονίμως θετικός -- ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο x_0 τότε η f είναι θετική εκεί αν x_0>1 και αρνητική αν x_0<1: είναι αυτή η δεύτερη περίπτωση που θέλουμε να αποκλείσουμε για να ολοκληρωθεί η απόδειξη (ότι στο όποιο τοπικό ακρότατο η f είναι μη αρνητική).

Από το ανάπτυγμα Taylor της f περί το 1 λαμβάνουμε

f(x)=\dfrac{(x-1)^4}{162}-\dfrac{11(x-1)^5}{810}+... ,

που σημαίνει ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο στο 1 (όπου ισούται προς 0): αυτό αποκλείει την ύπαρξη τοπικού ακρότατου της f σε σημείο x_0<1, καθώς ... αφ' ενός μεν θα όφειλε τότε να ισχύει η f(x_0)<0 (σύμφωνα με τα της προηγουμένης παραγράφου) ... αφ' ετέρου δε η f οφείλει να είναι θετική σε κάποιο διάστημα αριστερά του 1 (ανάπτυγμα Taylor)! [ΔΕΝ μπορούμε να πάμε από διάστημα θετικότητας σε αρνητικές τιμές χωρίς να περάσουμε από κάποιο θετικό ακρότατο (μέγιστο).]

[Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ακρότατο ούτε δεξιά του 1 (όπου η f έχει ολικό ελάχιστο 0).]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 09, 2020 5:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:08 pm
Για x>0 , x \neq 1 να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\frac{\ln x}{x-1} \leq \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{x + \sqrt[3]{x}}}
Άνευ λύσης!
Θα μπορούσε να είναι και στο ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ

Για να απαλλαγούμε από τις ρίζες θέτουμε \displaystyle t=\sqrt[3]{x}
και γίνεται
\displaystyle{3\frac{\ln t}{t^3-1} \leq \frac{1 + t}{t^3 +t} 1 περίπτωση t>1
Γίνεται \displaystyle 3\ln t\leq \frac{(t^3-1)(1+t)}{t^3+t}=t+1-\frac{t^2+2t+1}{t^3+t} Θέτουμε
\displaystyle f(t)= 3\ln t-(t+1)+\frac{t^2+2t+1}{t^3+t}

Παραγωγίζοντας και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε

\displaystyle f'(t)=\frac{3}{t}-1-\frac{t^4+4t^3+2t^2+1}{(t+t^3)^2}=-\frac{t^6-3t^5+3t^4-2t^3+3t^2-3t+1}{(t+t^3)^2}
\displaystyle =-\frac{(t-1)^4(t^2+t+1)}{(t+t^3)^2}

και η ανισότητα προκύπτει άμεσα

2 περίπτωση 0<t<1
Είναι ίδια με την πρώτη και δεν χρειάζεται να κάνουμε επιπλέον πράξεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης