Λογαριθμική ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\ln \frac{\beta^2}{\alpha^2} < \frac{\beta}{\alpha} - \frac{\alpha}{\beta}}$

Μάρκος Βασίλης · #2

Η ζητούμενη δεν ισχύει για $\frac{\beta}{\alpha}<-1$ ή $0<\frac{\beta}{\alpha}<1$ .

Υποθέτουμε $\alpha,\beta\neq0$ και θέτουμε $x=\frac{\beta}{\alpha}$ , με $x\neq0$ οπότε η ζητούμενη γράφεται:

$\displaystyle{\ln x^2<x-\frac{1}{x}.}$

Θεωρούμε την $f(x)=\ln x^2-x+\frac{1}{x}=2\ln|x|-x+\frac{1}{x}$ , $x\neq0$ με παράγωγο:

$\displaystyle{f'(x)=2\frac{1}{x}-1-\frac{1}{x^2}=-\frac{(x-1)^2}{x^2}<0,}$

επομένως η

είναι γνησίως φθίνουσα στα $(-\infty,0)$ και $(0,+\infty)$ και αφού f(-1)=f(1)=0

έπεται ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για $x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)$ .

Λογαριθμική ανισότητα

Λογαριθμική ανισότητα

Re: Λογαριθμική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση