Λογαριθμική άθροιση
Συντονιστής: nsmavrogiannis
Λογαριθμική άθροιση
Στην τάξη ο καθηγητής και ένας μαθητής κουβεντιάζουν, στο διάλλειμα.
M: Κύριε, θα ήθελα να ρωτήσω αν ισχύει , για κάθε .
Κ: Όχι. Βρες δύο αριθμούς που να μην επαληθεύουν την παραπάνω ισότητα.
...O μαθητής σκέφτεται...
Μ: Ναι σωστά, π.χ. για και , δεν ισχύει.
Κ: Σωστά.
Μ: Ναι αλλά για ποιους θετικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει αυτή η ισότητα;
K: Μμμ...Με μια γρήγορη ματιά βλέπω ότι η μόνη λύση είναι η .
Μ: Και πως αποδεικνύεται αυτό;
K: Άσκηση για το σπίτι, για την επόμενη φορά που έχουμε μάθημα.
Ισχύει ότι η μόνη θετική ακέραια λύση είναι το ζευγάρι ; Αν ναι, ποια απόδειξη σκέφτηκε ο καθηγητής;
Φιλικά,
Μάριος
M: Κύριε, θα ήθελα να ρωτήσω αν ισχύει , για κάθε .
Κ: Όχι. Βρες δύο αριθμούς που να μην επαληθεύουν την παραπάνω ισότητα.
...O μαθητής σκέφτεται...
Μ: Ναι σωστά, π.χ. για και , δεν ισχύει.
Κ: Σωστά.
Μ: Ναι αλλά για ποιους θετικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει αυτή η ισότητα;
K: Μμμ...Με μια γρήγορη ματιά βλέπω ότι η μόνη λύση είναι η .
Μ: Και πως αποδεικνύεται αυτό;
K: Άσκηση για το σπίτι, για την επόμενη φορά που έχουμε μάθημα.
Ισχύει ότι η μόνη θετική ακέραια λύση είναι το ζευγάρι ; Αν ναι, ποια απόδειξη σκέφτηκε ο καθηγητής;
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Λογαριθμική άθροιση
Δεν είμαι σίγουρος αλλά ας κάνω μια προσπάθεια.
Θα δείξω ότι μοναδική λυση
Έχουμε:
Αν από αρχική σχέση η εξίσωση αδύνατη
Αν τότε , η δοθείσα λυση.
Αρκεί να δείξω ότι για
Αν περιττος τότε οπότε
Αν άρτιος τοτε οποτε
Ο.Ε.Δ.
Θα δείξω ότι μοναδική λυση
Έχουμε:
Αν από αρχική σχέση η εξίσωση αδύνατη
Αν τότε , η δοθείσα λυση.
Αρκεί να δείξω ότι για
Αν περιττος τότε οπότε
Αν άρτιος τοτε οποτε
Ο.Ε.Δ.
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμική άθροιση
Λίγο πιο απλά το σημείο που δείχνουμε ότι για . Αν το είναι ακέραιος τότε το διαιρεί το . Επειδή το διαιρεί και το έπεται ότι θα διαιρεί και το , άρα θα πρέπει , άρα . Επίσης, για έχουμε , οπότε αποδείχθηκε το ζητούμενο.
Re: Λογαριθμική άθροιση
Καλησπέρα παραθέτω και την δική μου λύση λιγάκι διαφορετική.
ή
ή
ή
,
Έστω
Άρα η σχέση γίνεται
, άτοπο.
Άρα .
Επειδή το είναι θετικός ακέραιος συνεπάγεται ότι
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και ότι
Άρα η σχέση γίνεται
Άρα
ή ή ή
Δηλαδή οπότε
Επομένως αντικαθιστώντας στην σχέση το
Καταλήγουμε σε ή ή
Δηλαδή η λύση της δοσμένης μας εξίσωσης είναι
ή
ή
ή
,
Έστω
Άρα η σχέση γίνεται
, άτοπο.
Άρα .
Επειδή το είναι θετικός ακέραιος συνεπάγεται ότι
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και ότι
Άρα η σχέση γίνεται
Άρα
ή ή ή
Δηλαδή οπότε
Επομένως αντικαθιστώντας στην σχέση το
Καταλήγουμε σε ή ή
Δηλαδή η λύση της δοσμένης μας εξίσωσης είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμική άθροιση
Σε συνέχεια του #3, να δώσουμε και μία λύση με στοιχειώδη μέσα. Έστω θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε:
Επομένως έπεται ότι ο διαιρεί τον , άρα και τον . Ανάλογα, ο διαιρεί τον άρα και τον , επομένως κι επειδή οι είναι αμφότεροι θετικοί έπεται ότι . Αντικαθιστώντας στην έχουμε:
κι επειδή έχουμε ότι .
Επομένως έπεται ότι ο διαιρεί τον , άρα και τον . Ανάλογα, ο διαιρεί τον άρα και τον , επομένως κι επειδή οι είναι αμφότεροι θετικοί έπεται ότι . Αντικαθιστώντας στην έχουμε:
κι επειδή έχουμε ότι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες