Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση $\displaystyle{\rm f(x)}$ με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

$\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}$

όπου $\displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]}$ μη σταθερό πολυώνυμο.

Tolaso J Kos · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μάρκος Βασίλης · #3

Το γράφω λίγο χαλαρά.

Έστω ότι υπάρχει τέτοια ρητή συνάρτηση

έτσι ώστε για κάθε $x\in D_f\setminus\{1\}$ να ισχύει:

$\displaystyle{f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}$

όπου P(x)

μη σταθερό πολυώνυμο. Αφού το

είναι μη σταθερό έπεται ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}P(x)=\pm\infty}$

και

$\displaystyle{\lim_{x\to-1}P(x)=P(-1)\in\mathbb{R}.}$

Τότε, θα πρέπει αντίστοιχα να ισχύει ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=\pm\infty}$

και
$\displaystyle{\lim_{x\to-1^+}f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(-1)\in\mathbb{R},}$

(η $f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)$ είναι ρητή συνάρτηση και ορίζεται σε περιοχή του

, επομένως έχει νόημα το παραπάνω όριο).

Θέτοντας στο πρώτο όριο $y=\frac{x^2}{x+1}$ παίρνουμε

$\displaystyle{\lim_{y\to+\infty}f(y)=\pm\infty}$

ενώ, με την ίδια αλλαγή μεταβλητής στο δεύτερο όριο παίρνουμε:

$\displaystyle{\lim_{y\to+\infty}f(y)=P(-1)\in\mathbb{R},}$

άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια

.

Edit: Τυπογραφικό

#4

matha έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση $\displaystyle{\rm f(x)}$ με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

$\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}$

όπου $\displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]}$ μη σταθερό πολυώνυμο.

Επικεντρωνόμαστε στο διάστημα $(-1, \infty)$ . Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι για μεγάλο θετικό

το πολυώνυμο παίρνει την τιμή p(x)

ακριβώς μία φορά, δηλαδή δεν υπάρχει $x΄\in (-1, \infty), \, x'\ne x$ με p(x')=p(x)

. Αυτό είναι προφανές από το σχήμα που μπορεί να έχει το γράφημα ενός πολυωνύμου που για μεγάλα

είναι σαν

.

Tώρα, για δοθέν t>0

θέτουμε $s=-\dfrac {t}{t+1}$ . Παρατηρούμε ότι $s>-1,\, s\ne t$ και $\dfrac {s^2}{1+s} = \dfrac {t^2}{1+t}$ . Συνεπώς

$p(s) = f\left ( \dfrac {s^2}{1+s} \right) = f\left ( \dfrac {t^2}{1+t} \right) =p(t)$ . Άτοπο από τα παραπάνω, αν το εφαρμόσουμε σε μεγάλο t>0

.

#5

matha έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση $\displaystyle{\rm f(x)}$ με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

$\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}$

όπου $\displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]}$ μη σταθερό πολυώνυμο.

Πιο απλά. Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο

με $P(x)= P\left (-\dfrac {x}{1+x}\right )\, (*)$ (τουλάχιστον από ένα x_0

και πέρα) . Ένας τρόπος να το δούμε είναι να γράψουμε P(x)=a_nx^n+...+a_0

και να συγκρίνουμε τους συντελεστές στο P(x)

και στο ίσο του $P\left (-\dfrac {x}{1+x}\right )$ . Άλλος τρόπος είναι να πάρουμε όρια στο $+\infty$ στην (*)

, που θα δώσει $P(-1)=\pm \infty$ . Με αυτό κατά νου, η αρχική δίνει

$\displaystyle{P\left (-\dfrac {x}{1+x}\right )= f \left ( \dfrac {\left (-\dfrac {x}{1+x} \right ) ^2 }{1 +\left (-\dfrac {x}{1+x}\right ) } \right )=...= f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x)}$ . Άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

matha έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση $\displaystyle{\rm f(x)}$ με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

$\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}$

όπου $\displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]}$ μη σταθερό πολυώνυμο.

Θα δώσω μια καθαρά αλγεβρική απόδειξη.
Περνάει ακόμα και αν οι συντελεστές είναι από ακέραια περιοχή.

Εστω degP(x)=k>0

Εστω

$\displaystyle f(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}$
με
$\displaystyle Q(x)=a_nx^n+....a_0$
$\displaystyle R(x)=b_mx^m+....b_0$
$\displaystyle a_{n},b_{m}\neq 0$
Είναι
$\displaystyle degQ(x)=n,degR(x)=m$
Τα
$\displaystyle Q_1(x)=(x+1)^{n}Q(\frac{x^2}{x+1}),R_1(x)=(x+1)^{m}R(\frac{x^2}{x+1})$
είναι πολυώνυμα με
$\displaystyle degQ_1(x)=2n,degR_1(x)=2m$
Η αρχική σχέση γίνεται

$\displaystyle (x+1)^{m-n}Q_{1}(x)=P(x)R_{1}(x)$ (1)

Παίρνοντας βαθμούς στην τελευταία έχουμε ότι n-m=k>0

.
Ετσι η (1) γίνεται

$\displaystyle Q_{1}(x)=(x+1)^{n-m}P(x)R_{1}(x)$

που όλα είναι πολυώνυμα.
Επειδή
$Q_1(-1)=a_{n}\neq 0$
έχουμε ΑΤΟΠΟ

Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Μέλη σε σύνδεση