Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση \displaystyle{\rm f(x)} με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου \displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]} μη σταθερό πολυώνυμο.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4390
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 09, 2020 11:13 am

Τα πολυώνυμα ορίζονται στο -1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 284
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Μάιος 09, 2020 11:34 am

Το γράφω λίγο χαλαρά.

Έστω ότι υπάρχει τέτοια ρητή συνάρτηση f έτσι ώστε για κάθε x\in D_f\setminus\{1\} να ισχύει:

\displaystyle{f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου P(x) μη σταθερό πολυώνυμο. Αφού το P είναι μη σταθερό έπεται ότι:

\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}P(x)=\pm\infty}

και

\displaystyle{\lim_{x\to-1}P(x)=P(-1)\in\mathbb{R}.}

Τότε, θα πρέπει αντίστοιχα να ισχύει ότι:

\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=\pm\infty}

και
\displaystyle{\lim_{x\to-1^+}f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(-1)\in\mathbb{R},}

f\left(\frac{x^2}{x+1}\right) είναι ρητή συνάρτηση και ορίζεται σε περιοχή του 1, επομένως έχει νόημα το παραπάνω όριο).

Θέτοντας στο πρώτο όριο y=\frac{x^2}{x+1} παίρνουμε

\displaystyle{\lim_{y\to+\infty}f(y)=\pm\infty}

ενώ, με την ίδια αλλαγή μεταβλητής στο δεύτερο όριο παίρνουμε:

\displaystyle{\lim_{y\to+\infty}f(y)=P(-1)\in\mathbb{R},}

άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια f.

Edit: Τυπογραφικό
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Σάβ Μάιος 09, 2020 3:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 09, 2020 1:02 pm

matha έγραψε:
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση \displaystyle{\rm f(x)} με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου \displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]} μη σταθερό πολυώνυμο.
Επικεντρωνόμαστε στο διάστημα (-1, \infty). Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι για μεγάλο θετικό x το πολυώνυμο παίρνει την τιμή p(x) ακριβώς μία φορά, δηλαδή δεν υπάρχει x΄\in (-1, \infty), \, x'\ne x με p(x')=p(x). Αυτό είναι προφανές από το σχήμα που μπορεί να έχει το γράφημα ενός πολυωνύμου που για μεγάλα x είναι σαν ax^n.

Tώρα, για δοθέν t>0 θέτουμε s=-\dfrac {t}{t+1}. Παρατηρούμε ότι s>-1,\, s\ne t και \dfrac {s^2}{1+s} = \dfrac {t^2}{1+t}. Συνεπώς

p(s) = f\left ( \dfrac {s^2}{1+s} \right) =  f\left ( \dfrac {t^2}{1+t} \right) =p(t). Άτοπο από τα παραπάνω, αν το εφαρμόσουμε σε μεγάλο t>0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 09, 2020 3:08 pm

matha έγραψε:
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση \displaystyle{\rm f(x)} με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου \displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]} μη σταθερό πολυώνυμο.
Πιο απλά. Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο p με P(x)= P\left (-\dfrac {x}{1+x}\right )\, (*) (τουλάχιστον από ένα x_0 και πέρα) . Ένας τρόπος να το δούμε είναι να γράψουμε P(x)=a_nx^n+...+a_0 και να συγκρίνουμε τους συντελεστές στο P(x) και στο ίσο του P\left (-\dfrac {x}{1+x}\right ). Άλλος τρόπος είναι να πάρουμε όρια στο +\infty στην (*) , που θα δώσει P(-1)=\pm \infty. Με αυτό κατά νου, η αρχική δίνει


\displaystyle{P\left (-\dfrac {x}{1+x}\right )= f   \left (   \dfrac {\left (-\dfrac {x}{1+x}  \right ) ^2 }{1 +\left (-\dfrac {x}{1+x}\right ) } \right )=...=  f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x)}. Άτοπο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 09, 2020 3:18 pm

matha έγραψε:
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση \displaystyle{\rm f(x)} με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου \displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]} μη σταθερό πολυώνυμο.
Θα δώσω μια καθαρά αλγεβρική απόδειξη.
Περνάει ακόμα και αν οι συντελεστές είναι από ακέραια περιοχή.

Εστω degP(x)=k>0
Εστω

\displaystyle f(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}
με
\displaystyle Q(x)=a_nx^n+....a_0
\displaystyle R(x)=b_mx^m+....b_0
\displaystyle a_{n},b_{m}\neq 0
Είναι
\displaystyle degQ(x)=n,degR(x)=m
Τα
\displaystyle Q_1(x)=(x+1)^{n}Q(\frac{x^2}{x+1}),R_1(x)=(x+1)^{m}R(\frac{x^2}{x+1})
είναι πολυώνυμα με
\displaystyle degQ_1(x)=2n,degR_1(x)=2m
Η αρχική σχέση γίνεται

\displaystyle (x+1)^{m-n}Q_{1}(x)=P(x)R_{1}(x)(1)

Παίρνοντας βαθμούς στην τελευταία έχουμε ότι n-m=k>0.
Ετσι η (1) γίνεται

\displaystyle Q_{1}(x)=(x+1)^{n-m}P(x)R_{1}(x)

που όλα είναι πολυώνυμα.
Επειδή
Q_1(-1)=a_{n}\neq 0
έχουμε ΑΤΟΠΟ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης