Πρώτο ιδεώδες
Συντονιστής: nsmavrogiannis
Πρώτο ιδεώδες
Γεια σας,
μήπως μπορεί να δοθεί μια υπόδειξη ως προς το πως μπορούμε να δείξουμε ότι το είναι πρώτο ιδεώδες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές ; Ευχαριστώ πολύ!
μήπως μπορεί να δοθεί μια υπόδειξη ως προς το πως μπορούμε να δείξουμε ότι το είναι πρώτο ιδεώδες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές ; Ευχαριστώ πολύ!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πρώτο ιδεώδες
Δοκίμασε να δείξεις ότι ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακέραια περιοχή.
Αυτό είναι ισοδύναμο με το να είναι πρώτο ένα ιδεώδες.
Μια μικρή βοήθεια:
Στον δακτύλιο πηλίκο ουσιαστικά ταυτίζουμε το με το .
Οπότε ποιος μπορεί να είναι ο δακτύλιος πηλίκο;
Τροφή για σκέψη.
Αυτό είναι ισοδύναμο με το να είναι πρώτο ένα ιδεώδες.
Μια μικρή βοήθεια:
Στον δακτύλιο πηλίκο ουσιαστικά ταυτίζουμε το με το .
Οπότε ποιος μπορεί να είναι ο δακτύλιος πηλίκο;
Τροφή για σκέψη.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Πρώτο ιδεώδες
Είσαι σωστός. Είναι και αυτή μια απόδειξη.
Εγώ σκεφτόμουν ότι ο δακτύλιος είναι ισόμορφος με τον που προφανώς είναι ακέραια περιοχή.
Η ισομορφία αυτή είναι επειδή ουσιαστικά στον δακτύλιο πηλίκο έχουμε οπότε κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με μια σταθερά. Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες οπότε προφανώς .
Εγώ σκεφτόμουν ότι ο δακτύλιος είναι ισόμορφος με τον που προφανώς είναι ακέραια περιοχή.
Η ισομορφία αυτή είναι επειδή ουσιαστικά στον δακτύλιο πηλίκο έχουμε οπότε κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με μια σταθερά. Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες οπότε προφανώς .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Πρώτο ιδεώδες
Όταν παίρνουμε τον δακτύλιο πηλίκο(πχ τον ), τότε ουσιαστικά είναι σαν να ταυτίζουμε το με το .
Αυτό συμβαίνει επειδή έχουμε αν και μόνο αν .
Οπότε έχουμε δηλαδή ταυτίσαμε το με το .
Δηλαδή αυτή η ταύτιση είναι αν και μόνο αν .
Άρα μπορούμε να πούμε ότι ταυτίζουμε το με το .
Οπότε πολλαπλασιάζοντας με έχουμε .
Συνεπώς πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά με μπορούμε να δούμε ότι και επειδή ένα πολυώνυμο είναι συνδυασμός δυνάμεων του παίρνουμε ότι κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με ένα σταθερό πολυώνυμο.
Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες (γιατι;) έχουμε ότι ο δακτύλιος πηλίκο είναι ισόμορφος με τον .
Νομίζω ότι είναι καλό να εξοικιωθείς με αυτές τις έννοιες.
Φαίνονται περίπλοκες όμως στην πραγματικότητα είναι πολύ απλές.
Η συγκεκριμένη άσκηση λύνεται πολύ πιο εύκολα(πχ με την απόδειξή σου), όμως προχορώντας θα υπάρχουν ασκήσεις που θα πρέπει να κάνεις τέτοιους συλλογισμούς.
Ελπίζω να βοήθησα.
Αυτό συμβαίνει επειδή έχουμε αν και μόνο αν .
Οπότε έχουμε δηλαδή ταυτίσαμε το με το .
Δηλαδή αυτή η ταύτιση είναι αν και μόνο αν .
Άρα μπορούμε να πούμε ότι ταυτίζουμε το με το .
Οπότε πολλαπλασιάζοντας με έχουμε .
Συνεπώς πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά με μπορούμε να δούμε ότι και επειδή ένα πολυώνυμο είναι συνδυασμός δυνάμεων του παίρνουμε ότι κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με ένα σταθερό πολυώνυμο.
Επίσης, διαφορετικές σταθερές είναι μη ισοδύναμες (γιατι;) έχουμε ότι ο δακτύλιος πηλίκο είναι ισόμορφος με τον .
Νομίζω ότι είναι καλό να εξοικιωθείς με αυτές τις έννοιες.
Φαίνονται περίπλοκες όμως στην πραγματικότητα είναι πολύ απλές.
Η συγκεκριμένη άσκηση λύνεται πολύ πιο εύκολα(πχ με την απόδειξή σου), όμως προχορώντας θα υπάρχουν ασκήσεις που θα πρέπει να κάνεις τέτοιους συλλογισμούς.
Ελπίζω να βοήθησα.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πρώτο ιδεώδες
Απλά να σημειώσω ότι το το γράφουμε με τον κώδικα
Κώδικας: Επιλογή όλων
\langle x+1\rangle
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες