Επαγωγική απόδειξη!

#1

Δεν θυμάμαι αν το έχουμε ξαναδεί.

Καλός ο διαφορικός λογισμός, αλλά τώρα ζητείται να αποδειχθεί ότι ισχύει

$\displaystyle{2^x>18x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in[7,+\infty )}$

με χρήση επαγωγής.

#2

Αποσύρω την εσφαλμένη μου απόδειξη. Θα επανέλθω με σωστή.

KARKAR · #3

Η άσκηση μου θύμισε το θέμα αυτό , στο οποίο , επίσης , εμπλέκεται ο Θάνος ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

matha έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 2:42 pm
Δεν θυμάμαι αν το έχουμε ξαναδεί.

Καλός ο διαφορικός λογισμός, αλλά τώρα ζητείται να αποδειχθεί ότι ισχύει

$\displaystyle{2^x>18x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in[7,+\infty )}$

με χρήση επαγωγής.

Για $7\leq x< 7,1$
είναι
$\displaystyle 2^{x}\geq 2^{7}=128> 18.7,1> 18x$

Εστω ότι ισχύει για $x \in[7+0,1n,7+0,1(n+1))$

Για $x \in[7+0,1(n+1),7+0,1(n+2))$

εχουμε

$\displaystyle 2^{x}=2^{x-0,1}2^{0,1}> 2^{0,1}18(x-0,1)$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

$2^{0,1}18(x-0,1)>18x$

Η τελευταία είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle x> \frac{0,1.2^{0,1}}{2^{0,1}-1}$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle \frac{0,1.2^{0,1}}{2^{0,1}-1}<7$
κάνοντας πράξεις (όποιος θέλει πάει και σε κομπιουτεράκι)
η τελευταία είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle (1-\frac{1}{70})^{10}>\frac{1}{2}$

που ισχύει γιατί $\displaystyle (1-\frac{1}{70})^{10}>1-10\frac{1}{70} >\frac{1}{2}$

Εύκολα αποδεικνύεται επαγωγικά ότι για $n\in \mathbb{N},n\geq 2$
0<a< 1

είναι $\displaystyle (1-a)^{n}> 1-na$

Επαγωγική απόδειξη!

Επαγωγική απόδειξη!

Re: Επαγωγική απόδειξη!

Re: Επαγωγική απόδειξη!

Re: Επαγωγική απόδειξη!

Μέλη σε σύνδεση