Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Συντονιστής: nsmavrogiannis
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Να λυθεί η εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές και .
Στόχος της ανάρτησης είναι να συγκεντρωθούν προς χάριν των συναδέλφων, διάφορες διδάξιμες τεχνικές επίλυσης.
Στόχος της ανάρτησης είναι να συγκεντρωθούν προς χάριν των συναδέλφων, διάφορες διδάξιμες τεχνικές επίλυσης.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Καλημέρα!nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 05, 2020 12:52 amΝα λυθεί η εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές και .
Στόχος της ανάρτησης είναι να συγκεντρωθούν προς χάριν των συναδέλφων, διάφορες διδάξιμες τεχνικές επίλυσης.
Κάνω την αρχή με γνωστή μέθοδο. (Χρησιμοποιώ λατινικούς χαρακτήρες για ευκολία στην πληκτρολόγηση).
Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη με και προσθέτω το
με την προϋπόθεση ότι Πιο συγκεκριμένα:
Αν τότε έχουμε δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
Αν τότε έχουμε μία διπλή ρίζα
Αν τότε έχουμε δύο ρίζες μιγαδικές συζυγείς
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
α) Αν η εξίσωση είχε την μορφή (ισοδύναμα ) θα μπορούσα να την λύσω και διερευνήσω εύκολα.nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 05, 2020 12:52 amΝα λυθεί η εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές και .
Στόχος της ανάρτησης είναι να συγκεντρωθούν προς χάριν των συναδέλφων, διάφορες διδάξιμες τεχνικές επίλυσης.
β) Γενικά τώρα, μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση στην παραπάνω μορφή κάνοντας μετασχηματισμό της μορφής . Συγκεκριμένα θα γίνει
, ισοδύναμα . Οπότε επιλέγουμε ή .
Και λοιπά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Αλλιώς, έστω οι ρίζες της εξίσωσης. Τότε:
Άρα:
και απ' όπου
και αν θα είναι και από
προκύπτουν τελικά οι ρίζες
Άρα:
και απ' όπου
και αν θα είναι και από
προκύπτουν τελικά οι ρίζες
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Γεια σας
Γιώργο, Μιχάλη ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Γράφω ένα τρόπο που τον είδα στο άρθρο
A. G. Sillitto The Quadratic Equation: The Mathematical Gazette, Vol. 42, No. 339 (Feb., 1958), σ. 65
Η εξίσωση γράφεται
Πολλαπλασιάζοντας επί έχουμε την ισοδύναμη εξίσωση
Οι αριθμοί έχουν άθροισμα επομένως ο αριθμός είναι το μέσον του διαστήματος που ορίζουν αν είναι διαφορετικοί και ίσος με αυτούς αν είναι ίσοι. Επομένως θα υπάρχει αριθμός θετικός ή αρνητικός ώστε ο πρώτος να είναι και ο δεύτερος . Το γινόμενο τους είναι επομένως
οπότε
Άρα
και έχουμε λύση αν και μόνο αν και σε αυτή την περίπτωση
επομένως
και
.
Γιώργο, Μιχάλη ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Γράφω ένα τρόπο που τον είδα στο άρθρο
A. G. Sillitto The Quadratic Equation: The Mathematical Gazette, Vol. 42, No. 339 (Feb., 1958), σ. 65
Η εξίσωση γράφεται
Πολλαπλασιάζοντας επί έχουμε την ισοδύναμη εξίσωση
Οι αριθμοί έχουν άθροισμα επομένως ο αριθμός είναι το μέσον του διαστήματος που ορίζουν αν είναι διαφορετικοί και ίσος με αυτούς αν είναι ίσοι. Επομένως θα υπάρχει αριθμός θετικός ή αρνητικός ώστε ο πρώτος να είναι και ο δεύτερος . Το γινόμενο τους είναι επομένως
οπότε
Άρα
και έχουμε λύση αν και μόνο αν και σε αυτή την περίπτωση
επομένως
και
.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Δείτε και εδώ:
viewtopic.php?f=6&t=65828&p=318796&hili ... en#p318796
viewtopic.php?f=6&t=65828&p=318796&hili ... en#p318796
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Καλησπέρα σε όλουςsilouan έγραψε: ↑Δευ Απρ 06, 2020 9:16 pmΔείτε και εδώ:
viewtopic.php?f=6&t=65828&p=318796&hili ... en#p318796
Σιλουανέ το είχα δει αυτό το άρθρο μετά από την παραπομπή του Αχιλλέα (https://arxiv.org/abs/1910.06709) . Έχει ενδιαφέρουσες βιβλιογραφικές αναφορές. Δεν είμαι σε θέση να γνωρίζω σε τι πρόγραμμα σπουδών αναφέρεται η πρόταση πάντως διαβάζοντας το άρθρο κατάλαβα ότι η προτεινόμενη μέθοδος μάλλον προϋποθέτει
1) ότι ο μαθητής ήδη γνωρίζει πως μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο λύσεις.
2) ότι ο μαθητής γνωρίζει πως αν δύο (δευτεροβάθμια) πολυώνυμα είναι ίσα οι αντίστοιχοι συντελεστές είναι ίσοι.
Από τεχνική άποψη η προσέγγιση είναι εκείνη που παρουσίασε στην δεύτερη απάντηση του ο Γιώργος.
Πάντως η προσέγγιση είναι ενδιαφέρουσα και μπορεί με κάποιες τροποποιήσεις να ενταχθεί στο δικό μας πρόγραμμα σπουδών Για το θέμα αυτό θα επανέλθω.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Γειά σας.
Γράφω με μερικές τροποποιήσεις την προτεινόμενη από τον Loh προσέγγιση στην οποία έγινε αναφορά στα δύο προηγούμενα μηνύματα.
Οι μόνες προαπαιτούμενες γνώσεις είναι έως εκείνες που στο ισχύον πρόγραμμα βιβλίο της Α΄ Λυκείου αντιστοιχούν έως την παράγραφο 3.2.
Η θα έχει λύση αν και μόνο αν ,
δηλαδή αν και μόνο αν για κάθε ισχύει δηλαδή αν και μόνο αν για κάθε είναι .
Συνέπεια των προηγουμένων είναι ότι η εξίσωση θα έχει λύση αν και μόνο αν έχει λύση και τον αριθμό . Οι αριθμοί αυτοί, που ενδεχομένως είναι ίσοι, έχουν ημιάθροισμα και επομένως υπάρχει αριθμός (θετικός αρνητικός ή μηδέν) ώστε και η εξίσωση θα έχει ρίζα αν και μόνο αν ή ισοδύναμα αν δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει ώστε .
Θα έχει η εξίσωση λύση αν και μόνο αν και οι λύσεις θα είναι δηλαδή
.
Γράφω με μερικές τροποποιήσεις την προτεινόμενη από τον Loh προσέγγιση στην οποία έγινε αναφορά στα δύο προηγούμενα μηνύματα.
Οι μόνες προαπαιτούμενες γνώσεις είναι έως εκείνες που στο ισχύον πρόγραμμα βιβλίο της Α΄ Λυκείου αντιστοιχούν έως την παράγραφο 3.2.
Η θα έχει λύση αν και μόνο αν ,
δηλαδή αν και μόνο αν για κάθε ισχύει δηλαδή αν και μόνο αν για κάθε είναι .
Συνέπεια των προηγουμένων είναι ότι η εξίσωση θα έχει λύση αν και μόνο αν έχει λύση και τον αριθμό . Οι αριθμοί αυτοί, που ενδεχομένως είναι ίσοι, έχουν ημιάθροισμα και επομένως υπάρχει αριθμός (θετικός αρνητικός ή μηδέν) ώστε και η εξίσωση θα έχει ρίζα αν και μόνο αν ή ισοδύναμα αν δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει ώστε .
Θα έχει η εξίσωση λύση αν και μόνο αν και οι λύσεις θα είναι δηλαδή
.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Καλημέρα!
Μιας και είδα τη δημοσίευση και μου ήρθε στο μυαλό μια μέθοδο που είχα διαβάσει παλαιότερα
στο περιοδικό "εκπαιδευτικοί προβληματισμοί" του οποίου τα τεύχη παρέχονται on line.
Το άρθρο που παραπέμπω είναι του Ανδρέα Σβέρκου και μιλά για γραφική επίλυση εξίσωσης
2ου βαθμού με τη βοήθεια κύκλου.
3ο τεύχος "Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί.
Μιας και είδα τη δημοσίευση και μου ήρθε στο μυαλό μια μέθοδο που είχα διαβάσει παλαιότερα
στο περιοδικό "εκπαιδευτικοί προβληματισμοί" του οποίου τα τεύχη παρέχονται on line.
Το άρθρο που παραπέμπω είναι του Ανδρέα Σβέρκου και μιλά για γραφική επίλυση εξίσωσης
2ου βαθμού με τη βοήθεια κύκλου.
3ο τεύχος "Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί.
Χρήστος Κυριαζής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Καλημέρα σε όλους και καλό Πάσχα!
Μεταφέρω αυτούσια την εισαγωγική γεωμετρική παρουσίαση του Νίκου, στο βιβλίο του "Άλγεβρα Ά Λυκείου, σχολικές σημειώσεις" που προσφέρεται ΕΔΩ, σημειώνοντας ότι ο υπότιτλος "σχολικές σημειώσεις" μπορεί να εκληφθεί μόνον ως μνημείο μετριοφροσύνης.
Μεταφέρω αυτούσια την εισαγωγική γεωμετρική παρουσίαση του Νίκου, στο βιβλίο του "Άλγεβρα Ά Λυκείου, σχολικές σημειώσεις" που προσφέρεται ΕΔΩ, σημειώνοντας ότι ο υπότιτλος "σχολικές σημειώσεις" μπορεί να εκληφθεί μόνον ως μνημείο μετριοφροσύνης.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
O συνάδελφος Δημήτρης Ντρίζος, τ. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών είχε αναρτήσει το 2008 στην ιστοσελίδα του
(http://srv-dide.tri.sch.gr/sxsymboyloi/?page_id=6 ανάρτηση Νο 197)
ένα τρόπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Του ζήτησα το πρωτογενές αρχείο και είχε την καλοσύνη να μου το στείλει.
Το παραθέτω ευχόμενος συγχρόνως Καλή Δύναμη και Καλή Ανάσταση σε όλους.
Επίλυση στο της εξίσωσης ,
με τη συμβολή της ταυτότητας
Ισχύει
, καθώς .
Θέτοντας η ισότητα
γράφεται
.
Οπότε
και .
Με αντικατάσταση των και στην ταυτότητα
βρίσκουμε
(*),
και στην περίπτωση που από την (*) ισοδύναμα παίρνουμε
ή
.
Με πρόσθεση κατά μέλη καθεμιάς από τις τελευταίες ισότητες με την
παίρνουμε αντιστοίχως
ή ,
οι οποίες γράφονται ως ,
καθώς
αν ενώ αν .
Δ. Ν.
(http://srv-dide.tri.sch.gr/sxsymboyloi/?page_id=6 ανάρτηση Νο 197)
ένα τρόπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Του ζήτησα το πρωτογενές αρχείο και είχε την καλοσύνη να μου το στείλει.
Το παραθέτω ευχόμενος συγχρόνως Καλή Δύναμη και Καλή Ανάσταση σε όλους.
Επίλυση στο της εξίσωσης ,
με τη συμβολή της ταυτότητας
Ισχύει
, καθώς .
Θέτοντας η ισότητα
γράφεται
.
Οπότε
και .
Με αντικατάσταση των και στην ταυτότητα
βρίσκουμε
(*),
και στην περίπτωση που από την (*) ισοδύναμα παίρνουμε
ή
.
Με πρόσθεση κατά μέλη καθεμιάς από τις τελευταίες ισότητες με την
παίρνουμε αντιστοίχως
ή ,
οι οποίες γράφονται ως ,
καθώς
αν ενώ αν .
Δ. Ν.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Χρήση της ταυτότητας γίνεται και στην μέθοδο Lagrange resolvents π.χ. στην ενότητα 4.3 "By Lagrange resolvents".
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Καταρχάς χρόνια πολλά με υγεία σε όλους!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Απρ 05, 2020 12:25 pmα) Αν η εξίσωση είχε την μορφή (ισοδύναμα ) θα μπορούσα να την λύσω και διερευνήσω εύκολα.nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 05, 2020 12:52 amΝα λυθεί η εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές και .
Στόχος της ανάρτησης είναι να συγκεντρωθούν προς χάριν των συναδέλφων, διάφορες διδάξιμες τεχνικές επίλυσης.
β) Γενικά τώρα, μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση στην παραπάνω μορφή κάνοντας μετασχηματισμό της μορφής . Συγκεκριμένα θα γίνει
, ισοδύναμα . Οπότε επιλέγουμε ή .
Και λοιπά.
Ο μετασχηματισμός που προτείνει παραπάνω ο κ.Λάμπρου λειτουργεί και για πολυωνυμικές εξισώσεις ν-οστού βαθμού στη γενική μορφή, θέτοντας όπου , λαμβάνουμε μία νέα εξίσωση στην οποία έχει γίνει απαλοιφή του όρου: .
Θεωρώ ενδιαφέρον διδακτικά να διερευνηθεί πώς ακριβώς δρα αυτός ο μετασχηματισμός γεωμετρικά από τους μαθητές, δηλαδή ότι πρόκειται για μία οριζόντια μετατόπιση, ώστε το σημείο τομής με τους άξονες να έρθει στον στις πρωτοβάθμιες ή η κορυφή της παραβολής να έρθει στον αντίστοιχα στις δευτεροβάθμιες. Δηλαδή έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς δρα ο μετασχηματισμός και στις πρωτοβάθμιες εξισώσεις:
Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό σε μία πρωτοβάθμια εξίσωση σε γενική μορφή:
. Ο μετασχηματισμός είναι σε αυτήν την περίπτωση: και θέτοντας στην αρχιική εξίσωση έχουμε:
Σε αυτήν την τελευταία σχέση φαίνεται ακριβώς ότι έγινε ένας μετασχηματισμός που βρίσκει το σημείο τομής με τον άξονα .
O ίδιος μετασχηματίσμός για την δευτερoβάθμια εξίσωση
προκαλεί μία μετατόπιση με την οποία η κορυφή της παραβολής έρχεται στον άξονα , αφού πετυχαίνει να γίνει δηλαδή .
Αυτό φαίνεται αλγεβρικά επίσης:
Πέραν της αρχικής διερεύνησης της αλγεβρικής λύσης των εξισώσεων και των ανισώσεων 2ου βαθμού στην άλγεβρα της Α΄λυκείου, θεωρώ ότι είναι ιδιαίτερα σημαντικό να συνδεθούν με τις γεωμετρικές διερευνήσεις που προκύπτουν, μέσω των αντιστοίχων συναρτήσεων και για αυτό πρέπει και οι μετατοπίσεις των γραφικών παραστάσεων να διερευνώνται για πρώτη φορά στην Α΄λυκείου και συγκεκριμένα στη μελέτη του τριωνύμου. Εξάλλου τα εργαλεία δυναμικής γεωμετρίας που έχουμε στη διάθεσή μας μπορούν να βοηθήσουν πολύ στην ανάπτυξη τέτοιων διερευνητικών δραστηριοτήτων.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Χριστός Ανέστηchris_gatos έγραψε: ↑Παρ Απρ 17, 2020 2:36 amΚαλημέρα!
Μιας και είδα τη δημοσίευση και μου ήρθε στο μυαλό μια μέθοδο που είχα διαβάσει παλαιότερα
στο περιοδικό "εκπαιδευτικοί προβληματισμοί" του οποίου τα τεύχη παρέχονται on line.
Το άρθρο που παραπέμπω είναι του Ανδρέα Σβέρκου και μιλά για γραφική επίλυση εξίσωσης
2ου βαθμού με τη βοήθεια κύκλου.
3ο τεύχος "Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί.
Δεν γνώριζα το άρθρο του συναδέλφου Ανδρέα Σβέρκου:
(1) Αν. Σβέρκος Γραφική επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού με τη βοήθεια κύκλου, Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί, 3, 1997, σελ. 5-6
Γνώριζα το άρθρο στο οποίο παραπέμπει στο τέλος και το οποίο περιγράφει την μέθοδο του (1):
(2) Walter Paterson III, Andre' M. Lubecke A special circle for Quadratic equations, The Mathematics Teacher, No. 2 , 1991, σελ. 125-127
Η μέθοδος του (2) είναι η ίδια με εκείνη που περιγράφεται σε ένα σύντομο σημείωμα στο The Mathematical Gazette:
(3) J.W. Hesselgreaves The Quadratiq Equation , The Mathematical Gazette 42, No 339, 1958 σελ. 57
Φυσικά είναι λογικό για τόσο "ψαγμένα" θέματα να υπάρχουν κάπου στο παρελθόν οι ίδιeς επεξεργασίες.
Είχα αφήσει την παρουσίαση της τεχνικής των (2) και (3) για μετά για τρεις λόγους
α) Διότι για να εφαρμοστεί στην Α΄Λυκείου θέλει κάποιες τροποποιήσεις.
β) Διότι από την στιγμή που πλέον διδάσκεται το θεώρημα του Θαλή στο Γυμνάσιο είναι εφικτό συγκεκριμένη τεχνική να εφαρμοστεί στην γενική περίπτωση της .
γ) Να γραφούν πρώτα μερικές αμιγώς αριθμητικές μέθοδοι και να ακολουθήσουν οι γραφικές ή άλλου τύπου προσεγγιστικές λύσεις.
Μιας και το γ) δεν είναι σπουδαίος λόγος και αφού έγινε συζήτηση ας πάμε στην συγκεκριμένη μέθοδο.
Η μέθοδος των (1), (2), (3) επιλύει με την βοήθεια κύκλου την . Ο τρόπος, αδρομερώς, είναι ο ακόλουθος:
Κατασκευάζονται τα σημεία , και με διάμετρο αυτά τα σημεία γράφεται κύκλος. Οι τετμημένες των σημείων τομής του κύκλου αυτού με τον -άξονα, εφ' όσον υπάρχουν, είναι οι ρίζες.
Στα (1), (2) (στο (3) δεν αναφέρονται λεπτομέρειες) χρησιμοποιείται η εξίσωση του κύκλου:
Αν πρόκειται το θέμα να διδαχθεί στην Α΄Λυκείου αντί της εξίσωσης του κύκλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η απόσταση δύο σημείων τόσο για τον εντοπισμό του κέντρου και της ακτίνας όσο και για τον εντοπισμό του σημείου τομής με τον -άξονα. Αν πρόκειται το θέμα να διδαχθεί στην Β΄Λυκείου αντί της εξίσωσης του κύκλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων που μας δίνει κατ΄ευθείαν δηλαδή .
Τώρα όσον αφορά την μετατροπή της στην μορφή απ΄οτην στιγμή που δουλεύουμε με άξονες έχουμε μοναδιαίο τμήμα και μπορούμε να κατασκευάσουμε τους αριθμούς αρκεί να έχουμε τους αριθμούς . Για να βρούμε λ.χ. το από το σημείο παράλληλη στο τμήμα των και η οποία τέμενει τον άξονα των στο . Η αναγωγή της γενικής περίπτωσης στην ειδική έπεται.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Σωστά.nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:24 pmΦυσικά είναι λογικό για τόσο "ψαγμένα" θέματα να υπάρχουν κάπου στο παρελθόν οι ίδιeς επεξεργασίες.
Η μέθοδος που παραθέτει ο Γιώργος παραπάνω (ποστ #10) από το Σχολικό βιβλίο, οφείλεται στον Descart. Την έχει κοντά στην αρχή της περίφημης La Geometrie του.
Ωραία μέθοδο γεωμετρικής ερμηνείας της συμπλήρωσης τετραγώνου είχε στην δική του Άλγεβρα ο Al Kwarizmi.
Και τα δύο υπάρχουν εν γένει στις καλές ιστορίες των Μαθηματικών αλλά τις περιέχει και το αρθράκι
εδώ
στην σελίδα . Παραθέτω το αρθράκι και όχι τις πρωτότυπες πηγές γιατί είναι ευχάριστο και απλό ανάγνωσμα στο αρχικό ερώτημα του θρεντ, σίγουρα προσιτό σε μαθητές που ξέρουν αγγλικά.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Απρ 20, 2020 11:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Καλημέρα σε όλους.
Ως συνέχεια της ενδιαφέρουσας συζήτησης, δίνω μια ειδική περίπτωση γεωμετρικής επίλυσης δευτεροβάθμιάς εξίσωσης, της μορφής . Περιέχεται στην πρόταση ια' από το 2ο βιβλίο του Ευκλείδη, όπως την παρουσιάζει ο Γιώργος Λαγουδάκος στο βιβλίο του Στιγμές Ιστορίας της Επίλυσης των εξισώσεων. (Η διαδικτυακή αναζήτηση είναι εύκολη).
Ως συνέχεια της ενδιαφέρουσας συζήτησης, δίνω μια ειδική περίπτωση γεωμετρικής επίλυσης δευτεροβάθμιάς εξίσωσης, της μορφής . Περιέχεται στην πρόταση ια' από το 2ο βιβλίο του Ευκλείδη, όπως την παρουσιάζει ο Γιώργος Λαγουδάκος στο βιβλίο του Στιγμές Ιστορίας της Επίλυσης των εξισώσεων. (Η διαδικτυακή αναζήτηση είναι εύκολη).
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Μιχάλη πράγματι ο Καρτέσιος αναφέρει την τεχνική αυτή στην Γεωμετρία του (Στην έκδοση Dover που έχω είναι στις σελίδες 12-13). Στο κείμενο δεν αναφέρεται πως προκύτει το συμπέρασμα. Οι μεταφραστές-επιμελητές (μεταξύ των οποίων και ο Smith) εικάζουν (υποσημείωση της σελίδας 13) ότι χρησιμοποιεί αυτό που ονομάστηκε αργότερα "δύναμη σημείου". Το αποτέλεσμα υπάρχει στα "Στοιχεία" (είναι η 36 του τρίτου βιβλίου) και αναλύεται πολύ ωραία στοMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 10:44 pmΣωστά.nsmavrogiannis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 19, 2020 9:24 pmΦυσικά είναι λογικό για τόσο "ψαγμένα" θέματα να υπάρχουν κάπου στο παρελθόν οι ίδιeς επεξεργασίες.
Η μέθοδος που παραθέτει ο Γιώργος παραπάνω (ποστ #10) από το Σχολικό βιβλίο, οφείλεται στον Descart. Την έχει κοντά στην αρχή της περίφημης La Geometrie του.
Ωραία μέθοδο γεωμετρικής ερμηνείας της συμπλήρωσης τετραγώνου είχε στην δική του Άλγεβρα ο Al Kwarizmi.
Και τα δύο υπάρχουν εν γένει στις καλές ιστορίες των Μαθηματικών αλλά τις περιέχει και το αρθράκι
εδώ
στην σελίδα . Παραθέτω το αρθράκι και όχι τις πρωτότυπες πηγές γιατί είναι ευχάριστο και απλό ανάγνωσμα στο αρχικό ερώτημα του θρεντ, σίγουρα προσιτό σε μαθητές που ξέρουν αγγλικά.
Στέλιος Νεγρεπόντης, Βασιλική Φαρμάκη Ιστορία Αρχαίων Ελληνκών Μαθηματικών Τόμος 1. Εκκρεμές 2019 σελ. 269-271.
Την τεχνική αυτή την μαθαίναμε ως εφαρμογή στο σχολείο (το σχολείο που τελείωσα ήταν πιο κοντά στο κλασσικό Γυμνάσιο: κάναμε Λατινικά και η Γεωμετρία που διδασκόμασταν ήταν εκείνη του Νικολάου) και ως μέθοδος επίλυσης υπάρχει και στο:
Δημήτρης Τσιμπουράκης Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα 2η Έκδοση, ALIEN, 1985 σελ. 152
Πιθανόν, δεν είμαι σίγουρος, η συγκεκριμένη πρόταση να μην χρησιμοποιείτο από τους Αρχαίους Έλληνες για την κατασκευή μηκών που εμπλέκονται σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις και να χρησιμοποιούσαν μόνο εμβαδά. Γιαυτό αν ξανα έγραφα τώρα τις σημειώσεις που αναφέρει ο Γιώργος στο 10# θα ξανασκεφτόμουν την φράση "Πριν προχωρήσουμε...'Ελληνες.". Ας σημειωθεί ότι επειδή τα παιδιά στην Α΄τάξη δεν γνωρίζουν δύναμη σημείου προτίμησα να την αντικαταστήσω με την ομοιότητα.
Το άρθρο στο οποίο παραπέμπεις δεν το γνώριζα. Ευχαριστούμε.
Γιώργο ευχαριστούμε.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Απρ 20, 2020 11:49 am....
Ως συνέχεια της ενδιαφέρουσας συζήτησης, δίνω μια ειδική περίπτωση γεωμετρικής επίλυσης δευτεροβάθμιάς εξίσωσης, της μορφής . Περιέχεται στην πρόταση ια' από το 2ο βιβλίο του Ευκλείδη, όπως την παρουσιάζει ο Γιώργος Λαγουδάκος στο βιβλίο του Στιγμές Ιστορίας της Επίλυσης των εξισώσεων. (Η διαδικτυακή αναζήτηση είναι εύκολη).
....
Ελπίζω από την συζήτηση του θέματος να βγούμε κερδισμένοι.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες