Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Συντονιστής: nsmavrogiannis
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της σταθεράς ώστε
για κάθε μη αρνητικούς πραγματικούς.
για κάθε μη αρνητικούς πραγματικούς.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Κάνω την αρχή!
Αν η ζητούμενη ισχύει για όλους τους θα ισχύει και για τους όπου
Με αντικατάσταση στην ανισότητα προκύπτει
(την γράφουμε έτσι για να μην έχουμε σκοτούρες με το )
Μένει τώρα να βρούμε το μέγιστο της συνάρτησης
Είναι και με τη στάνταρ διαδικασία βρίσκουμε
.
Επομένως είναι
Απομένει να αποδειχθεί ότι πράγματι, αν ισχύει
Αν η ζητούμενη ισχύει για όλους τους θα ισχύει και για τους όπου
Με αντικατάσταση στην ανισότητα προκύπτει
(την γράφουμε έτσι για να μην έχουμε σκοτούρες με το )
Μένει τώρα να βρούμε το μέγιστο της συνάρτησης
Είναι και με τη στάνταρ διαδικασία βρίσκουμε
.
Επομένως είναι
Απομένει να αποδειχθεί ότι πράγματι, αν ισχύει
Μάγκος Θάνος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Εύλογα υποθέτουμε και , οπότε αναζητούμε το ελάχιστο της
όπου και
Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι ισχύει, υπό τις παραπάνω συνθήκες, η ανισότητα
ισοδύναμη προς την 'τριωνυμική' ανισότητα
(*)
Πράγματι, η διακρίνουσα ισούται προς
αρνητική για , άρα αρκει να αποδειχθεί η ανισότητα που προέκυψε για και & : αυτή ισχύει 'τριωνυμικώς' λόγω των ανισοτήτων
[Η πρώτη ανισότητα είναι άμεση από την , η δεύτερη είναι ισοδύναμη προς την ... που ισχύει για καθώς και .]
ΣΧΟΛΙΟ 17-1-2020: η δεύτερη ανισότητα προκύπτει για και από την .
Ύστερα από την απόδειξη της (*) που μόλις ολοκληρώθηκε, αρκεί να δειχθεί ότι το ελάχιστο της για ισούται προς .
Από την και την
προκύπτει ότι η ελαχιστοποιείται στο δοθέν διάστημα για , και το ζητούμενο ελάχιστο ισούται προς
Ο μέγιστος για τον οποίο ισχύει η είναι λοιπόν ο , με την ισότητα να επιτυγχάνεται για , , .
όπου και
Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι ισχύει, υπό τις παραπάνω συνθήκες, η ανισότητα
ισοδύναμη προς την 'τριωνυμική' ανισότητα
(*)
Πράγματι, η διακρίνουσα ισούται προς
αρνητική για , άρα αρκει να αποδειχθεί η ανισότητα που προέκυψε για και & : αυτή ισχύει 'τριωνυμικώς' λόγω των ανισοτήτων
[Η πρώτη ανισότητα είναι άμεση από την , η δεύτερη είναι ισοδύναμη προς την ... που ισχύει για καθώς και .]
ΣΧΟΛΙΟ 17-1-2020: η δεύτερη ανισότητα προκύπτει για και από την .
Ύστερα από την απόδειξη της (*) που μόλις ολοκληρώθηκε, αρκεί να δειχθεί ότι το ελάχιστο της για ισούται προς .
Από την και την
προκύπτει ότι η ελαχιστοποιείται στο δοθέν διάστημα για , και το ζητούμενο ελάχιστο ισούται προς
Ο μέγιστος για τον οποίο ισχύει η είναι λοιπόν ο , με την ισότητα να επιτυγχάνεται για , , .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Αν και το πρόβλημα έχει καλυφθεί πλήρως ... θα ήθελα να δείξω πως κατέληξα 'κατασκευαστικώς' στα παραπάνω ΠΡΙΝ το λύσω:
(Ι) Θεωρώντας την , αναζητούμε -- παρατηρώντας ότι -- εκείνα τα για τα οποία αυτή θα είναι αύξουσα, θα ισχύει δηλαδή η
Θεωρώντας την , αναζητούμε -- παρατηρώντας ότι -- εκείνα τα για τα οποία
που προφανώς ισχύει για .
Συμπεραίνουμε ότι για , άρα . [Είναι πιθανή η καθώς για είναι δυνατόν να είναι θετική η για χωρίς να είναι αύξουσα.]
(II) Θέτοντας , , η ζητούμενη λαμβάνει την μορφή , όπου . Για να έχουμε όμως το μέγιστο δυνατό θα πρέπει να ισχύει και η , δηλαδή η
Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην λαμβάνουμε την εξίσωση
και η επίλυση της δίνει , άρα . [Ήταν ακόμη πιθανή η , καθώς δεν είχα ακόμη αποδείξει ότι για μέγιστο οφείλουμε να έχουμε .]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Παρατηρώ ότι, συνδυάζοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες δημοσιεύσεις (#6 & #7), μπορούμε να αποφύγουμε πλήρως την χρήση παραγώγων και επομένως να παραμείνουμε 100% εντός φακέλου:
Μέσω της αναγωγής , διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε : αυτό μπορεί να γίνει μέσω της ανισότητας
που μπορεί να αποδειχθεί ΚΑΙ χωρίς την χρήση παραγώγων (#6). Έχοντας τώρα κάνει την αναγωγή μπορούμε πλέον να υποθέσουμε , οπότε αναζητούμε εκείνο το για το οποίο η εφάπτεται του άξονα των (), όπως έγινε στο #7, Ή έχει διπλή ρίζα: σ' αυτήν την προσέγγιση η μας δίνει το σύστημα , , , οπότε προκύπτουν οι
,
από τις πρώτες δύο εξισώσεις και από την τρίτη εξίσωση προκύπτει η γνωστή (#7)
Η 'τελική' αυτή εξίσωση επιλύεται πολύ πιο εύκολα από την αντίστοιχη 'τελική' εξίσωση στην #6, καθώς ανάγεται στην διτετράγωνη
Μέσω της αναγωγής , διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε : αυτό μπορεί να γίνει μέσω της ανισότητας
που μπορεί να αποδειχθεί ΚΑΙ χωρίς την χρήση παραγώγων (#6). Έχοντας τώρα κάνει την αναγωγή μπορούμε πλέον να υποθέσουμε , οπότε αναζητούμε εκείνο το για το οποίο η εφάπτεται του άξονα των (), όπως έγινε στο #7, Ή έχει διπλή ρίζα: σ' αυτήν την προσέγγιση η μας δίνει το σύστημα , , , οπότε προκύπτουν οι
,
από τις πρώτες δύο εξισώσεις και από την τρίτη εξίσωση προκύπτει η γνωστή (#7)
Η 'τελική' αυτή εξίσωση επιλύεται πολύ πιο εύκολα από την αντίστοιχη 'τελική' εξίσωση στην #6, καθώς ανάγεται στην διτετράγωνη
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Δευ Ιαν 20, 2020 11:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Ιαν 20, 2020 8:08 pmΠαρατηρώ, ότι συνδυάζοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες δημοσιεύσεις (#6 & #7), μπορούμε να αποφύγουμε πλήρως την χρήση παραγώγων και επομένως να παραμείνουμε 100% εντός φακέλου:
Μέσω της αναγωγής , διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε : αυτό μπορεί να γίνει μέσω της ανισότητας
που μπορεί να αποδειχθεί ΚΑΙ χωρίς την χρήση παραγώγων (#6). Έχοντας τώρα κάνει την αναγωγή μπορούμε πλέον να υποθέσουμε , οπότε αναζητούμε εκείνο το για το οποίο η εφάπτεται του άξονα των (), όπως έγινε στο #7, Ή έχει διπλή ρίζα: σ' αυτήν την προσέγγιση η μας δίνει το σύστημα , , , οπότε προκύπτουν οι
,
από τις πρώτες δύο εξισώσεις και από την τρίτη εξίσωση προκύπτει η γνωστή (#7)
Η 'τελική' αυτή εξίσωση επιλύεται πολύ πιο εύκολα από την αντίστοιχη 'τελική' εξίσωση στην #6, καθώς ανάγεται στην διτετράγωνη
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Μία προσπάθεια χωρίς πράξεις πολύ κοντά σε αυτό που έκανε ο Θάνος.
Από την ταυτότητα Euler θέλουμε το καλύτερο ώστε
Θέτουμε με . Οπότε αρκεί
Χρησιμοποιώντας ότι , αρκεί
Αν τώρα θέσω , η τελευταία ανάγεται στην ανισότητα μιας μεταβλητής
Οπότε θεωρούμε το κυβικό πολυώνυμο και με την παράγωγο βρίσκουμε ότι είναι θετικό αν και μόνο αν
, οπότε φτάνουμε στη διτρετράγωνη που βρήκε και ο κ. Μπαλόγλου παραπάνω.
Από την ταυτότητα Euler θέλουμε το καλύτερο ώστε
Θέτουμε με . Οπότε αρκεί
Χρησιμοποιώντας ότι , αρκεί
Αν τώρα θέσω , η τελευταία ανάγεται στην ανισότητα μιας μεταβλητής
Οπότε θεωρούμε το κυβικό πολυώνυμο και με την παράγωγο βρίσκουμε ότι είναι θετικό αν και μόνο αν
, οπότε φτάνουμε στη διτρετράγωνη που βρήκε και ο κ. Μπαλόγλου παραπάνω.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες