Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Συντονιστής: nsmavrogiannis
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan.
Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του .
:
:
:
Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του .
:
:
:
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση στη δεύτερη ισότητα του Θάνου. Φαντάζομαι με αντίστοιχο τρόπο θα αντιμετωπίζονται και οι άλλες. Υποθέτω ότι οι πωρωμένοι Ινδοί Τριγωνομέτρες θα έχουν άλλες τεχνικές, ίσως ταχύτερες.
Η σύνθεση που έκανα ήταν αποτέλεσμα αρκετών διαφορετικών δοκιμών.
Στο πρέπει .
Είναι
Από τους τύπους διπλασίου τόξου ή από τον Νόμο Ημιτόνων στα αντίστοιχα έχουμε:
Οπότε
.
Η σύνθεση που έκανα ήταν αποτέλεσμα αρκετών διαφορετικών δοκιμών.
Στο πρέπει .
Είναι
Από τους τύπους διπλασίου τόξου ή από τον Νόμο Ημιτόνων στα αντίστοιχα έχουμε:
Οπότε
.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Δεν ξέρω τι άρωμα φορά ο Ramanujan, αλλά ομολογώ ότι η πρώτη με βασάνισε πολύ.
Ομολογώ ότι αναζήτησα και χρησιμοποίησα δύο τύπους στο διαδίκτυο. (Δείτε τις παραπομπές).
Επίσης άλλαξα ένα πρόσημο. Ας ελέγξει ο Θάνος στην πηγή ή όποιος θέλει (και αντέχει) να κάνει επαλήθευση.
ΝΕΑ ΕΚΦΩΝΗΣΗ: Να δειχθεί ότι:
Α. Έβαλα (+) αντί για (-) στο δεύτερο κλάσμα.
Είναι (1) (Δείτε ΕΔΩ)
Είναι (2) (Δείτε ΕΔΩ)
Είναι (3) (Εύκολα αποδεικνύεται με τύπους διπλασίου τόξου).
Οπότε,
.
Ομοίως και
.
edit: Υπάρχει λάθος πρόσημο στον 2ο τύπο. Δείτε παρακάτω τη διόρθωση.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Δεκ 30, 2019 7:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Γιώργο, ίσως έχεις δίκιο (δεν έλεγξα την απόδειξή σου). Πάντως, η αρχική εκφώνηση είναι όπως την έδωσα.
- Συνημμένα
-
- trig1.png (6.17 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Καλησπέρα σε όλους και Καλή Χρονιά!
Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.
Ξαναγράφω την παραπάνω προσέγγιση με τις διορθώσεις:
Α. Να αποδειχθεί ότι:
Είναι
Είναι
Είναι
.
Ομοίως και
.
Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.
Ξαναγράφω την παραπάνω προσέγγιση με τις διορθώσεις:
Α. Να αποδειχθεί ότι:
Είναι
Είναι
Είναι
.
Ομοίως και
.
Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Δεκ 30, 2019 7:17 pmΚαλησπέρα σε όλους και Καλή Χρονιά!
Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.
...
Όπως είχαμε αναφέρει κι εδώ, από το πρόβλημα 230(a) του USSR Olympiad Problem Book, D.O. Shklarsky et.al., Dover, NY, 1993, οι
, , ,
είναι ρίζες του
,
οπότε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες