Είναι ακέραιος

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4013
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Είναι ακέραιος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Σεπ 20, 2019 3:12 pm

Να δειχθεί ότι ο αριθμός:

\displaystyle{\mathcal{N} = \frac{1053^3+392^3+378^3}{2579}}
είναι ακέραιος.


Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι ακέραιος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 20, 2019 5:02 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 3:12 pm
Να δειχθεί ότι ο αριθμός:

\displaystyle{\mathcal{N} = \frac{1053^3+392^3+378^3}{2579}}
είναι ακέραιος.
Πιστεύω ότι υπάρχει και ευκολότερος τρόπος αλλά να ένας απλός.

\displaystyle{\mathcal{N} = \frac{(2579-1526)^3+392^3+378^3}{2579}}= \frac{2579n-1526^3+392^3+378^3}{2579}}=

\displaystyle{= n  +\frac{-(2\cdot 7 \cdot 109)^3+(2\cdot 7 \cdot 28)^3+(2\cdot 7 \cdot 27)^3}{2579}}=n  +2^3\cdot 7^3\cdot \frac{-109^3+ 28^3+27^3}{2579}}

Τώρα δεν έχει παρά να βεβαιωθείς ότι ο \displaystyle{\frac{-109^3+ 28^3+27^3}{2579}} είναι ακέραιος. Αλλά τώρα τα νούμερα είναι μικρά και δεν φοβόμαστε να εργαστούμε "με το χέρι". Όντως, το εν λόγω κλάσμα ισούται -486.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Είναι ακέραιος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Σεπ 20, 2019 7:51 pm

Λίγο πιο σύντομα αλλά ίσως όχι ακόμη η βέλτιση λύση:

\displaystyle  
\begin{aligned} 
1053^3 + 392^3 + 378^3  &= 1053^3 + (2579-2187)^3 + 378^3 \\ 
&= 2579n + 1053^3 + 378^3 - 2187^3 \\ 
&= 2579n + 27^3(39^3 + 14^3 - 81^3) 
\end{aligned}

Μένει να δείξουμε ότι το 39^3 + 14^3 - 81^3 είναι πολλαπλάσιο του 2579. Οι πράξεις είναι κάπως λιγότερες από αυτές του Μιχάλη. Δεν τις έκανα ευελπιστώντας σε κάτι καλύτερο.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Είναι ακέραιος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Σεπ 20, 2019 8:05 pm

Άλλη μια λύση:
Έχω:

1053=3^4\cdot 13

392=2^3\cdot 7^2

378=2\cdot 3^3\cdot 7

"Παίζοντας" με τους αριθμούς, παρατηρώ ότι:

1053+392+1134=2579

και

1134=3\cdot 378

Ετσι, μπορώ να εκμεταλλευτώ την ταυτότητα του Euler και έχω:

N=\dfrac{1053^3+392^3+1134^3+378^3-1134^3}{2579} \Leftrightarrow

N=\dfrac{2579n+3\cdot 1134\cdot 392\cdot 1053+378^3-1134^3}{2579}

N=\dfrac{2579n+3^2\cdot 378\cdot 392\cdot 1053+378^3-3^3\cdot 378^3}{2579}

N=\dfrac{2579n+2^4\cdot 3^9\cdot 7^3\cdot 13-26\cdot 378^3}{2579}

N=\dfrac{2579n+2^4\cdot 3^9\cdot 7^3\cdot 13-2^4\cdot 3^9\cdot 7^3\cdot 13}{2579}

N=n


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Είναι ακέραιος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Σεπ 20, 2019 11:50 pm

Και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 1p12942041
Με λύση ουσιαστικά σαν του Κώστα.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης