Ισότητα σε κλάσμα

Tolaso J Kos · #1

Κοιτούσαμε σήμερα με τα παιδιά κάποιες ασκήσεις πάνω στη τριγωνομετρία και προέκυψε το ακόλουθο...

Έστω $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ πραγματικοί αριθμοί με $\gamma\neq 0$ και $\delta \neq 0$ . Ένα παιδάκι ισχυρίστηκε ότι:

$\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{\gamma + \delta} = \frac{\alpha}{\gamma} + \frac{\beta}{\delta} \quad \quad \quad (1)}$

Τι επιχείρημα θα χρησιμοποιούσατε έτσι ώστε να πείσετε τον μαθητή ότι η δεν είναι σωστή;
Υπάρχουν προϋποθέσεις έτσι ώστε η να ισχύει ;

Ιστοσελίδα · #2

Για τι τάξη πρόκειται; Να υποθέσω β΄λυκείου;
Είναι γνωστό ότι οι αναλογίες είναι κάτι που σιχαίνονται, κατανοούν δύσκολα και θυμούνται ακόμη δυσκολότερα οι περισσότεροι μαθητές(;) ή τέλος πάντων πολλοί μαθητές.
Ξεκίνησα με αυτό, διότι πιστεύω ότι με κάτι τέτοιο το μπερδεύουν συχνά οι μαθητές των μεγάλων τάξεων και όχι με την κατανόηση των πράξεων κλασμάτων.
Συνεπώς, μαζί με ένα αντιπαράδειγμα που θα πείσει για την μη ορθή χρήση ιδιοτήτων, επιβάλλεται να γίνει υπενθύμιση και των βασικών ιδιότητων των αναλογιών με βάση τις οποίες πιθανώς να γίνεται το μπέρδεμα.
Το ερώτημα ιι) μπορεί να δοθεί ως μία καλή άσκηση περαιτέρω διερεύνησης.

Tolaso J Kos · #3

Σωτήρη ασκήσεις στη τριγωνομετρία σήμερα έκανα στη Γ Γυμνασίου... αποδεικνύαμε απλές ταυτότητες ... και κάπου ένα παιδάκι ισχυρίστηκε την (1)

. Αφού είπα ότι δεν ισχύει ( δε μπήκα σε λεπτομέρειες , αφού δεν είχα εύκαιρη μία αντιμετώπιση του θέματος ) θέτω το ερώτημα εδώ για μελλοντική χρήση ( τόσο από μένα όσο και από άλλους )

Οπότε η ερώτηση είναι πώς θα εξηγούσαμε σε παιδιά Γ Γυμνασίου το παραπάνω ;

Σταμ. Γλάρος · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 10:24 pm
Κοιτούσαμε σήμερα με τα παιδιά κάποιες ασκήσεις πάνω στη τριγωνομετρία και προέκυψε το ακόλουθο...

Έστω $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ πραγματικοί αριθμοί με $\gamma\neq 0$ και $\delta \neq 0$ . Ένα παιδάκι ισχυρίστηκε ότι:

$\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{\gamma + \delta} = \frac{\alpha}{\gamma} + \frac{\beta}{\delta} \quad \quad \quad (1)}$

Τι επιχείρημα θα χρησιμοποιούσατε έτσι ώστε να πείσετε τον μαθητή ότι η δεν είναι σωστή;

Υπάρχουν προϋποθέσεις έτσι ώστε η να ισχύει ;

Καλησπέρα. Αυτό το λάθος το κάνουν συχνά και παιδιά Δημοτικού. Ομως εδώ έχουμε πρόβλημα πρόσθεσης. Δηλαδή,
προσθέτουν τα κλάσματα, χωρίς να τα κάνουν ομώνυμα.
Θα συμφωνήσω με τον Σωτήρη. Ένα αντιπαράδειγμα και μάλιστα με ακεραίους λειτουργεί ακόμα και σε παιδιά Δημοτικού.
ii) Για το ερώτημα αυτό εργαζόμαστε ως εξής. Κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών στην (1) ισοδυνάμως έχουμε:
$a\cdot \delta ^2+\beta \cdot \gamma ^2 = 0$ .
Μια καλή εφαρμογή, επανάληψη στις ρίζες μια και πρόκειται για Γ΄Γυμνασίου, νομίζω είναι η εξής:
$a=1 \,\,\,,\beta =-2\,\,\,,\gamma =\sqrt{2}\,\,\,,\delta =2$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ισότητα σε κλάσμα

Ισότητα σε κλάσμα

Re: Ισότητα σε κλάσμα

Re: Ισότητα σε κλάσμα

Re: Ισότητα σε κλάσμα

Μέλη σε σύνδεση