Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Tolaso J Kos · #1

Δείξατε ότι
$\displaystyle{\frac{\log 2}{2} < \frac{1}{e}}$ Προέκυψε τυχαία.... δεν έχω λύση!

dement · #2

Ας το αφήσουμε για τους μαθητές μια και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο.

sot arm · #3

Καλησπέρα, η συνάρτηση :
$\displaystyle{f(x)=\frac{lnx}{x}}$ είναι αύξουσα στο (0,e]

, παραγωγιζοντας και τα σχετικά,
άρα $\displaystyle{f(2)<f(e)}$ και τα λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 12:21 pm
Δείξατε ότι
$\displaystyle{\frac{\log 2}{2} < \frac{1}{e}}$ Προέκυψε τυχαία.... δεν έχω λύση!

Γράφεται ισοδύναμα $e\ln2< 2$

λογαριθμίζοντας γίνεται $1+\ln(\ln2)< \ln2$

Η τελευταία ισχύει γιατί από εφαρμογή του σχολικού είναι

$\ln x< x-1,x> 0,x\neq 1$

(θέτουμε $x=\ln 2$ )

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 12:21 pm
Δείξατε ότι
$\displaystyle{\frac{\log 2}{2} < \frac{1}{e}}$

Είναι αρκετά γνωστό (και οι παραπάνω αποδείξεις το δείχνουν) ότι για κάθε x>0

ισχύει $\displaystyle{ x^ {1/x} \le e ^ {1/e} }$ με γνήσια ανισότητα αν $x\ne e$ . Το παραπάνω είναι η ειδική περίπτωση x=2

ενώ κάποτε στον ΑΣΕΠ είχε πέσει η περίπτωση $x=\pi$ .

Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Μέλη σε σύνδεση