Πολύπλοκη αντίθεση

KARKAR · #1

Η εξίσωση : $x+\sqrt{1+x^2}=2^x$ , έχει βέβαια την προφανή λύση x=0

.

Δείξτε ότι έχει δύο ακόμη λύσεις ( ρίζες ) και εξηγήστε γιατί είναι αντίθετες .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2017 12:24 pm
Η εξίσωση : $x+\sqrt{1+x^2}=2^x$ , έχει βέβαια την προφανή λύση .

Δείξτε ότι έχει δύο ακόμη λύσεις ( ρίζες ) και εξηγήστε γιατί είναι αντίθετες .

H διαφορά $f(x)=x+\sqrt{1+x^2}-2^x$ έχει δεύτερη παράγωγο $\frac {1} {\sqrt [3]{(1+x^2)^2}}- 2^x(ln2)^2$ που είναι γνήσια φθίνουσα για x>0

(ως διαφορά γνήσια αύξουσας από γνήσια φθίνουσα) . Άρα η

, πάντα για x>0

, εύκολα αποδεικνύεται αύξουσα στην αρχή, με f(0)=0

, και φθίνουσα από ένα σημείο και πέρα με $f(x) \to -\infty$ καθώς $x\to \infty$ . Δηλαδή στο x>0

μηδενίζεται μία φορά.

Τώρα, έστω

θετική ρίζα, f(a)=0

. H ισότητα των αντιστρόφων της $a+\sqrt{1+a^2} = 2^a$ είναι μετά τις απλοποιήσεις η $-a+\sqrt{1+a^2} = 2^{-a}$ ή αλλιώς f(-a)=0

, που δείχνει ότι και η συμμετρική

είναι ρίζα, και αντίστροφα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2017 12:24 pm
Η εξίσωση : $x+\sqrt{1+x^2}=2^x$ , έχει βέβαια την προφανή λύση .

Δείξτε ότι έχει δύο ακόμη λύσεις ( ρίζες ) και εξηγήστε γιατί είναι αντίθετες .

Δίνω τη λύση συνοπτικά λόγω φακέλου.

: Αντίθετες ρίζες..png (16.11 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - x\ln 2 = 0$

Εύκολα προκύπτει ότι η $\displaystyle f(x) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - x\ln 2$ είναι περιττή και με Bolzano

βρίσκουμε ότι έχει μία

ρίζα στο (2,3),

άρα θα έχει και την αντίθετή της. Στη συνέχεια με μονοτονία διαπιστώνουμε ότι δεν έχει άλλες ρίζες.
Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται ο πίνακας μεταβολών της

: Αντίθετες ρίζες..b.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Θα μπορούσε να δοθεί και σε φάκελο Γ' Λυκείου.

KARKAR · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2017 3:05 pm

Θα μπορούσε να δοθεί και σε φάκελο Γ' Λυκείου .

Πράγματι Γιώργο , ίσως να ταίριαζε στο φάκελο "θέματα με απαιτήσεις Γ' "

νομίζω όμως , ότι και πάλι θα τη θεωρούσαμε πολύ δύσκολη για μαθητές Λυκείου ...

Πολύπλοκη αντίθεση

Πολύπλοκη αντίθεση

Re: Πολύπλοκη αντίθεση

Re: Πολύπλοκη αντίθεση

Re: Πολύπλοκη αντίθεση

Μέλη σε σύνδεση