Δύναμη με ρητό εκθέτη

Συντονιστής: nsmavrogiannis

margk
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Δύναμη με ρητό εκθέτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Τετ Νοέμ 01, 2017 5:26 pm

Καλησπέρα σε όλους .
Ορίζεται η δύναμη (-2)^{6/2};


MARGK

Λέξεις Κλειδιά:
Γιάννης Θωμαΐδης
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 11:15 pm

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Θωμαΐδης » Τετ Νοέμ 01, 2017 8:48 pm

Μια έμμεση απάντηση στο ερώτημα, στη μορφή μιας άσκησης που έχει στόχο να κατανοήσουν οι μαθητές για ποιο λόγο στον ορισμό της δύναμης με ρητό εκθέτη απαιτούμε τη θετικότητα της βάσης. Ο περιορισμός αυτός στη σελίδα 72 του σχολικού βιβλίου της Α΄ Λυκείου επιβάλλεται με δογματικό τρόπο, παρά το γεγονός ότι η αναγκαιότητα του συγκεκριμένου ορισμού εξηγείται ικανοποιητικά ("αρχή της διατήρησης"):

Να βρείτε το λάθος στην παρακάτω «απόδειξη» της ισότητας –8 = 8:

\displaystyle  
 - 8 = \left( { - 2} \right)^3  = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}}  = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}}  = 64^{\frac{1}{2}}  = \sqrt {64}  = 8

Οι επιδόσεις των μαθητών στο θέμα Δ1 των φετινών πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικών Προσανατολισμού, έδειξαν ότι ενώ σχεδόν όλοι γνωρίζουν με τι ισούται μια δύναμη με ρητό εκθέτη, ελάχιστοι γνωρίζουν πότε ισχύει αυτή ισότητα.

Γιάννης Θωμαΐδης


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 01, 2017 8:56 pm

ότι θες ορίζεται.

Αν εννοείς στο Λύκειο δεν είμαι κατάλληλος να απαντήσω.(βλέπω απάντηση πιο πάνω)

Το συγκεκριμένο αν θεωρήσουμε την πλειότιμη συνάρτηση δύναμη είναι μονοσήμαντο και κάνει -8.

Συγκεκριμένα (-2)^{\frac{6}{2}}=e^{3log(-2)}

log(-2)=ln2+i\pi +i2k\pi ,k\in \mathbb{Z}

Ετσι είναι (-2)^{\frac{6}{2}}=e^{ln8+i\pi +i2k\pi }=e^{ln8}e^{i\pi }=8(-1)=-8


Εξηγήσεις.
log είναι ο μιγαδικός λογάριθμος(πλειότιμη συνάρτηση)
ln είναι ο πραγματικός λογάριθμος.
Για k\in \mathbb{Z} είναι e^{2k\pi i}=1


mathstudent03
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2011 9:09 am

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathstudent03 » Πέμ Νοέμ 29, 2018 3:48 pm

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 8:48 pm
\displaystyle  
 - 8 = \left( { - 2} \right)^3  = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}}  = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}}  = 64^{\frac{1}{2}}  = \sqrt {64}  = 8
Τελικά το λάθος είναι στο δεύτερο "=" που περνάμε σε κλασματικό εκθέτη, ή στο τρίτο "=" που χρησιμοποιούμε την ιδιότητα δύναμης σε άλλη δύναμη;


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Νοέμ 29, 2018 4:13 pm

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 8:48 pm
Να βρείτε το λάθος στην παρακάτω «απόδειξη» της ισότητας –8 = 8:

\displaystyle  
 - 8 = \left( { - 2} \right)^3  = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}}  = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}}  = 64^{\frac{1}{2}}  = \sqrt {64}  = 8
H εκθέτες όλοι πάνε μόνο στο 2 και όχι στο -2. Η πρώτη ισότητα απλά ισχύει επειδή ο 3 είναι περιττός ένα παράδειγμα -4\neq (-2)^{2}


Γιάννης Θωμαΐδης
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 11:15 pm

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Θωμαΐδης » Παρ Νοέμ 30, 2018 12:24 am

Όταν ζητούμε να βρεθεί το λάθος στην απόδειξη της ισότητας

-8=(-2)^{3}=(-2)^{\frac{6}{2}}=[(-2)^{6}]^{\frac{1}{2}}=64^{\frac{1}{2}}=\sqrt{64}=8

στήνουμε κατά κάποιο τρόπο μια «παγίδα» στον αναγνώστη, επειδή στην ουσία δεν υπάρχει κανένα λάθος.
Το παράδειγμα δείχνει ότι με τους περιορισμούς που θέτουμε στα σχολικά Μαθηματικά (στη λογική της παροιμίας «κάλλιο γαϊδουρόδενε παρά γαϊδουρογύρευε»), η εφαρμογή των ιδιοτήτων των δυνάμεων σε δυνάμεις με αρνητική βάση και ρητό εκθέτη θα οδηγήσει σε παράδοξα. Δεν υπάρχει όμως κανένα παράδοξο αν είμαστε σχολαστικοί και ελέγχουμε τι γράφουμε σε κάθε βήμα.
Στην τελευταία ισότητα θα μπορούσαμε π.χ. να γράψουμε \sqrt{64}=-8 , δεδομένου ότι (-8)^{2}=64, και τότε φυσικά δεν υπάρχει κανένα παράδοξο. Όμως το δίτιμο σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας, που ήταν απολύτως νόμιμο και σεβαστό επί αιώνες και χρησιμοποιήθηκε με δεξιοτεχνία από μαθηματικούς του μεγέθους του Euler, απαγορεύεται σήμερα δια ροπάλου.
Ο Σταύρος εξήγησε πειστικότατα παραπάνω τι ακριβώς ισχύει στα Μαθηματικά, που δεν δεσμεύονται από τους σχολικούς περιορισμούς.

Γιάννης Θωμαΐδης


Άβαταρ μέλους
vasisot
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τετ Μαρ 16, 2011 3:00 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasisot » Παρ Νοέμ 30, 2018 3:46 pm

margk έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 5:26 pm
Καλησπέρα σε όλους .
Ορίζεται η δύναμη (-2)^{6/2};
Είναι προφανές ότι η δύναμη (-2)^{6/2} ορίζεται και είναι ίση με -8, μπορεί να μας το επιβεβαιώσουν, οι περισσότεροι μαθητές και των Ελληνικών Γυμνασίων, αφού το \frac{6}{2} είναι ακέραιος. Αν το πάμε λίγο παραπέρα, τα διάφορα προβλήματα με το θέμα προκύπτουν από την κακή επιλογή του ορισμού της δύναμης με ρητό εκθέτη στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου. Διορθώνονται με δυο απλά βήματα. Δεχόμαστε στους πραγματικούς το φυσιολογικό, κάθε πραγματικός έχει μία κυβική ρίζα, άρα γράφω \sqrt[3]{-8}=-2, και κάθε θετικός πραγματικός αφού έχει δύο τετραγωνικές ρίζες με το σύμβολο \sqrt{} να χρησιμοποιώ τη θετική άρα γράφω \sqrt{9}=3 , ενώ την αρνητική -\sqrt{9}=-3. Έτσι όταν θα περάσουμε σε ρητό εκθέτη δεν θα ορίζονται μόνο εκείνες οι δυνάμεις με αρνητική βάση που έχουν εκθέτη ανάγωγο κλάσμα που οδηγεί σε άρτιας τάξης ριζικά. Οι ιδιότητες των δυνάμεων εξακολουθούν να ισχύουν. Αν ήταν έτσι τα πράγματα, όπως απέδειξε το αποτυχημένο εκ του αποτελέσματος θέμα του 2017 με την παράγωγο κυβικής ρίζας, τόσοι πολλοί υποψήφιοι δεν θα το αντιμετώπιζαν λάθος αφού τους ζητάμε να κατανοήσουν τα ακατανόητα. Η παρακάτω εικόνα είναι κατατοπιστική.
Συνημμένα
ritosekth.png
ritosekth.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές


Σωτήρης Βασιλείου
\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.07pt}}
Although this may seem a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Bertrand Russell
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης