Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ

dement · #1

Ξέρουμε ότι αν ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός μέσος

αριθμών είναι "κοντά" ο ένας στον άλλο, τότε και οι

αριθμοί είναι "κοντινοί". Αυτό το πρόβλημα ποσοτικοποιεί αυτή την εγγύτητα.

1. Αποδείξτε ότι, για 0 < r < 1

, η εξίσωση $\displaystyle \frac{x}{e^{x-1}} = r$ έχει ακριβώς δύο λύσεις $\rho_0, \rho_1$ με $\rho_0 \in (0,1), \rho_1 \in (1,+\infty)$ .

2. Έστω θετικοί a_1, a_2, ..., a_n

με $\displaystyle G = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^{1/n}$ και $\displaystyle A = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$ .

Αποδείξτε ότι, αν $\displaystyle 0 < \frac{A - G}{A} < \epsilon$ , τότε $\displaystyle \frac{a_k}{A} \in (\rho_0, \rho_1)$ για κάθε k = 1,...,n

, όπου $\rho_0, \rho_1$ οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle \frac{x}{e^{x-1}} = (1 - \epsilon)^n$ .

(Από το "The Cauchy-Schwarz Master Class" του J. Michael Steele)

#2

1) Θεωρώ την συνάρτηση $f(x) = e^{x-1} - \frac{x}{r}$ . Είναι $f'(x) = e^{x-1} - \frac{1}{r}$ και $f''(x) = e^{x-1}$ . Η

είναι αυστηρώς κυρτή οπότε η εξίσωση f(x) = 0

έχει το πολύ δύο λύσεις στο $\mathbb{R}$ .

Επειδή, f(0) = 1/e > 0, f(1) = 1 - 1/r < 0

και $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x) = +\infty}$ , τότε η f(x) = 0

θα έχει μία λύση $\rho_0$ στο (0,1)

και μία $\rho_1$ στο $(1,+\infty)$ .

2) Ορίζω b_k = a_k/A

. Τότε $b_1 + \cdots + b_n = n$ και $b_1 \cdots b_n = (G/A)^n$ . Η $\displaystyle{0 < \frac{A-G}{A} < \varepsilon}$ γίνεται

$\displaystyle{ (1 - \varepsilon)^n < b_1 \cdots b_n < 1}$

Θέτω $\displaystyle{c_k = \frac{b_k}{e^{b_k-1}}.}$ Τότε $c_k \leqslant 1$ για κάθε

, και $\displaystyle{ c_1 \cdots c_n = \frac{b_1 \cdots b_n}{e^{b_1 + \cdots + b_n - n}} = b_1 \cdots b_n > (1-\varepsilon)^n.}$

Πρέπει λοιπόν $\displaystyle{ c_k > (1-\varepsilon)^n}$ για κάθε

. Δηλαδή, για $r = (1-\varepsilon)^n$ , πρέπει f(b_k) < 0

. Άρα πρέπει $b_k \in (\rho_0,\rho_1)$ .

Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ

Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ

Re: Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ

Μέλη σε σύνδεση