Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

lefsk · #1

Καλησπέρα! Θα ήθελα υπόδειξη στο παρακάτω ερώτημα
Ας υποθέσουμε πως πρέπει να πληρώσετε ένα πρόστιμο των $\displaystyle{ \lambda > 8 }$ ευρώ στην τροχαία. Το ποσό αυτό πρέπει να πληρωθεί αγοράζοντας παράβολα των 3 και των 5 ευρώ. Αποδείξτε επαγωγικά πως για κάθε $\displaystyle{ \lambda \geqslant 8 }$ είναι δυνατόν να πληρωθεί το ποσό των $\displaystyle{ \lambda }$ ευρώ αγοράζοντας παράβολα των 3 και των 5 ευρώ.

Ξέρω τα βήματα που ακολουθούμε στην επαγωγική μέθοδο αλλά εδώ δεν μπορώ να τα φτιάξω.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

#2

lefsk έγραψε:Καλησπέρα! Θα ήθελα υπόδειξη στο παρακάτω ερώτημα
Ας υποθέσουμε πως πρέπει να πληρώσετε ένα πρόστιμο των $\displaystyle{ \lambda > 8 }$ ευρώ στην τροχαία. Το ποσό αυτό πρέπει να πληρωθεί αγοράζοντας παράβολα των 3 και των 5 ευρώ. Αποδείξτε επαγωγικά πως για κάθε $\displaystyle{ \lambda \geqslant 8 }$ είναι δυνατόν να πληρωθεί το ποσό των $\displaystyle{ \lambda }$ ευρώ αγοράζοντας παράβολα των 3 και των 5 ευρώ.

Να την δυσκολέψουμε λίγο (αν βέβαια μπορούμε να πούμε "δύσκολη" την άσκηση αυτή).

Άσκηση 1. Σου αρκούν

παράβολα των

(και όσα θέλεις των

)

Άσκηση 2. Σου αρκούν

παράβολα των

(και όσα θέλεις των

)

lefsk · #3

Ααααα.
Οπότε εγώ λεώ π.χ.
Για 8 ευρώ αγοράζω ένα παράβολο των 5 και ένα των 3
Για 9 ευρώ αγοράζω 3 παράβολα των 3.
Για 10 ευρώ αγοράζω 2 παράβολα των 5 κτλ.
Πω ήταν όντως εύκολη άσκηση, αλλά άμα κολλάει το μυαλό σου μπερδεύεσαι και στα πιο εύκολα.
Σας ευχαριστώ πολύ!!

lefsk · #4

Και κάτι ακόμα.
Ξέρω πως πάνε τώρα οι τιμές, πως θα γράψω όμως το βήμα για $\displaystyle{\lambda}$ και για $\displaystyle{\lambda + 1}$ ;

dement · #5

Το $\lambda$ δεν χρειάζεται να είναι ο αριθμός των ευρώ. Χρησιμοποίησε τη βοήθεια του Μιχάλη για να επαναδιατυπώσεις την πρόταση προς απόδειξη με την κατάλληλη παράμετρο.

lefsk · #6

Βοηθάει αν γράψω το $\displaystyle{\lambda}$ ως:
$\displaystyle{ \lambda =\left\{\begin{matrix} \alpha \lambda_{_{1}} + \beta \lambda _{2}\\ \gamma \lambda_{1} + \delta \lambda _{2} \end{matrix}\right }$ , όπου
$\displaystyle{ \alpha \in \left \{ 1,2,3,4 \right \} }$
$\displaystyle{ \lambda_{1} }$ αφορά τα παράβολα των 3€
$\displaystyle{ \beta \in \mathbb{N} }$
$\displaystyle{ \lambda _{2} }$ αφορά τα παράβολα των 5€
$\displaystyle{ \gamma \in \mathbb{N} }$
$\displaystyle{ \delta \in \left \{ 1,2,3 \right \} }$

#7

lefsk έγραψε: Για 8 ευρώ αγοράζω ένα παράβολο των 5 και ένα των 3
Για 9 ευρώ αγοράζω 3 παράβολα των 3.
Για 10 ευρώ αγοράζω 2 παράβολα των 5 κτλ.

Κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Αφού έγραψες τα παραπάνω η πλήρης λύση/δικαιολόγηση είναι ένα τετριμμένο βήμα μακριά. Ουσιαστικά στο σφυρίζει ο Δημήτρης στα προηγούμενα ποστ, αλλά ... δεν τον ακούς.

lefsk · #8

Το έλυσα αλλιώς, να μου πείτε αν είμαι σωστός.
Το $\displaystyle{ \lambda =3\alpha +5\beta }$ όπου $\displaystyle{\alpha }$ είναι η ποσότητα των παραβόλων των 3€ και $\displaystyle{\beta}$ η ποσότητα των παραβόλων των 5€.
$\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \mathbb{N} }$
Για $\displaystyle{\lambda =8}$ έχουμε
$\displaystyle{ \lambda =3\alpha +5\beta }$ άρα για $\displaystyle{ \alpha ,\beta =1 }$ ισχύει η σχέση.
Έστω ότι ισχύει για τυχαίο $\displaystyle{ \kappa }$
Άρα $\displaystyle{ \kappa =3\alpha +5\beta }$
Για $\displaystyle{ \kappa+1 }$ έχουμε:
$\displaystyle{ \kappa+1 =3\alpha +5\beta }$ άρα $\displaystyle{ \kappa =3\alpha +5\beta -1 }$
Στα $\displaystyle{ \alpha ,\beta }$ μπορώ να βάλω όποια τιμή θέλω
Βάζω $\displaystyle{ \alpha =\alpha -3 }$ και $\displaystyle{ \beta =\beta +2 }$ και κάνοντας πράξεις παρατηρώ ότι ισχύει

#9

lefsk έγραψε: Για $\displaystyle{ \kappa+1 }$ έχουμε:
$\displaystyle{ \kappa+1 =3\alpha +5\beta }$ άρα $\displaystyle{ \kappa =3\alpha +5\beta -1 }$
Στα $\displaystyle{ \alpha ,\beta }$ μπορώ να βάλω όποια τιμή θέλω
Βάζω $\color {red}\displaystyle{ \alpha =\alpha -3 }}$ και $\displaystyle{ \beta =\beta +2 }$ και κάνοντας πράξεις παρατηρώ ότι ισχύει

Σε αυτά τα σημεία τα πράγματα είναι πολύ μπερδμένα. Φαίνεται να κάνεις επαγωγή από το k+1

προς το

.

Ξαναδές το αλλά κάνω έκκληση "να μην σκέφτεσαι φωναχτά". Τα πράγματα είναι αρκετά απλά και δεν υπάρχει λόγος να γράφεις μισοσωστές και μισολάθος σκέψεις.

Ένα παράδειγμα: Όταν λες ότι στην θέση του $\displaystyle{ \alpha }$ παίρνεις $\alpha -3$ (*) , ποιος σου εξασφαλίζει ότι είναι $\alpha \ge 3$ ώστε να μην πάρεις αρνητικό $\alpha$ ;

(*) Παραβλέπω την κάκιστη γραφή $\alpha =\alpha -3$ που σημείωσα με κόκκινο .

lefsk · #10

Έχω κατανοήσει την άσκηση στο μυαλό μου αλλά δυσκολεύομαι να την μεταφέρω στο χαρτί. Εγώ αυτό που έχω να κάνω δεν είναι να δημιουργήσω μια σχέση, η οποία ισχύει για $\displaystyle{\lambda =8,9,...}$ , μετά να θεωρήσω δεδομένο ότι ισχύει για κάποιο $\displaystyle{\kappa}$ και έπειτα να δείξω ότι ισχύει και για $\displaystyle{ \kappa +1}$ ; (Χίλια συγγνώμη που σας τρώω τόσο χρόνο!!!!!)

#11

lefsk έγραψε: μετά να θεωρήσω δεδομένο ότι ισχύει για κάποιο $\displaystyle{\kappa}$ και έπειτα να δείξω ότι ισχύει και για $\displaystyle{ \kappa +1}$ ;

Όχι, δεν πάμε από το

στο

. Το κλειδί είναι από το

στο

. Βοά αυτό από το γεγονός ότι έχεις τις τιμές για 8,9, 10

.

#12

lefsk έγραψε:Έχω κατανοήσει την άσκηση στο μυαλό μου αλλά δυσκολεύομαι να την μεταφέρω στο χαρτί.

lefsk καμιά πρόοδος εδώ; Γράψε μας την λύση σου που μετά από τόσες υποδείξεις δεν πρέπει να δυσκολευτείς. Περιμένουμε!

Όταν με το καλό την γράψεις, θα παραθέσω μια απλή και κομψή λύση στο πρόβλημα. Την διδάσκω σε παιδάκια Δημοτικού (ακόμα και Β' Δημοτικού) που φυσικά δεν ξέρουν επαγωγή, στα σεμινάρια που κάνω κάθε τόσο.

#13

Δεν βλέπω να ενδιαφέρεται ο lefsk, οπότε ας γράψω την λύση που υποσχέθηκα στο

Mihalis_Lambrou έγραψε: Όταν με το καλό την γράψεις, θα παραθέσω μια απλή και κομψή λύση στο πρόβλημα. Την διδάσκω σε παιδάκια Δημοτικού (ακόμα και Β' Δημοτικού) που φυσικά δεν ξέρουν επαγωγή, στα σεμινάρια που κάνω κάθε τόσο.

Γράφουμε τους αριθμούς σε τρεις στήλες όπως στο σχήμα αριστερά. Κυκλώνουμε όσα ποσά μπορούμε να πληρώσουμε μόνο με τα παράβολα των

(ίσον τα πολλαπλάσια του

, που είναι μία ολόκληρη στήλη σημειωμένη με κόκκινους αριθμούς). Στο ίδιο σχήμα κυκλώνουμε τα ποσά που μπορούμε να πληρώσουμε μόνο με τα παράβολα των

(ίσον τα πολλαπλάσια του

, σημειωμένα με πράσινο χρώμα).

Παρατηρούμε τώρα ότι αν μπορώ να πληρώσω κάποιο ποσό τότε μπορώ να πληρώσω και όλα τα από κάτω του διότι απλά χρησιμοποιώ παράβολο των

για να φτάσω στο αμέσως από κάτω ποσό, στον πίνακα. Τα κυκλώνω και αυτά (τα σημείωσα με πράσινο στο δεξί σχήμα). Συγκεκριμένα είναι τα ποσά κάτω από το

(όλη η στήλη από κάτω του) και από το

(όλη η στήλη από κάτω του).

Τώρα βλέπω στον δεξιό πίνακα ότι έχουν κυκλωθεί τα πάντα μετά το

. Τέλειωσα!

Ειδικότερα έδειξα ότι μπορώ να καλύψω όλα τα ποσά μετά το

χρησιμοποιώντας το πολύ δύο παράβολα των

. Ακριβέστερα, δεν μου χρειάζεται παράβολο των

για τους αριθμούς 3, 6, 9, …

της τρίτης στήλης. Μου αρκεί ένα παράβολο των

για τους αριθμούς της δεύτερης στήλης (για να πληρώσω

ευρώ αλλά από και πέρα χρησιμοποιώ μόνο επιπρόσθετα των

). Τέλος, μου αρκούν δύο παράβολα των

για τους αριθμούς της πρώτης στήλης (για να πληρώσω

ευρώ αλλά από και πέρα χρησιμοποιώ μόνο επιπρόσθετα των

).

Με παρόμοιο συλλογισμό αλλά γράφοντας τους αριθμούς σε

στήλες θα καταλήξουμε ότι την βγάζω πέρα μόνο με τέσσερα παράβολα των

(για το ποσό των

) και τα υπόλοιπα να είναι των

.

#14

lefsk έγραψε:Αποδείξτε επαγωγικά πως για κάθε $\displaystyle{ \lambda \geqslant 8 }$ είναι δυνατόν να πληρωθεί το ποσό των $\displaystyle{ \lambda }$ ευρώ αγοράζοντας παράβολα των 3 και των 5 ευρώ.

Ας δούμε και μία λύση χωρίς επαγωγή, αλλά προσιτή για μαθητές της Α' Γυμνασίου.

Για ποσά $3n=3\times n$ χρησιμοποιούμε

παράβολα των

Για ποσά $3n+1=3\times (n-3)+ 2\times 5$ χρησιμοποιούμε n-3

παράβολα των

και

των

(για $n\ge 3$ )
Για ποσά $3n+2=3\times (n-1)+ 1\times 5$ χρησιμοποιούμε n-1

παράβολα των

και

των

(για $n\ge 1$ )

Δηλαδή μας χρειάζονται το πολύ

παράβολα των

. Ανάλογα, μπορούμε να πληρώσουμε τα πρόστιμα με λίγα μόνο (4)

παράβολα των

. Οι μαθητές μας δεν θα δυσκολευτούν να ανακαλύψουν τον τρόπο:

$5n = 5 \times n$
$5n +1 = 5 \times (n-1) + 2\times 3$
$5n +2 = 5 \times (n-2) + 4\times 3$
$5n +3 = 5 \times n + 1\times 3$
$5n+4= 5 \times (n-1) + 3\times 3$

lefsk · #15

Συγγνώμη που καθυστέρησα τόσες μέρες αλλά έλειπα εκτός Ελλάδος.
Στην απάντησή μου έδωσα 2 τρόπους. Στον ένα ( που προσπάθησα να κάνω επαγωγή ) δοκίμασα αυτό που μου είπε ο κύριος Λάμπρου, από το $\displaystyle{\kappa}$ στο $\displaystyle{\kappa + 3}$ και στον άλλο έγραψα αυτό που έχει γράψει ο κύριος Λάμπρου στην τελευταία του απάντηση!
Σας ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο και τη βοήθειά σας, να είστε καλά!

Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Re: Πρόβλημα επαγωγής(πρόστιμο-παράβολα)

Μέλη σε σύνδεση