ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Συντονιστής: nsmavrogiannis

ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#81

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Δεκ 01, 2014 1:23 am

socrates έγραψε:
ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Σε ένα δοχείο υπάρχουν 7 άσπρα και 6 μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία 5 σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα:
α) Να πάρουμε τουλάχιστον 2 άσπρα;
β) Να πάρουμε 3 άσπρα και 2 μαύρα;
γ) Να πάρουμε τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο";
δ) Είναι τα γεγονότα A, B ανεξάρτητα, όπου A={ τουλάχιστον δύο άσπρα}, B={ τουλάχιστον δύο άσπρα και ένα μαύρο};

Μια ερώτηση: Τι εννοούμε στο (γ); Τα εισαγωγικά μπερδεύουν κάπως...
Εννοώ να υπάρχουν στα 5 σφαιρίδια τουλάχιστον 2 άσπρα και τουλάχιστον 1 μαύρο, π.χ 3 άσπρα και 2 μαύρα είναι τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο"

Έγινε διόρθωση στο β) ερώτημα


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#82

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Πέμ Δεκ 04, 2014 5:28 pm

ΑΣΚΗΣΗ 29
Τέσσερις (4) ανεξάρτητες βολές ρίχνονται στον ίδιο στόχο. Η πιθανότητα να πετύχουν οι βολές τον στόχο είναι αντίστοιχα: p_{1}=0.4,\ p_{2}=0.5,\ p_{3}=0.55, \ p_{4}=0.35
α) Ποια η πιθανότητα όλες οι βολές να πετύχουν τον στόχο;
β) Ποια η πιθανότητα δύο (2) βολές να πετύχουν τον στόχο;
γ) Αν δύο βολές πέτυχαν τον στόχο ποια η πιθανότητα να είναι οι δύο πρώτες βολές;


Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 526
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Κλασικό θέμα

#83

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Πέμ Δεκ 04, 2014 6:23 pm

κουκιδες.png
κουκιδες.png (16.23 KiB) Προβλήθηκε 2266 φορές
Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδέσουμε τις τελίτσες από το Α μέχρι το Β με τον πιο σύντομο δρόμο;
Έχω στο νου μου μια πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης, την οποία θα παραθέσω αφού δώσω την ευκαιρία να δω κι άλλες λύσεις, ίσως καλύτερες.


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3861
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Κλασικό θέμα

#84

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Δεκ 04, 2014 7:09 pm

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:
κουκιδες.png
Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδέσουμε τις τελίτσες από το Α μέχρι το Β με τον πιο σύντομο δρόμο;
Έχω στο νου μου μια πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης, την οποία θα παραθέσω αφού δώσω την ευκαιρία να δω κι άλλες λύσεις, ίσως καλύτερες.
Στέλιο καλησπέρα,

Όμορφη άσκηση! Ο πιο σύντομος δρόμος για να φτάσουμε από το σημείο Α στο σημείο Β είναι να κινούμαστε μόνο πάνω και δεξιά. Παρατηρούμε ότι οι συνολικές μας κινήσεις σε κάθε περίπτωση είναι 11 εκ των οποίων οι 5 θα γίνουν δεξιά (και αναγκαστικά οι 6 προς τα πάνω). Άρα αν από τις συνολικά 11 κινήσεις διαλέξουμε τις 5 κινήσεις που θα γίνουν προς τα δεξιά τότε έχουμε ήδη δεσμεύσει κι εκείνες τις 6 που θα γίνουν προς τα πάνω. Η επιλογή αυτή μπορεί να γίνει με \displaystyle\binom{11}{5} τρόπους που είναι και το ζητούμενο. (Μάλιστα με τον παραπάνω τρόπο και το συγκεκριμένο πρόβλημα φαίνεται ξεκάθαρα γιατί ισχύει ότι \displaystyle\binom{11}{5}=\binom{11}{6}).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#85

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Πέμ Δεκ 04, 2014 8:15 pm

Καλησπέρα!
Τρίγωνο Πασκάλ...ορθογωνιοποιημένο .png
Τρίγωνο Πασκάλ...ορθογωνιοποιημένο .png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 2208 φορές
Και μια γραφική επίλυση του θέματος με συμπλήρωση του ορθογωνίου με τη μέθοδο του τριγώνου Πασκάλ με κορυφή του τριγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα, το σημείο A


Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 526
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#86

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Παρ Δεκ 05, 2014 12:16 pm

Άψογη η λύση του Αλέξανδρου και εξαιρετικά χρήσιμη η χρήση του τριγώνου Πασκάλ του Αλεξίου (συγνώμη που δεν έχω συγκρατήσει το μικρό όνομα).
Θα σας πω πώς διδάσκω την άσκηση για να γίνει πιο κατανοητή από τους μαθητές:
Η συντομότερη διαδρομή γίνεται με κινήσεις προς τα πάνω (Π) και προς τα δεξιά (Δ). Μια διαδρομή θα έχει τη μορφή 11 "οδηγιών" 5 από τις οποίες θα είναι Δ και έξι Π. Π.χ. \underline \Delta  \underline \Delta  \underline \Pi  \underline \Pi  \underline \Pi  \underline \Delta  \underline \Pi  \underline \Pi  \underline \Delta  \underline \Pi  \underline \Delta
Το πρόβλημα λοιπόν γίνεται: "Με πόσους τρόπους μπορούμε να συμπληρώσουμε 11 "θέσεις" χρησιμοποιώντας 5 Δ και 6 Π.
Ωστόσο, αφού τα μόνα γράμματα που θα χρησιμοποιήσουμε είναι το Δ και το Π, μπορούμε π.χ. το Π να το παραλείψουμε αφήνοντας την αντίστοιχη θέση κενή. Άρα το πρόβλημα γίνεται: "ΑΝ έχουμε 11 θέσεις και 5 γράμματα Δ με πόσους τρόπους μπορούμε να τα τοποθετήσουμε;" Αυτό ισοδυναμεί με το να διαλέξουμε 5 από τις 11 θέσεις είναι δηλαδή συνδυασμοί των 11 ανά 5.


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#87

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Δεκ 06, 2014 7:23 pm

ΑΣΚΗΣΗ 30

1) Δίνονται n συνεπίπεδα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά.
α) Πόσες ευθείες ορίζουν ανά δύο τα σημεία αυτά;
β)Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται παίρνοντας ως κορυφές, ανά τρία, τα σημεία αυτά;

2) Δίνονται n σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο (ανά τέσσερα μη συνεπίπεδα).
α) Πόσα επίπεδα ορίζουν ανά τρία τα σημεία αυτά;
β) Πόσα τετράεδρα σχηματίζονται με κορυφές επί των σημείων αυτών;


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5789
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#88

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Δεκ 07, 2014 7:39 pm

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 29
Τέσσερις (4) ανεξάρτητες βολές ρίχνονται στον ίδιο στόχο. Η πιθανότητα να πετύχουν οι βολές τον στόχο είναι αντίστοιχα: p_{1}=0.4,\ p_{2}=0.5,\ p_{3}=0.55, \ p_{4}=0.35
α) Ποια η πιθανότητα όλες οι βολές να πετύχουν τον στόχο;
β) Ποια η πιθανότητα δύο (2) βολές να πετύχουν τον στόχο;
γ) Αν δύο βολές πέτυχαν τον στόχο ποια η πιθανότητα να είναι οι δύο πρώτες βολές;

α) p_1p_2p_3p_4

β) \displaystyle{p_1'p_2'p_3p_4+p_1'p_2p_3'p_4+p_1'p_2p_3p_4'+p_1p_2'p_3'p_4+p_1p_2'p_3p_4'+p_1p_2p_3'p_4'}

γ) p_3'p_4'


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5789
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#89

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Δεκ 07, 2014 7:47 pm

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 30

1) Δίνονται n συνεπίπεδα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά.
α) Πόσες ευθείες ορίζουν ανά δύο τα σημεία αυτά;
β)Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται παίρνοντας ως κορυφές, ανά τρία, τα σημεία αυτά;

2) Δίνονται n σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο (ανά τέσσερα μη συνεπίπεδα).
α) Πόσα επίπεδα ορίζουν ανά τρία τα σημεία αυτά;
β) Πόσα τετράεδρα σχηματίζονται με κορυφές επί των σημείων αυτών;

1)
α) \displaystyle{\binom{n}{2}}
β) \displaystyle{\binom{n}{3}}

2) Μήπως είναι και μη συνευθειακά ανά 3;
α) \displaystyle{\binom{n}{3}}
β) \displaystyle{\binom{n}{4}}


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5789
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#90

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Δεκ 07, 2014 7:50 pm

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Σε ένα δοχείο υπάρχουν 7 άσπρα και 6 μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία 5 σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα:
α) Να πάρουμε τουλάχιστον 2 άσπρα;
β) Να πάρουμε 3 άσπρα και 2 μαύρα;
γ) Να πάρουμε τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο";
δ) Είναι τα γεγονότα A, B ανεξάρτητα, όπου A={ τουλάχιστον δύο άσπρα}, B={ τουλάχιστον δύο άσπρα και ένα μαύρο};

Έγινε διόρθωση στο β) ερώτημα :oops:

α) \displaystyle{1-\frac{\binom{7}{1}\binom{6}{4}+\binom{6}{5}}{\binom{13}{5}}}

β) \displaystyle{\frac{\binom{7}{3}\binom{6}{2}}{\binom{13}{5}}}

γ) \displaystyle{\frac{\binom{7}{4}\binom{6}{1}+\binom{7}{3}\binom{6}{2}+\binom{7}{2}\binom{6}{3}}{\binom{13}{5}}}

δ) Όχι. Είναι B\subset A οπότε P(A\cap B)=P(B)\ne P(A)P(B).


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5789
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#91

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Δεκ 07, 2014 9:12 pm

ΑΣΚΗΣΗ 31
Ρίχνουµε ένα συνηθισµένο ζάρι 10 φορές. Να υπολογισθούν οι εξής πιθανότητες:
(α) Η µεγαλύτερη ένδειξη (από τις 10) είναι το 5.
(β) Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1.
(γ) Η µεγαλύτερη ένδειξη είναι το 5 και η µικρότερη το 1.


Θανάσης Κοντογεώργης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#92

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Πέμ Δεκ 11, 2014 5:41 pm

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31
Ρίχνουµε ένα συνηθισµένο ζάρι 10 φορές. Να υπολογισθούν οι εξής πιθανότητες:
(α) Η µεγαλύτερη ένδειξη (από τις 10) είναι το 5.
(β) Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1.
(γ) Η µεγαλύτερη ένδειξη είναι το 5 και η µικρότερη το 1.
Για το (α)
Πλήθος δυνατών διατάξεων των δέκα (10) ενδείξεων του ζαριού στις 10 ρίψεις N_{0}=6^{10}=60466176

Είδος δεκάδων.......Πλήθος δεκάδων
5555555555 \ \ \ \ \ \ \ n_{1}= \begin{pmatrix}10  \\ 10\end{pmatrix}=1
555555555a \ \ \ \ \ \ \ n_{2}= \begin{pmatrix}10  \\ 9\end{pmatrix} \times 4^1=40
55555555ab \ \ \ \ \ \ \ n_{3}= \begin{pmatrix}10  \\ 8\end{pmatrix} \times 4^2=720
5555555abc \ \ \ \ \ \ \ n_{4}= \begin{pmatrix}10  \\ 7\end{pmatrix} \times 4^3=7680
555555abcd \ \ \ \ \ \ \ n_{5}= \begin{pmatrix}10  \\ 6\end{pmatrix} \times 4^4=53760
55555abcde \ \ \ \ \ \ \ n_{6}= \begin{pmatrix}10  \\ 5\end{pmatrix} \times 4^5=258048
5555ab cd ef \ \ \ \ \ \ \ n_{7}= \begin{pmatrix}10  \\ 4\end{pmatrix} \times 4^6=860160
555ab c de fg \ \ \ \ \ \ \ n_{8}= \begin{pmatrix}10  \\ 3\end{pmatrix} \times 4^7=1966080
55ab cd ef gh \ \ \ \ \ \ \ n_{9}= \begin{pmatrix}10  \\ 2\end{pmatrix} \times 4^8=2949120
5ab cd e fg hi \ \ \ \ \ \ \ n_{10}= \begin{pmatrix}10  \\ 1\end{pmatrix} \times 4^9=2621440
όπου a,b,c,d,e,f,g,h,i \neq  5,6

Πλήθος ευνοϊκών διατάξεων N=n_{1}+n_{1}+...+n_{10}=8717049

άρα P=\dfrac{N}{N_{0}}=\dfrac{8717049 }{60466176}=0.144...

Για το (β)
“Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1” το αντιλαμβάνομαι και το εκλαμβάνω ως “να υπάρχει τουλάχιστον ένα 1
άρα P=1-P(κανένα 1)\RightarrowP=1-\dfrac{ 5^{10} }{6^{10} }=0.838494

Για το (γ) η λύση που έχω βρει είναι μακροσκελής, με πλήθος υποπεριπτώσεων των δεκάδων των ενδείξεων του ζαριού και προτίμησα να μην την αναρτήσω, ίσως σκεφτώ κάτι καλύτερο, ήδη και η λύση για το (α) δεν είναι ότι καλύτερο.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5277
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Κλασικό θέμα

#93

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Δεκ 11, 2014 8:59 pm

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:
Το συνημμένο κουκιδες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδέσουμε τις τελίτσες από το Α μέχρι το Β με τον πιο σύντομο δρόμο;
Έχω στο νου μου μια πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης, την οποία θα παραθέσω αφού δώσω την ευκαιρία να δω κι άλλες λύσεις, ίσως καλύτερες.
Στέλιο, κάποιοι στο.... παρελθόν διάβασαν το μέλλον, μαζί και τη σκέψη σου :) ! Δες το σχετικό κείμενο :
paths.PNG
paths.PNG (64.63 KiB) Προβλήθηκε 1891 φορές
Είναι απόσπασμα από κάποιο παλιό βιβλίο, που δεν έχω σημειώσει ποιο είναι και πέρασαν μέρες από τότε που πήρα το απόσπασμα.Θα το ξαναβρώ όμως.
Αν δεν είχα διαβάσει τη λύση σου, δεν θα πρόσεχα το παραπάνω κείμενο και τον ωραίο τρόπο αντιμετώπισης που έχει.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 526
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#94

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Πέμ Δεκ 11, 2014 9:07 pm

Μπάμπη, πράγματι! Μακάρι να θυμηθείς την πηγή.


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5277
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#95

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Δεκ 11, 2014 9:43 pm

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Μπάμπη, πράγματι! Μακάρι να θυμηθείς την πηγή.
Στέλιο,

τελικά (ευτυχώς )το βρήκα στην δεύτερη προσπάθεια !

Πρόσφατα άκουγα στο youtube μια διάλεξη από ένα βετεράνο καθηγητή του ΜΙΤ με θέμα τις πιθανότητες. Ήταν στα αγγλικά με μερικούς υπότιτλους στα αγγλικά αλλά κάτι ...έπιασα.
Λοιπόν, αυτός ο εξαιρετικός γνώστης του θέματος και με άπειρη γνώση , μιλούσε για μισή ώρα για τις πιθανότητες, χωρίς ακόμα να μπει στο θέμα. Το ακροατήριο ήταν μεταπτυχιακοί μάλλον φοιτητές(τους αποκαλούσε μηχανικούς) και εκτός από άλλα χρήσιμα, τους συμβούλευε να είναι προσεκτικοί στα μοντέλα που χρησιμοποιούν στη δουλειά τους , διότι και οι οικονομολόγοι στην Αμερική , άριστοι επιστήμονες, δεν μπόρεσαν να προβλέψουν σοβαρές εξελίξεις στην οικονομία.Έτσι , πήγε σιγά στο επίμαχο θέμα ότι σε όλα τα επιστημονικά μοντέλα είναι απαραίτητο να μπορούμε να έχουμε και σαφείς εκτιμήσεις για την πιθανότητα να κάνουμε λάθος.


Τέλος πάντων, αυτές οι διαλέξεις μου θυμίζουν αρνητικά τα δικά μας φοιτητικά χρόνια που δεν είχαμε την τύχη να ακούσουμε δασκάλους τέτοιου επιπέδου, όχι επειδή δεν υπήρχαν, αλλά γιατί με τους λεγόμενους φοιτητικούς αγώνες και τις καταλήψεις , κανένας δεν ήθελε να διδάξει, αλλά το χειρότερο κανένας δεν ήθελε να ακούσει. Η Νικαράγουα και οι Σαντινίστες είχαν περισσότερο ενδιαφέρον και οι συνέπειες αυτών των επιλογών ίσως πληρώνονται τώρα.

Λοιπόν, αυτός ο Καθηγητής είπε κάποια στιγμή ότι κατά τη γνώμη του το καλύτερο βιβλίο που γράφτηκε ποτέ - σε όλες τις εποχές - για τις πιθανότητες είναι του Feller.
Δεν μπορώ να εκτιμήσω γιατί το είπε, αλλά αφού το είπε αυτός, έψαξα και το βρήκα, τουλάχιστον να δω το βιβλίο .
Ξεφυλλίζοντάς το, βρήκα και την απόδειξή σου !

Σε χαιρετώ και να μαζευτούμε ένα Σάββατο στην Αθήνα,μια μεγάλη παρέα με παιδιά από το mathematica και να τα πούμε παρέα και με την κιθάρα σου. Έχουμε και άλλο αστέρι, το Μιχάλη Νάννο, οπότε πρέπει να ..νοικιάσουμε μαγαζί !
Feller-prob.PNG
Feller-prob.PNG (27.87 KiB) Προβλήθηκε 1858 φορές


Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 526
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#96

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Πέμ Δεκ 11, 2014 9:49 pm

Μπάμπη, η πρόταση σου γίνεται δεκτή με ενθουσιασμό κι εύχομαι η υλοποίηση να έχει υψηλή πιθανότητα.
τελευταία επεξεργασία από Στέλιος Μαρίνης σε Σάβ Δεκ 13, 2014 9:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
styt_geia
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 23, 2010 12:16 am

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#97

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από styt_geia » Παρ Δεκ 12, 2014 3:03 pm

ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα 12 άτομα της τάξης του σε 3 τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε 4 τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες των μαθητών για την δεύτερη εργασία;

β) Τι γίνεται αν αντί για 12 έχω 24 ή γενικά 12n άτομα; Αν δηλαδή τα 12n άτομα χωριστούν αρχικά σε 3n τετράδες για την πρώτη εργασία, με πόσους τρόπους μπορούν τα ίδια άτομα να χωριστούν σε 4n τριάδες για την δεύτερη εργασία, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία; (Δεν έχω απάντηση)
Το πρόβλημα είναι από εδώ με αλλαγμένη την εκφώνηση. Για το β) ερώτημα ενδέχεται να απαιτείται χρήση υπολογιστή, απλά αναρωτιόμουν αν υπάρχει κλειστός τύπος.
τελευταία επεξεργασία από styt_geia σε Παρ Δεκ 12, 2014 9:50 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Κώστας
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#98

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Παρ Δεκ 12, 2014 4:48 pm

styt_geia έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα 12 άτομα της τάξης του σε 3 τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας. Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε 4 τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες;

β) Τι γίνεται αν αντί για 12 έχω 24 ή γενικά 12n άτομα; (Δεν έχω απάντηση)
Καλησπέρα Κώστα

Για το α)
12 άτομα, 3 τετράδες
Έστω ( A_{1}, A_{2},A_{3},A_{4}),\ ( B_{1}, B_{2},B_{3},B_{4}),\ ( G_{1}, G_{2},G_{3},G_{4}) οι τρεις τετράδες
Πρέπει να επιλέξει έναν από κάθε τετράδα και αυτό μπορεί να γίνει με 4 \times 4 \times4=64 τρόπους (πολλαπλασιαστική αρχή) για την 1η τριάδα. Για κάθε μία πρώτη τριάδα μπορεί να σχηματίσει την 2η τριάδα με 3 \times3 \times 3=27 τρόπους. Για κάθε δύο τριάδες μπορεί να σχηματίσει την 3η τριάδα με 2 \times 2 \times2=8 τρόπους και την 4η τριάδα με 1 \times 1 \times 1=1 τρόπο.
Συνολικά οι 4 τριάδες μπορούν να σχηματισθούν με \dfrac{64 \times 27 \times 8 \times 1}{4!}=\dfrac{13824}{24}=576 τρόπους.
(δια 4! γιατί οι τριάδες δεν είναι διατεταγμένες, επισήμανση του θεματοθέτη)


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5277
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#99

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Δεκ 14, 2014 10:56 am

styt_geia έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα 12 άτομα της τάξης του σε 3 τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε 4 τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες των μαθητών για την δεύτερη εργασία;

β) Τι γίνεται αν αντί για 12 έχω 24 ή γενικά 12n άτομα; Αν δηλαδή τα 12n άτομα χωριστούν αρχικά σε 3n τετράδες για την πρώτη εργασία, με πόσους τρόπους μπορούν τα ίδια άτομα να χωριστούν σε 4n τριάδες για την δεύτερη εργασία, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία; (Δεν έχω απάντηση)
Το πρόβλημα είναι από εδώ με αλλαγμένη την εκφώνηση. Για το β) ερώτημα ενδέχεται να απαιτείται χρήση υπολογιστή, απλά αναρωτιόμουν αν υπάρχει κλειστός τύπος.
Με αφορμή αυτό το ωραίο πρόβλημα(κρίμα που στην σχετική ιστοσελίδα δεν υπάρχουν οι απαντήσεις ή οι λύσεις),ας πάρουμε το θέμα από την αρχή με πιο απλά αλλά βασικά ερωτήματα :

Ένα τμήμα έχει 12 μαθητές .

α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους μαθητές αυτούς σε τριάδες ;

β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να το χωρίσουμε σε τετράδες ;

γ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τα παιδιά σε ομάδες, αν η πρώτη ομάδα έχει 2 , η δεύτερη 4 και η τρίτη 6 παιδιά ;

δ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δύο ισοπληθείς ομάδες, αν αυτές πρόκειται να εκπροσωπήσουν το σχολείο σε δύο διαφορετικές εκδηλώσεις A και B ;

ε) Αν τα παιδιά χωριστούν σε δύο ομάδες των 6 ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιώργος και η Νεφέλη που είναι φίλοι να είναι στην ίδια ομάδα ;

( Ας προστεθούν όσα περισσότερα ερωτήματα γίνεται, ώστε να εξαντλήσουμε στο μέτρο του δυνατού αυτό το πρόβλημα που βρίσκει εφαρμογή και γενικεύσεις σε πολλές καταστάσεις. )

Μπάμπης


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#100

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Κυρ Δεκ 14, 2014 8:49 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
styt_geia έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα 12 άτομα της τάξης του σε 3 τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε 4 τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες των μαθητών για την δεύτερη εργασία;

β) Τι γίνεται αν αντί για 12 έχω 24 ή γενικά 12n άτομα; Αν δηλαδή τα 12n άτομα χωριστούν αρχικά σε 3n τετράδες για την πρώτη εργασία, με πόσους τρόπους μπορούν τα ίδια άτομα να χωριστούν σε 4n τριάδες για την δεύτερη εργασία, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία; (Δεν έχω απάντηση)
Το πρόβλημα είναι από εδώ με αλλαγμένη την εκφώνηση. Για το β) ερώτημα ενδέχεται να απαιτείται χρήση υπολογιστή, απλά αναρωτιόμουν αν υπάρχει κλειστός τύπος.
Με αφορμή αυτό το ωραίο πρόβλημα(κρίμα που στην σχετική ιστοσελίδα δεν υπάρχουν οι απαντήσεις ή οι λύσεις),ας πάρουμε το θέμα από την αρχή με πιο απλά αλλά βασικά ερωτήματα :

Ένα τμήμα έχει 12 μαθητές .

α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους μαθητές αυτούς σε τριάδες ;

β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να το χωρίσουμε σε τετράδες ;

γ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τα παιδιά σε ομάδες, αν η πρώτη ομάδα έχει 2 , η δεύτερη 4 και η τρίτη 6 παιδιά ;

δ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δύο ισοπληθείς ομάδες, αν αυτές πρόκειται να εκπροσωπήσουν το σχολείο σε δύο διαφορετικές εκδηλώσεις A και B ;

ε) Αν τα παιδιά χωριστούν σε δύο ομάδες των 6 ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιώργος και η Νεφέλη που είναι φίλοι να είναι στην ίδια ομάδα ;

( Ας προστεθούν όσα περισσότερα ερωτήματα γίνεται, ώστε να εξαντλήσουμε στο μέτρο του δυνατού αυτό το πρόβλημα που βρίσκει εφαρμογή και γενικεύσεις σε πολλές καταστάσεις. )

Μπάμπης
α) Με \begin{pmatrix}12 \\ 3,3,3,3\end{pmatrix}= \dfrac{12!}{(3!)^4 \times 4!}=15400 τρόπους.
ή αλλιώς \dfrac{ \begin{pmatrix}12 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\ 3\end{pmatrix}}{4!} = 15400 τρόποι.

β) Με \begin{pmatrix}12 \\ 4,4,4\end{pmatrix}= \dfrac{12!}{(4!)^3 \times 3!}=5775 τρόπους.
ή αλλιώς \dfrac{ \begin{pmatrix}12 \\ 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8 \\ 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\ 4\end{pmatrix}}{3!} = 5775 τρόποι.

γ) Με \begin{pmatrix}12 \\ 2,4,6\end{pmatrix}=\dfrac{12!}{2!4!6!}=13860 τρόπους.
ή αλλιώς\begin{pmatrix}12 \\ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10 \\ 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}=13860 τρόποι.

δ) Με \begin{pmatrix}12 \\ 6,6\end{pmatrix}=\dfrac{12!}{(6!)^2 \times 2!}=462 τρόπους.
ή αλλιώς \dfrac{\begin{pmatrix}12 \\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}}{2!}  =462 τρόποι.

ε) Η πιθανότητα, ο Γιώργος και η Νεφέλη, να είναι στην ίδια ομάδα είναι ίση με την πιθανότητα να είναι μαζί στην πρώτη ομάδα συν την πιθανότητα (ίση με την πρώτη) να είναι μαζί στην δεύτερη ομάδα. Θεωρώντας τον Γιώργο και την Νεφέλη ως “ένα άτομο” oι ευνοϊκές περιπτώσεις να συμβεί αυτό είναι: \dfrac{2 \times1 \times  \begin{pmatrix}12-2  \\6-2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}12-2 \\6-2 \end{pmatrix} }{2!}=210
Άρα η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι: \dfrac{210}{462}=\dfrac{5}{11}

Θεώρησα, προφανώς, ότι οι διαμερίσεις και οι μαθητές σε κάθε διαμέριση δεν είναι διατεταγμένες-οι.
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Κυρ Δεκ 14, 2014 10:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης