ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#261

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Ιαν 21, 2019 12:02 am

socrates έγραψε:
Κυρ Ιαν 13, 2019 2:33 pm
Άσκηση 91
Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους;
Το τελευταίο ψηφίο το επιλέγουμε με 10 τρόπους. Με τα υπόλοιπα 9 ψηφία επιλέγουμε 4 αριθμούς με \dbinom{9}{4} τρόπους και για κάθε μία από αυτές τις 4-άδες υπάρχει μόνος ένας τρόπος για να βάλουμε τα ψηφία σε φθίνουσα σειρά και να φτιάξουμε έναν 5-ψήφιο αριθμό με τις προϋποθέσεις της εκφώνησης. Συνολικά υπάρχουν λοιπόν 10\cdot\dbinom{9}{4} τέτοιοι 5-ψήφιοι.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#262

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιαν 22, 2019 1:08 pm

Άσκηση 97
Οι θετικοί ακέραιοι a,b, και c επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα, με επανάθεση, από το σύνολο \{ 1,2,3,\dots,2010 \}.
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός abc + ab + a να διαιρείται με το 3;

Άσκηση 98
Τρεις κόκκινοι βόλοι, δύο άσπροι και ένας μπλε είναι τοποθετημένοι τυχαία στη σειρά.
Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχουν διαδοχικοί βόλοι ίδιου χρώματος;

Άσκηση 99
Πόσα πολλαπλάσια του 2013 έχουν ακριβώς 2013 διαιρέτες;
viewtopic.php?f=109&t=55600


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#263

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 22, 2019 3:29 pm

cretanman έγραψε:
Δευ Ιαν 21, 2019 12:02 am
socrates έγραψε:
Κυρ Ιαν 13, 2019 2:33 pm
Άσκηση 91
Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους;
Το τελευταίο ψηφίο το επιλέγουμε με 10 τρόπους. Με τα υπόλοιπα 9 ψηφία επιλέγουμε 4 αριθμούς με \dbinom{9}{4} τρόπους και για κάθε μία από αυτές τις 4-άδες υπάρχει μόνος ένας τρόπος για να βάλουμε τα ψηφία σε φθίνουσα σειρά και να φτιάξουμε έναν 5-ψήφιο αριθμό με τις προϋποθέσεις της εκφώνησης. Συνολικά υπάρχουν λοιπόν 10\cdot\dbinom{9}{4} τέτοιοι 5-ψήφιοι.

Αλέξανδρος
Αλέξανδρε, αν καταλαβαίνω σωστά την εκφώνηση, τα ψηφία τα διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά οπότε και τα υπόλοιπα 4 πρέπει να μπουν σε αύξουσα σειρά.

Αυτό παίζει ρόλο διότι πρέπει να αγνοήσουμε τους αριθμούς που ξεκινούν από 0. Μα παρόμοιο σκεπτικό, αφού έχει επιλεγεί ήδη και το 0, υπάρχουν \binom{8}{3} τέτοιοι. Συνολικά λοιπόν υπάρχουν 10 \cdot \left[\binom{9}{4} - \binom{8}{3}\right] = 700 τέτοιοι αριθμοί.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#264

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 24, 2019 9:40 am

socrates έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 1:53 am
Άσκηση 88
Επιλέγουμε τυχαία πέντε διαφορετικούς ανά δύο ακέραιους από το σύνολο \{1,2, ..., 20.\}
Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν δύο διαδοχικοί αριθμοί ανάμεσα στους πέντε που επιλέξαμε;
https://brilliant.org/problems/come-and-see-it/
Υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ υποσυνόλων του \{1,2, \ldots, 20\} μεγέθους 5 χωρίς διαδοχικούς αριθμούς και υποσυνόλων του \{1,2,\ldots,16\} μεγέθους 5. Η αντιστοιχία δίνεται ως εξής: \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\leftrightarrow \{x_1,x_2-1,x_3-2,x_4-3,x_5-4\} όπου υποθέσαμε ότι x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι \displaystyle  1 - \frac{\binom{16}{5}}{\binom{20}{5}} = 1 - \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16} = 1-\frac{91}{323} = \frac{232}{323}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#265

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 25, 2019 2:27 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:18 am
Άσκηση 89
O Α επιλέγει τυχαία έναν αριθμό a από το σύνολο \{0,1\}.
O Β επιλέγει τυχαία έναν αριθμό b από το σύνολο \{0,1,2\}.
O C επιλέγει τυχαία έναν αριθμό c από το σύνολο \{0,1,2,3\}.
O D επιλέγει τυχαία έναν αριθμό d από το σύνολο \{0,1,2,3,4\}.
O E επιλέγει τυχαία έναν αριθμό e από το σύνολο \{0,1,2,3,4,5\}.

Ποια η πιθανότητα να ισχύει a\leq b\leq c\leq d\leq e;
https://brilliant.org/problems/random-p ... so-random/

Προφανώς, αγνοώντας την συνθήκη a \leqslant b \leqslant \cdots \leqslant e, έχουμε 6! = 720 επιλογές. Για να βρούμε πόσες από αυτές είναι αποδεκτές γράφουμε T(n,k) για το πλήθος των «λέξεων» A_1A_2\cdots A_n όπου A_i \in \{0,1,\ldots,i\}, A_1 \leqslant \cdots \leqslant A_n και A_n = k.

Είναι άμεσο ότι T(n,k) = T(n-1,0) + T(n-1,1) + \cdots + T(n-1,k). Οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε αρκετά από τα T(n,k) με το ακόλουθο πινακάκι:

\displaystyle  \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} 
k/n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 
2 &  & 2 & 5 & 9 & 14\\ 
3 & & & 5 & 14 & 28 \\ 
4 & & & & 14 & 42 \\ 
5 & & & & &  42 
\end{tabular}

Αυτό κατασκευάζεται στήλη στήλη όπου κάθε αριθμός μια στήλη ισούται με το άθροισμα όλων των αριθμών της διπλανής από αριστερά στήλης που βρίσκονται στην ίδια σειρά ή πιο πάνω.

Μας ενδιαφέρει το T(5,1) + \cdots + T(5,5) = 1+5+\cdots+42 = 132.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με \displaystyle  \frac{132}{720} = \frac{11}{60}.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η ακολουθία C(n) = T(n,n) είναι η ακολουθία Catalan. Πράγματι η ακολουθία C(n) μετρά το πλήθος των μονοπατιών στο n \times n πλέγμα όπου κινούμαστε πάντα είτε ένα βήμα προς τα πάνω είτε ένα βήμα προς τα δεξιά και μένουμε πάντα κάτω από την γραμμή y=x. Η αντιστοιχία μεταξύ των λέξεων A_1 \cdots A_n και των μονοπατιών δίνεται ως εξής: Το A_i είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το μονοπάτι για x=i. Π.χ. η λέξη 0223 αντιστοιχεί στο μονοπάτι (0,0)\to(1,0) \to (2,0) \to (2,1) \to (2,2) \to (3,2) \to (4,2) \to (4,3) \to (5,3) \to (5,4) \to (5,5).

Είναι γνωστό ότι \displaystyle  C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} και επειδή ουσιαστικά μας ζητείται το T(6,6) έχουμε \displaystyle  C(6) = \frac{1}{7} \binom{12}{6} = 132.

Στην ίδια άσκηση αν είχαμε n άτομα να επιλέγουν αριθμούς με το ίδιο μοτίβο η αντίστοιχη πιθανότητα θα ήταν \displaystyle  \frac{1}{(n+1)!} \binom{2n}{n}


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#266

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm

Άσκηση 100
Τρεις διαφορετικές κορυφές ενός κύβου επιλέγονται στην τύχη.
Ποια η πιθανότητα το επίπεδο που ορίζουν οι τρεις αυτές κορυφές να περιέχει σημεία στο εσωτερικό του κύβου;

Άσκηση 101
Οι ακέραιοι a,b,c και d, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο \{0,1,2,3,\dots,2007 \}.
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός ad - bc να είναι άρτιος;

Άσκηση 102
Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο \{ 1,2,3,\dots,2006 \}.
Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5;


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1394
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#267

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Ιαν 26, 2019 10:24 am

socrates έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm
Άσκηση 101
Οι ακέραιοι a,b,c και d, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο \{0,1,2,3,\dots,2007 \}.
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός ad - bc να είναι άρτιος;
Για να είναι ο αριθμός ad - bc άρτιος, πρέπει οι αριθμοί ad και bc να είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.
Η πιθανότητα ο ad να είναι περιττός είναι ίση με \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} και άρα η πιθανότητα ο ad να είναι άρτιος είναι ίση με \displaystyle \frac{3}{4}.
Έτσι, η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \boxed{\frac{5}{8}}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1394
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#268

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Ιαν 26, 2019 10:32 am

socrates έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm
Άσκηση 102
Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο \{ 1,2,3,\dots,2006 \}.
Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5;
Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης των αριθμών με το 5 είναι οι αριθμοί 0,1,2,3,4. Αφού επιλέγουμε 6 αριθμούς, δύο από αυτούς θα αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το 5, άρα η διαφορά τους θα διαιρείται με το 5. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι \boxed{1}. :)


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#269

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm

Άσκηση 103
Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: \displaystyle A = \overline{xxxabc}  =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c όπου x,a,b,c ψηφία με x\neq 0, διαιρούνται με το 37.

Άσκηση 104
Οι πραγματικοί αριθμοί x και y επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το διάστημα (0,1). Ποια η πιθανότητα να ισχύει \lfloor \log_2{x} \rfloor=\lfloor \log_2{y} \rfloor;

Άσκηση 105
Ρίχνουμε δώδεκα τίμια ζάρια. Ποια η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που φέραμε να είναι πρώτος;


Θανάσης Κοντογεώργης
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#270

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Ιαν 27, 2019 11:54 pm

Άσκηση 106

Ποιαν η πιθανότητα αν πάρουμε 3 σημεία στην περιφέρεια ενός κύκλου το τρίγωνο που θα ορίζουν τα σημεία αυτά να περιέχουν το κέντρο του κύκλου;

Άσκηση 107

αν x,y,z θετικοί ακέραιοι ποιαν η πιθανότητα x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 0(mod7);


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#271

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιαν 28, 2019 12:11 am

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:54 pm
Άσκηση 106

αν x,y,z θετικοί ακέραιοι ποιαν η πιθανότητα x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 0(mod7);
Αυτή έχει τα θεματάκια της. Αφού τραβάς από απειροσύνολο (αριθμήσιμο) δεν λειτουργεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Μάλλον πυκνότητα (density) εννοείς δηλαδή τραβάς από το \displaystyle\left \{ 1,2,...,n \right \} και αφήνεις τελικά το n να πάει στο άπειρο.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#272

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Ιαν 28, 2019 2:23 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Ιαν 28, 2019 12:11 am
Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:54 pm
Άσκηση 106

αν x,y,z θετικοί ακέραιοι ποιαν η πιθανότητα x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 0(mod7);
Αυτή έχει τα θεματάκια της. Αφού τραβάς από απειροσύνολο (αριθμήσιμο) δεν λειτουργεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Μάλλον πυκνότητα (density) εννοείς δηλαδή τραβάς από το \displaystyle\left \{ 1,2,...,n \right \} και αφήνεις τελικά το n να πάει στο άπειρο.
Την άσκηση την δημοσίευσα επειδή την είχα βρει με λύση, δεν θυμάμαι που.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10854
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#273

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 30, 2019 1:29 pm

Άσκηση 108

Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης "ΚΑΛΑΣ" , στους οποίους δεν περιέχονται

εκείνοι με δύο συνεχόμενα "Α" . Π.χ "ΛΑΣΚΑ" δεκτό , "ΣΚΑΛΑ" δεκτό , "ΚΛΑΑΣ" , όχι .


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#274

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 31, 2019 3:55 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:18 am
Άσκηση 90
Ένα κουτί περιέχει n νομίσματα. Έστω P(E_k), \ 0\leq k\leq n, η πιθανότητα ακριβώς k από αυτά να είναι "πειραγμένα".
Η πιθανότητα P(E_k) είναι ευθέως ανάλογη του k(k+1).
Επιλέγουμε στην τύχη ένα νόμισμα και βρίσκουμε ότι είναι "πειραγμένο". Ποια η πιθανότητα να είναι το μοναδικό "πειραγμένο" νόμισμα;
https://brilliant.org/problems/biased-coins-2/

Σχετικά κλασική άσκηση στην δεσμευμένη πιθανότητα. Ας υποθέσουμε ότι P(E_k) = ak(k+1). Επειδή P(E_0) + \cdots + P(E_n) = 1 παίρνουμε

\displaystyle  1 = a\sum_{k=0}^n k(k+1) = a \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right] = \frac{an(n+1)(n+2)}{3}

Άρα \displaystyle  a = \frac{3}{n(n+1)(n+2)}.

Ας γράψουμε B για το ενδεχόμενο το νόμισμα που επιλέξαμε να είναι μεροληπτικό. Ζητείται η πιθανότητα P(E_1|B) η οποία είναι ίση με \displaystyle  \frac{P(E_1 \cap B)}{P(B)}

Έχουμε \displaystyle P(E_1 \cap B) = P(E_1)P(B|E_1) = 2a \cdot \frac{1}{n} = \frac{6}{n^2(n+1)(n+2)}. Επίσης

\displaystyle  \displaystyle{P(B) = \sum_{k=0}^n P(E_k \cap B) = \sum_{k=0}^n P(E_k)P(B|E_k) = \frac{a}{n} \sum_{k=0}^n k^2(k+1) = \frac{a}{n}\left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \right] = \cdots = \frac{(3n+1)}{4n}}

Καταλήγουμε λοιπόν στην πιθανότητα

\displaystyle  \frac{24}{n(n+1)(n+2)(3n+1)}

Σημείωση: Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε τον υπολογισμό του a αφού αν το κρατούσαμε χωρίς να το αντικαταστήσουμε θα διαγραφόταν.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#275

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Ιαν 31, 2019 6:32 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 1:29 pm
Άσκηση 108

Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης "ΚΑΛΑΣ" , στους οποίους δεν περιέχονται

εκείνοι με δύο συνεχόμενα "Α" . Π.χ "ΛΑΣΚΑ" δεκτό , "ΣΚΑΛΑ" δεκτό , "ΚΛΑΑΣ" , όχι .
Μια καλησπέρα!

Λοιπόν... Το πλήθος των γραμμάτων είναι 5. Οπότε, χωρίς τον περιορισμό των 2 διαδοχικών Α έχουμε:

1ο γράμμα: 4 επιλογές
2ο γράμμα: 4 επιλογές
3ο γράμμα: 3 επιλογές
4ο γράμμα: 2 επιλογές
5ο γράμμα: 1 επιλογή

4!χ4 επιλογές = 96

θα υπολογίσω τους λάθους αναγραμματισμούς:

1) περίπτωση: Α Α _ _ _
2) περίπτωση: _ Α Α _ _
3) περίπτωση: _ _ Α Α _
4) περίπτωση: _ _ _ Α Α

Στις κενές θέσεις έχουμε 3! στην κάθε περίπτωση για τα γράμματα Κ, Λ, Σ. Επομένως έχουμε 4χ3!=24 μη δεκτές περιπτώσεις.

Οπότε οι δεκτές είναι 4!χ4-4χ3!=96-24=72
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Πέμ Ιαν 31, 2019 6:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#276

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 31, 2019 6:45 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Πέμ Ιαν 31, 2019 6:32 pm
KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 1:29 pm
Άσκηση 108

Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης "ΚΑΛΑΣ" , στους οποίους δεν περιέχονται

εκείνοι με δύο συνεχόμενα "Α" . Π.χ "ΛΑΣΚΑ" δεκτό , "ΣΚΑΛΑ" δεκτό , "ΚΛΑΑΣ" , όχι .
Μια καλησπέρα!

Λοιπόν... Το πλήθος των γραμμάτων είναι 5. Οπότε, χωρίς τον περιορισμό των 2 διαδοχικών Α έχουμε:

1ο γράμμα: 5 επιλογές
2ο γράμμα: 4 επιλογές
3ο γράμμα: 3 επιλογές
4ο γράμμα: 2 επιλογές
5ο γράμμα: 1 επιλογή

5! επιλογές = 120

Νικόλα προσοχή. Εδώ κάτι ξέχασες. Δεν θα πω τι για να το σκεφτείς μόνος σου.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#277

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιαν 31, 2019 6:50 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm

Άσκηση 105
Ρίχνουμε δώδεκα τίμια ζάρια. Ποια η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που φέραμε να είναι πρώτος;
Προφανώς πρέπει 11 ζάρια να έχουν φέρει άσσο και και το δωδέκατο πρώτο αριθμό.
Η πιθανότητα και τα έντεκα να έχουν φέρει άσσο είναι \dfrac{1}{6^{11}}
και η πιθανότητα το δωδέκατο να τύχει πρώτο αριθμό είναι \dfrac{1}{2}
Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι \dfrac{1}{2\cdot 6^{11}}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#278

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιαν 31, 2019 8:04 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm
Άσκηση 103
Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: \displaystyle A = \overline{xxxabc}  =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c όπου x,a,b,c ψηφία με x\neq 0, διαιρούνται με το 37.
Καλησπέρα
Πρέπει x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c\equiv 0 (mod37)

Έχουμε
10\equiv 10(mod37),\,\,\,10^2\equiv 26(mod37),\,\,\,10^3\equiv 1(mod37),\,\,\,10^4\equiv 10(mod37),\,\,\kappa \alpha \iota \,\,10^5\equiv 26(mod37)
Άρα
x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c\equiv 0(mod37)\Leftrightarrow 26x+x+x+10x+26a+10b+c\equiv... 0(mod37)\Leftrightarrow 26a+10b+c\equiv 0(mod37)\Leftrightarrow 26a+10b+c=37k,k\in \mathbb{N}\Leftrightarrow 26a+\overline{bc}=37k
Παρατηρούμε ότι για κάθε 0\leq a\leq 9 υπάρχουν δύο ή τρεις μοναδικοί \overline{bc} ώστε 26a+\overline{bc}=37k
Άρα αφού από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο x δεν παίζει ρόλο αυτός θα ορίζεται με 9 τρόπους
Ο a ορίζεται με 10 τρόπους και για κάθε τιμή του οι b,c παίρνουν {3,3,3,2,3,3,2,3,3,3}.
*(Τα παραπάνω νούμερα βρέθηκαν εξετάζοντας όλες τις πιθανές τιμές του a)
Συνολικά οι a,b,c ορίζονται με 28 τρόπους.
Άρα συνολικά 28\cdot 9=252 αριθμοί.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Φεβ 01, 2019 3:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1471
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#279

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιαν 31, 2019 11:45 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm
Άσκηση 103
Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: \displaystyle A = \overline{xxxabc}  =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c όπου x,a,b,c ψηφία με x\neq 0, διαιρούνται με το 37.

Είναι, \overline{xxxabc}=10^3 \overline{xxx}+\overline{abc}=1000x \cdot 111+\overline{abc} \equiv \overline{abc} \pmod {37}.

Έστω \overline{abc}=37k, οπότε 0 \leqslant 37k \leqslant 999 \Rightarrow 0 \leqslant k \leqslant 27 , οπότε το k έχει 28 πιθανές τιμές.

Οπότε, (το x μπορεί να πάρει 9 τιμές) έχουμε συνολικά 9 \cdot 28=252 τέτοιους αριθμούς.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#280

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm

Άσκηση 109
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού 2012^{2011} αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθούν με το 3;

Άσκηση 110
Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο [0, 2017] και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο [0,4034]. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου;

Άσκηση 111
Ένας αριθμός ομάδων συμμετείχε σε ένα τουρνουά round-robin, δηλαδή ένα τουρνουά στο οποίο κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μια φορά. Κάθε ομάδα νίκησε σε ακριβώς 10 παιχνίδια και έχασε σε ακριβώς 10 παιχνίδια, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Πόσα σύνολα τριών ομάδων \{A, B, C\} υπάρχουν για τα οποία η A νίκησε την B, η B νίκησε την C και η C νίκησε την A;


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης