ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Συντονιστής: nsmavrogiannis

ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#181

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Παρ Ιαν 02, 2015 2:29 am

Λάμπρος Ευσταθίου έγραψε:
Demetres έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 48

Μια ακόμα διδακτικού χαρακτήρα άσκηση, γερμανικής προέλευσης !

Πριν να πάει να γράψει το διαγώνισμά του στα μαθηματικά, ένας μαθητής έβαλε στην τσάντα του δύο σακούλες από 10 καραμέλες η καθεμιά.
Κάθε φορά που στην ώρα του διαγωνίσματος εύρισκε δυσκολία, έβαζε -χωρίς να κοιτάζει- το χέρι του στην τσάντα και έπαιρνε στην τύχη μια καραμέλα από όποιο σακουλάκι άγγιζε. Κάποια στιγμή που πήρε μια καραμέλα, διαπίστωσε ότι ήταν η τελευταία από αυτό το σακουλάκι.[/size]
Ποια είναι η πιθανότητα το άλλο σακουλάκι να είχε 5 καραμέλες ακριβώς ;

1ος τρόπος

Τις 15 από τις 20 καραμέλες μπορεί να τις πάρει κατά \left( \begin{matrix} 
   15  \\ 
   20  \\ 
\end{matrix} \right) τρόπους.

Για να αδειάσει το ένα σακουλάκι, χρειάζονται \left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   10  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   5  \\ 
\end{matrix} \right) τρόποι, αφού πρέπει να τελειώσει το ένα και να μείνουν 5 καραμέλες στο άλλο.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με το πηλίκο :

P=\frac{\left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   10  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   5  \\ 
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 
   15  \\ 
   20  \\ 
\end{matrix} \right)}

2ος τρόπος

Πρόκειται για δυωνυμική κατανομή με μήκος 15 .Ο μαθητής διαλέγει τη σακούλα που θα τελειώσει πρώτη με πιθανότητα \frac{1}{2} .

Αφού θέλουμε η σακούλα να τελειώσει σε 15 δοκιμές, αυτό μπορεί να συμβεί με πιθανότητα :

P=\left( \begin{matrix} 
   15  \\ 
   10  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{10}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{5}}

Ποια από τις δύο εκδοχές αποτελεί τη σωστή λύση και γιατί η άλλη είναι λανθασμένη ;

(Δεν έχω λύση)
Αν σε κάποια φάση έχουν μείνει a καραμέλες στο ένα σακούλι και b στο άλλο ποια είναι η πιθανότητα στην επόμενη κίνηση να πάρει καραμέλα από το πρώτο σακούλι; Η λογική της πρώτης λύσης είναι ότι η πιθανότητα είναι a/(b+a). (Επιλογή καραμέλας ομοιόμορφα στην τύχη.) Η λογική της δεύτερης λύσης είναι ότι η πιθανότητα είναι 1/2. (Επιλογή σακουλιού ομοιόμορφα στην τύχη.) Η εκφώνηση θεωρώ ότι υπονοεί το δεύτερο.

Πάντως όποια κατανομή και να επιλέξουμε καμία από τις λύσεις δεν είναι ορθή. Και η δύο λύσεις αγνοούν το γεγονός ότι η τελευταία καραμέλα επιλέχθηκε από το σακούλι που άδειασε. Οπότε οι σωστές απαντήσεις είναι \displaystyle{ \frac{\binom{10}{9}\binom{10}{5}}{\binom{20}{14}}} στην πρώτη περίπτωση και \displaystyle{ \frac{1}{2^{14}}\binom{14}{9}} στην δεύτερη.
1ος τρόπος
Η λύση \displaystyle{ \frac{\binom{10}{9}\binom{10}{5}}{\binom{20}{14}}} θα ήταν το αποτέλεσμα της Υπεργεωμετρικής κατανομής σε ένα πχ. πρόβλημα "Μια σακούλα περιέχει 10 κόκκινες και 10 πράσινες καραμέλες. Αφού εξάγουμε τυχαία 14 καραμέλες, ποιά η πιθανότητα να έχουν μείνει 5 κόκκινες και 1 πράσινη;"

2ος τρόπος
Η λύση \displaystyle{ \frac{1}{2^{14}}\binom{14}{9}} θα ήταν το αποτέλεσμα σε ένα ανάλογο πρόβλημα "Ρίχνουμε ένα νόμισμα 14 φορές. Ποιά η πιθανότητα να φέρουμε 9 κορώνες και 5 γράμματα;" Άρα αυτός ο τρόπος φαίνεται να είναι ο κατάλληλος για τη λύση της άσκησης. Επιλογή δηλαδή σακουλιού.
Θεωρώ ότι η σωστή απάντηση είναι :
P=\begin{pmatrix}15 \\10\end{pmatrix}\times \left (\dfrac{1}{2}\right)^{10}\times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\begin{pmatrix}15 \\10\end{pmatrix}\times\dfrac{1}{2^{15}}

Θεωρώ σωστό να υπολογίσουμε για 15 καραμέλες συνολικά και όχι 14 και 10 και όχι 9 από το ένα σακούλι και 5 από το άλλο.
15 (και 10 αντίστοιχα) αφού “Κάποια στιγμή που πήρε μια καραμέλα, διαπίστωσε ότι ήταν η τελευταία από αυτό το σακουλάκι.” Άρα πήρε και την 10η από το ένα σακουλάκι, άρα και την 15η και από τα δύο σακουλάκια.
Όσον αφορά ποια κατανομή είναι σωστό να εφαρμόσουμε, θεωρώ την διωνυμική κατανομή, καθώς αυτή:
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p εδώ \left(p=\dfrac{1}{2}\right), σταθερή για κάθε επανάληψη που επαναλαμβάνεται n φορές,
Η πιθανότητα τυχαίας επιλογής καραμέλας εξαρτάται μόνο από την τυχαία επιλογή σακουλιού \left(\dfrac{1}{2}\right) και καθόλου από τον αριθμό των καραμελών που υπάρχουν στο κάθε σακούλι, σαν να ρίχνουμε νόμισμα κεφάλι -γράμματα, “κεφάλι” το ένα σακούλι, “γράμματα” το άλλο σακούλι, όπως σωστά αναφέρει ο Λάμπρος παραπάνω στον 2ο και μόνο σωστό τρόπο, με 15 όμως συνολικά καραμέλες και αντίστοιχα 10 για το ένα σακούλι.
Στην υπεργεωμετρική κατανομή δεν έχουμε σταθερή πιθανότητα σε κάθε επανάληψη, χωρίς επανάθεση, του πειράματος, τα δύο δείγματα βρίσκονται στον ίδιο χώρο και η κάθε φορά πιθανότητα επιλογής του ενός ή του άλλου αντικειμένου, εξαρτάται από το πλήθος του ενός και του άλλου αντικειμένου, το οποίο είναι διαρκώς μεταβαλλόμενο, γιαυτό και δεν ενδείκνυται στην περίπτωση αυτή.
Εξάλλου είναι γνωστό και λυμένο πρόβλημα, πρόκειται για το πρόβλημα των σπιρτόκουτων του Banach. Αντί σπίρτα καραμέλες και αντί σπιρτόκουτα σακουλάκια, το ίδιο είναι.
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Πέμ Ιαν 08, 2015 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Ευσταθίου
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Δευ Οκτ 11, 2010 4:22 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#182

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Ευσταθίου » Παρ Ιαν 02, 2015 3:48 pm

ΑΣΚΗΣΗ 48
Θα συμφωνήσω και γω Ευθύμη.. τελικά το κλειδί είναι ότι πρώτα έγινε η επιλογή της 15ης καραμέλας και μετά ήρθε η διαπίστωση οτι αυτή είναι η τελευταία.


Πρέπει να κάνουμε την επιλογή μας. Οικονομία και ελευθερία ή αφθονία και υποτέλεια.
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#183

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Παρ Ιαν 02, 2015 10:12 pm

Άσκηση 59
Είκοσι κληρονόμοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να μοιράσουν την κληρονομιά τους. Συμφωνούν να την μοιράσουν με τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήματα όσα είναι ο μέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η μοιρασιά;


The road to success is always under construction
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3901
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#184

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 03, 2015 1:16 am

nikos_el έγραψε:Άσκηση 59
Είκοσι κληρονόμοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να μοιράσουν την κληρονομιά τους. Συμφωνούν να την μοιράσουν με τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήματα όσα είναι ο μέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η μοιρασιά;
Το πρόβλημα το έχουμε ξαναδεί. Μια και ήμουν μαθητής της Γ Λυκείου όταν το πρόβλημα αυτό τέθηκε στο Θαλή το σχολικό έτος 1998 - 1999, το θυμάμαι. Τέσσερις λύσεις μπορούν να βρεθούν εδώ.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#185

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Κυρ Ιαν 04, 2015 9:50 pm

Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα 4 μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας (7 μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Ευσταθίου
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Δευ Οκτ 11, 2010 4:22 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#186

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Ευσταθίου » Κυρ Ιαν 04, 2015 10:52 pm

Soteris έγραψε:Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα 4 μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας (7 μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)
Αρχικά αποδίδουμε ακριβώς 1 μέρα σε κάθε μάθημα κατά 4!\left( \begin{matrix} 
   7  \\ 
   4  \\ 
\end{matrix} \right) τρόπους. Για κάθε μια τέτοια διάταξη, οι 3 υπόλοιπες μέρες μπορούν να αποδοθούν στα μαθήματα κατά 4^{3} τρόπους. Άρα έχουμε συνολικά 4!\left( \begin{matrix} 
   7  \\ 
   4  \\ 
\end{matrix} \right)4^{3} τρόπους.


Πρέπει να κάνουμε την επιλογή μας. Οικονομία και ελευθερία ή αφθονία και υποτέλεια.
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#187

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Ιαν 05, 2015 6:40 pm

ΑΣΚΗΣΗ 61
Αθλητής του πένταθλου προπονείται σχεδόν καθημερινά σε τουλάχιστον ένα άθλημα από τα πέντε. Σε απολογισμό που έκανε για χρονικό διάστημα 95 ημερών διαπίστωσε ότι: Σε κάθε άθλημα προπονήθηκε 30 φορές, σε κάθε δύο αθλήματα 7 φορές, σε κάθε τρία αθλήματα 5 φορές, σε κάθε τέσσερα αθλήματα 2 φορές και 2 φορές προπονήθηκε και στα πέντε αθλήματα.
Υπήρξε ημέρα/ες που δεν προπονήθηκε;

Ευθύμης


vaskaloy01
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 15, 2012 10:17 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#188

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vaskaloy01 » Τρί Ιαν 06, 2015 11:12 am

ΑΣΚΗΣΗ 62
Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών με ψηφία διαφορετικά του 1,των οποίων το γινόμενο των ψηφίων είναι 60
Λύση:
Η ανάλυση του αριθμού 60 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δίνει
60=2.2.3.5
Από αυτή την ανάλυση βλέπουμε ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ,το πολύ, τατραψήφιοι.
• Προφανώς δεν υπάρχουν διψήφιοι αριθμοί με γινόμενο ψηφίων 60 (αυτό προκύπτει άμεσα από τους πίνακες πολλαπλασιασμού)
• Οι ζητούμενοι τριψήφιοι αριθμοί πρέπει να έχουν ψηφία
4(=2.2), 3 , 5 ή 2,6(=2.3), 5
Οι δύο αυτές τριάδες δημιουργούν 3! +3!=6+6=12 τριψήφιους αριθμούς με γινόμενο ψηφίων 60
• Οι τετραψήφιοι αριθμοί θα έχουν ψηφία 2,2,3,5
Θα αρχίσουμε τοποθετώντας τα ψηφία 2 και 2.
Επειδή οι ζητούμενοι αριθμοί είναι τετραψήφιοι το πρώτο 2 μπορεί να τοποθετηθεί με 4 τρόπους, ενώ το δεύτερο με 3 τρόπους, οπότε από την πολλαπλασιαστική αρχή απαρίθμησης τοποθετούνται με 4.3=12 τρόπους. Τα ψηφία όμως είναι ίδια, οπότε οι 12 τρόποι, ανά δύο ταυτίζονται, συνεπώς τα ψηφία 2 και 2 τοποθετούνται με 6 τρόπους.
Για κάθε έναν από αυτούς τους 6 τρόπους έχουμε 2 τρόπους να τοποθετήσουμε το 3 και μία μονό θέση για το 5, οπότε το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών με γινόμενο 60 είναι
6.2.1=12
Τελικά το ζητούμενο πλήθος είναι 3!+3! +12=6+6+12=24 αριθμοί.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#189

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιαν 06, 2015 5:53 pm

Άσκηση 63
Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#190

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιαν 06, 2015 5:53 pm

Άσκηση 64
Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών (A, B) όπου A, B υποσύνολα του συνόλου \{1, 2, ... , 5\} για τα οποία δεν ισχύει ούτε A\subset B ούτε B\subset A.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#191

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Ιαν 06, 2015 6:26 pm

socrates έγραψε:Άσκηση 63
Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
Όλοι οι τριψήφιοι αριθμοί είναι 9\times10\times10=900. Το κάθε ψηφίο από το σύνολο \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right\} εμφανίζεται \dfrac{900}{10}=90 φορές σε μονάδες και δεκάδες, ενώ το κάθε ψηφίο από το σύνολο \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\} εμφανίζεται \dfrac{900}{9}=100 φορές στις εκατοντάδες. Συνεπώς, το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών είναι 10990\times(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=494500.

Όλοι οι τριψήφιοι με άρτια ψηφία είναι 4\times5\times5=100. Το κάθε ψηφίο από το σύνολο \left\{0, 2, 4, 6, 8\right\} εμφανίζεται \dfrac{100}{5}=20 φορές σε μονάδες και δεκάδες, ενώ το κάθε ψηφίο από το σύνολο \left\{ 2, 4, 6, 8\right\} εμφανίζεται \dfrac{100}{4}=25 φορές στις εκατοντάδες. Συνεπώς, το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών με άρτια ψηφία είναι 2720\times(2+4+6+8)=54400.

Όλοι οι τριψήφιοι με περιττά ψηφία είναι 5\times5\times5=125. Το κάθε ψηφίο από το σύνολο \left\{1, 3, 5, 7, 9\right\} εμφανίζεται \dfrac{125}{5}=25 φορές σε μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες. Συνεπώς, το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών με άρτια ψηφία είναι 2775\times(1+3+5+7+9)=69375.

Τελικά, το άθροισμα των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα άρτιο και τουλάχιστον ένα περιττό ψηφίο είναι 494500-(54400+69375)=370725.


Σωτήρης Λοϊζιάς
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#192

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιαν 06, 2015 6:50 pm

Άσκηση 65
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που περιέχουν μια τουλάχιστον φορά τα ψηφία \displaystyle{0,1,2,3} και έχουν άθροισμα ψηφίων 10.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#193

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιαν 06, 2015 6:51 pm

Άσκηση 66
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών με ψηφία από το σύνολο \displaystyle{\{1,2,3,4,5\}} και στους οποίους κάθε ψηφίο εμφανίζεται δύο τουλάχιστον φορές.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#194

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιαν 06, 2015 6:52 pm

Άσκηση 67
Βρείτε το πλήθος των πενταψήφιων αριθμών που περιέχουν το μπλοκ 15 και διαιρούνται με το 15.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#195

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Ιαν 06, 2015 7:07 pm

socrates έγραψε:Άσκηση 65
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που περιέχουν μια τουλάχιστον φορά τα ψηφία \displaystyle{0,1,2,3} και έχουν άθροισμα ψηφίων 10.
Τα άλλα 2 ψηφία του εξαψήφιου αριθμού πρέπει να είναι 2, 2, 3, 1 ή 4, 0.

(i) Εξαψήφιοι με τα ψηφία 0, 1, 2, 2, 2, 3:
Αν αρχίζουν με 1 ή 3, έχουμε: 2\times\dfrac{5!}{3!}=40
Αν αρχίζουν με 2 έχουμε: \dfrac{5!}{2!}=60

(ii) Εξαψήφιοι με τα ψηφία 0, 1, 1, 2, 3, 3:
Αν αρχίζουν με 1 ή 3 έχουμε: 2\times\dfrac{5!}{2!}=120
Αν αρχίζουν με 2 έχουμε: \dfrac{5!}{2!\times2!}=30

(iii) Εξαψήφιοι με τα ψηφία 0, 0, 1, 2, 3, 4:
Έχουμε: 4\times\dfrac{5!}{2!}=4\times60=240


Σύνολο: 490 εξαψήφιοι αριθμοί με άθροισμα ψηφίων 10.

Έγιναν οι απαραίτητες διορθώσεις μετά από υπόδειξη της Φωτεινής και του socrates (μου διέφυγε η περίπτωση (iii)).
τελευταία επεξεργασία από Soteris σε Τετ Ιαν 28, 2015 8:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#196

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Ιαν 06, 2015 7:31 pm

socrates έγραψε:Άσκηση 66
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών με ψηφία από το σύνολο \displaystyle{\{1,2,3,4,5\}} και στους οποίους κάθε ψηφίο εμφανίζεται δύο τουλάχιστον φορές.
Οι εξαψήφιοι αυτοί θα αποτελούνται από:

(i) 3 δυάδες ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός 123123)
Έχουμε: \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\times\dfrac{6!}{2!\times2!\times2!}=900

(ii) 2 τριάδες ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός 121212)
Έχουμε: \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\times\dfrac{6!}{3!\times3!}=200

(iii) 1 τετράδα και 1 δυάδα ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός 112112)
Έχουμε: 5\times4\times\dfrac{6!}{4!\times2!}=300

(iv) 1 εξάδα ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός 111111)
Έχουμε άλλους 5 αριθμούς

Σύνολο: 1405 αριθμοί


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#197

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Παρ Ιαν 09, 2015 8:55 am

Άσκηση 68

Η πιθανότητα να σταματήσει η μηχανή ενός αεροπλάνου κατά τη διάρκεια της πτήσης του είναι \rho, ανεξάρτητα από τον αριθμό και την ιπποδύναμη των μηχανών του. Για να συνεχίσει να πετά το αεροπλάνο, χρειάζεται τουλάχιστον το \dfrac{1}{2} της ολικής ιπποδύναμης των μηχανών του. Να βρείτε την πιθανότητα ένα αεροπλάνο να συμπληρώσει το ταξίδι του:
(α) αν έχει δύο μηχανές ίσης ιπποδύναμης
(β) αν έχει τρεις μηχανές και η ιπποδύναμη της μιας είναι ίση με το άθροισμα της ιπποδύναμης των δύο άλλων

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Β', 1992)


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#198

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Παρ Ιαν 09, 2015 9:16 am

Soteris έγραψε:Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα 4 μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας (7 μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)
Ο Αντρέας διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

(i) 1 μέρα σε 3 μαθήματα και 4 μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΝΠΠΜΠΦΠ) με \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{4!}=840 διαφορετικούς τρόπους

(ii) 1 μέρα σε 2 μαθήματα, 2 μέρες στο τρίτο μάθημα και 3 μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΦΝΝΠΦΦΜ) με \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{3!\times2!}=5040 διαφορετικούς τρόπους

(iii) 1 μέρα σε 1 μάθημα και 2 μέρες στα υπόλοιπα 3 μαθήματα (π.χ. ΝΠΠΜΦΜΦ) με \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{2!\times2!\times2!}=2520 διαφορετικούς τρόπους

Σύνολο: 840+5040+2520=8400 διαφορετικούς τρόπους


Σωτήρης Λοϊζιάς
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#199

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Παρ Ιαν 09, 2015 11:53 am

Soteris έγραψε:Άσκηση 68

Η πιθανότητα να σταματήσει η μηχανή ενός αεροπλάνου κατά τη διάρκεια της πτήσης του είναι \rho, ανεξάρτητα από τον αριθμό και την ιπποδύναμη των μηχανών του. Για να συνεχίσει να πετά το αεροπλάνο, χρειάζεται τουλάχιστον το \dfrac{1}{2} της ολικής ιπποδύναμης των μηχανών του. Να βρείτε την πιθανότητα ένα αεροπλάνο να συμπληρώσει το ταξίδι του:
(α) αν έχει δύο μηχανές ίσης ιπποδύναμης
(β) αν έχει τρεις μηχανές και η ιπποδύναμη της μιας είναι ίση με το άθροισμα της ιπποδύναμης των δύο άλλων

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Β', 1992)
α) Για να σταματήσει το ταξίδι του το αεροπλάνο πρέπει να σταματήσουν και οι δύο μηχανές του, πιθανότητα να συμβεί αυτό \rho ^2, άρα πιθανότητα να συμπληρώσει το ταξίδι του 1-\rho ^2
ή αλλιώς για να συμπληρώσει το ταξίδι του αρκεί να μην σταματήσει η μία, 2\times\rho\times(1-\rho) ή να μην σταματήσουν να δουλεύουν και οι δύο \times(1-\rho)^2
Αθροιστικά 2\times \rho \times(1-\rho)+(1-\rho)^2 =1-\rho^2

β) Διακρίνω τις παρακάτω περιπτώσεις που το ταξίδι ολοκληρώνεται.
i) δεν σταματά καμία μηχανή (1-\rho)^3
ii) σταματά μία από τις μικρές μηχανές και δουλεύουν οι άλλες δύο 2\times\rho\times(1-\rho)^2
iii) σταματούν οι δύο μικρές και δουλεύει η μεγάλη \rho^2 \times(1-\rho)
iv) σταματά η μεγάλη και δουλεύουν οι δύο μικρές \rho \times(1-\rho)^2
Αθροιστικά (1-\rho)^3 + 2 \times \rho \times (1-\rho)^2 +\rho^2 \times (1-\rho) +\rho \times (1-\rho)^2=\rho^3-2\rho^2+1


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5310
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#200

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιαν 09, 2015 7:32 pm

Soteris έγραψε:
Soteris έγραψε:Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα 4 μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας (7 μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)
Ο Αντρέας διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

(i) 1 μέρα σε 3 μαθήματα και 4 μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΝΠΠΜΠΦΠ) με \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{4!}=840 διαφορετικούς τρόπους

(ii) 1 μέρα σε 2 μαθήματα, 2 μέρες στο τρίτο μάθημα και 3 μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΦΝΝΠΦΦΜ) με \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{3!\times2!}=5040 διαφορετικούς τρόπους

(iii) 1 μέρα σε 1 μάθημα και 2 μέρες στα υπόλοιπα 3 μαθήματα (π.χ. ΝΠΠΜΦΜΦ) με \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{2!\times2!\times2!}=2520 διαφορετικούς τρόπους

Σύνολο: 840+5040+2520=8400 διαφορετικούς τρόπους
Σωτήρη, οι συνδυασμοί μπροστά από το κλάσμα με ποιο σκεπτικό επιλέγονται ; Αφορούν πχ τους τρόπους που διαλέγουμε ένα μάθημα από τα 4 ή κάτι άλλο ;

Μπάμπης

(Δύσκολο πρόβλημα, αλλά καλό !!!)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης