ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Συντονιστής: nsmavrogiannis

ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#161

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Δεκ 23, 2014 12:15 pm

Soteris έγραψε:Άσκηση 54

Ο Πέτρος έχει ένα νόμισμα και ο Γιάννης δύο νομίσματα. Πρώτος ο Πέτρος ρίχνει το νόμισμά του μια φορά και το δίνει στο Γιάννη, αν το νόμισμα δείχνει κορώνα. Στη συνέχεια ο Γιάννης ρίχνει τα νομίσματα που κατέχει μια φορά και δίνει στον Πέτρο εκείνα που δείχνουν κορώνα. Αν έχουν ρίξει από μία φορά, να βρεθεί η πιθανότητα:
(α) ο Γιάννης να κρατά και τα τρία νομίσματα
(β) ο Πέτρος να κρατά και τα τρία νομίσματα

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, 1991)
Με τα ίδια δεδομένα να βρεθεί η πιθανότητα:
ο Γιάννης να κρατά δύο νομίσματα.
ο Πέτρος να κρατά δύο νομίσματα.

Αν ο Γιάννης κρατά δύο νομίσματα ποια η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε κεφάλι στη ρίψη του και ποια να έφερε γράμματα;
Αν ο Πέτρος κρατά δύο νομίσματα ποια η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε κεφάλι στη ρίψη του και ποια να έφερε γράμματα;


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#162

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Δεκ 23, 2014 1:12 pm

ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε:Άσκηση 54

Ο Πέτρος έχει ένα νόμισμα και ο Γιάννης δύο νομίσματα. Πρώτος ο Πέτρος ρίχνει το νόμισμά του μια φορά και το δίνει στο Γιάννη, αν το νόμισμα δείχνει κορώνα. Στη συνέχεια ο Γιάννης ρίχνει τα νομίσματα που κατέχει μια φορά και δίνει στον Πέτρο εκείνα που δείχνουν κορώνα. Αν έχουν ρίξει από μία φορά, να βρεθεί η πιθανότητα:
(α) ο Γιάννης να κρατά και τα τρία νομίσματα
(β) ο Πέτρος να κρατά και τα τρία νομίσματα

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, 1991)
Με τα ίδια δεδομένα να βρεθεί η πιθανότητα:
ο Γιάννης να κρατά δύο νομίσματα.
ο Πέτρος να κρατά δύο νομίσματα.

Αν ο Γιάννης κρατά δύο νομίσματα ποια η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε κεφάλι στη ρίψη του και ποια να έφερε γράμματα;
Αν ο Πέτρος κρατά δύο νομίσματα ποια η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε κεφάλι στη ρίψη του και ποια να έφερε γράμματα;
*Σημείωση: Θεωρώ ότι τα τρία νομίσματα δεν είναι όμοια.

(1α) Ο Γιάννης κρατά δύο νομίσματα αν:
(i) Ο Πέτρος δώσει το νόμισμά του στο Γιάννη και ο Γιάννης δώσει ένα νόμισμα στον Πέτρο: \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\times\dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3}{16}
(ii) Ο Πέτρος κρατήσει το νόμισμά του και ο Γιάννης κρατήσει τα δικά του νομίσματα: \left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}

Αθροιστικά, η πιθανότητα να κρατά ο Γιάννης δύο νομίσματα είναι \dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{16}.

(1β) Ο Πέτρος κρατά δύο νομίσματα αν:
(i) Ο Πέτρος κρατήσει το νόμισμά του και ο Γιάννης δώσει ένα νόμισμα στον Πέτρο: \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times2!=\dfrac{1}{4}
(ii) Ο Πέτρος δώσει το νόμισμά του στο Γιάννη και ο Γιάννης δύο νομίσματα στον Πέτρο: \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\times\dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3}{16}

Αθροιστικά, η πιθανότητα να κρατά ο Πέτρος δύο νομίσματα είναι \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{7}{16}.

(2α) Αν ο Γιάννης κρατά δύο νομίσματα, η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε κεφάλι στη ρίψη του είναι \dfrac{\dfrac{3}{16}}{\dfrac{5}{16}}=\dfrac{3}{5}, ενώ η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε γράμματα στη ρίψη του είναι 1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}.

(2β) Αν ο Πέτρος κρατά δύο νομίσματα, η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε κεφάλι στη ρίψη του είναι \dfrac{\dfrac{3}{16}}{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{3}{7}, ενώ η πιθανότητα ο Πέτρος να έφερε γράμματα στη ρίψη του είναι 1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}.


Σωτήρης Λοϊζιάς
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#163

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τετ Δεκ 24, 2014 3:43 am

Soteris έγραψε:Άσκηση 55

Σ' ένα παιχνίδι ένα ζάρι ρίχνεται και παρατηρείται η ένδειξή του. Αν η ένδειξη είναι 6, τότε το ζάρι μπορεί να ξαναριχθεί, διαφορετικά το παιχνίδι τελειώνει αναγκαστικά και δεν επιτρέπεται άλλη ρίψη. Ονομάζουμε "αποτέλεσμα" το άθροισμα όλων των ενδείξεων του ζαριού.

(α) Ποια η πιθανότητα το "αποτέλεσμα" να είναι 8;
(β) Δοθέντος ότι το ζάρι ρίχτηκε δύο φορές, ποια η πιθανότητα το "αποτέλεσμα" να είναι μεγαλύτερο του 8;
(γ) Δοθέντος ότι το ζάρι ρίχτηκε n φορές (n θετικός ακέραιος), ποια η πιθανότητα το "αποτέλεσμα" να είναι μεγαλύτερο του 6\left( n-1\right)+2;
(δ) Αν δεν είναι γνωστός ο αριθμός των προσπαθειών (ρίψεων του ζαριού), ποια η πιθανότητα το "αποτέλεσμα" να είναι μεγαλύτερο του 8;

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Β', 1995)
(α) “αποτέλεσμα” 8, άρα την πρώτη έφερε 6 και την δεύτερη έφερε 2 και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}

(β) "αποτέλεσμα" μεγαλύτερο του 8, άρα ή 9, ή 10 ή 11, άρα την πρώτη έφερε 6 και την δεύτερη έφερε ή 3 ή 4 ή 5 και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{12}

(γ) "αποτέλεσμα" μεγαλύτερο του 6(n-1)+2, άρα ή 6(n-1)+3 ή 6(n-1)+4 ή 6(n-1)+5, άρα (n-1) φορές έφερε 6 και την n-οστη φορά έφερε ή 3 ή 4 ή 5 και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι \dfrac{1}{6^{n-1} } \times \dfrac{3}{6}=\dfrac{3}{ 6^{n}}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#164

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Πέμ Δεκ 25, 2014 10:32 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
ealexiou έγραψε:.....................
Μέση τιμή= \dfrac{\dfrac{27}{128}\times 0+\dfrac{27}{256} \times 1+\dfrac{105}{256}\times 2+\dfrac{35}{128} \times 3}{\dfrac{27}{128}+\dfrac{27}{256}+\dfrac{105}{256}+\dfrac{35}{128}}=\dfrac{447}{256}=1. \overline{746}

Για το γ) Κατά μέσο όρο αναμένει να εισπράττει 1. \overline{746}\times 2=3. \overline{492} ευρώ ανά παιχνίδι.

Άρα το αναμενόμενο κέρδος είναι: 3. \overline{492}-3= 0. \overline{492} ανά παιχνίδι

και το αναμενόμενο ποσοστιαίo κέρδος είναι: \dfrac{0. \overline{492}}{3}=0.16406=16.41\%
Ευθύμη, τέλεια! Όλα συμφωνούν και με το Γερμανό ! Έχεις καμιά ιδέα πώς θα μπορούσα να διαμορφώσω το γ) ερώτημα , ώστε να γίνει πιο ελκυστικό και πιο ενδιαφέρον ;
Να πούμε για παράδειγμα ότι ο παίκτης παίρνει χ ευρώ αν φέρει τα αποτελέσματα .... και πληρώνει y ευρώ, αν φέρει ....Η τελική ερώτηση θα ήθελα να είναι : Αν ο παίκτης παίξει πολλά παιγνίδια, τελικά θα κερδίσει ή θα χάσει ;
Μπάμπη, καλημέρα και χρόνια σου πολλά, μέρα που είναι.
Άργησα αλλά δεν το ξέχασα!

\gamma _{1}) Παίζοντας το παραπάνω παιχνίδι των τεσσάρων το πολύ δοκιμών, με την παραπάνω περιγραφόμενη στρατηγική, ο παίκτης κερδίζει 10 ευρώ αν σταματήσει στο 2 ή στο 3 και χάνει 15 ευρώ αν σταματήσει στο 0 ή στο 1
i) Αν ο παίκτης παίξει πολλά παιγνίδια, τελικά θα κερδίσει ή θα χάσει ;
ii) Αν παίκτης παίξει 10 παιχνίδια ποιο θα είναι το αναμενόμενο κέδρος ή η αναμενόμενη ζημιά;
\gamma _{2}) Να ευρεθεί ο λόγος κέρδους-ζημιάς (x/y) για να είναι δίκαιο το παιχνίδι (50\%-50 \%).
(ή διάφορες παραλλαγές, κερδίζει x ευρώ αν σταματήσει στο 2, ( ή σε όποιο θέλουμε πχ στο 3) και αντίστοιχα χάνει y ευρώ αν δεν σταματήσει. (αφού ξέρουμε τις διάφορες πιθανότητες που έχουμε υπολογίσει εύκολα ορίζουμε τα x και y κάθε παραλλαγής)).

1.3 Ο διοργανωτής παιχνιδιών προσφέρει και ένα μεγάλο παιχνίδι, το ίδιο παιχνίδι των τεσσάρων το πολύ δοκιμών αλλά επαναλαμβανόμενο επτά (7) φορές (ή όσες φορές). Ο παίκτης κερδίζει στο μεγάλο παιχνίδι, αν κερδίσετε πέντε τουλάχιστον παιχνίδια των τεσσάρων το πολύ δοκιμών και χάνει στο μεγάλο παιχνίδι αν κερδίσει λιγότερα από πέντε παιχνίδια των τεσσάρων το πολύ δοκιμών. Οι ερωτήσεις μπορεί να είναι:
ι) Συμφέρει στους παίκτες αυτό το μεγάλο παιχνίδι;
ιι) Ποια πρέπει να είναι η αναλογία κέρδους-ζημιάς για να είναι δίκαιο το μεγάλο παιχνίδι (50\%-50 \%);
(ή διάφορες παραλλαγές αυτού, κερδίζει αν σε τόσα παιχνίδια των τεσσάρων το πολύ δοκιμών πετύχει να σταματήσει στο 2, (ή σε όποιο άλλο θέλουμε πχ στο 3))
ιιι) Ορίζουμε ποσά κέρδους-ζημιάς για τις διάφορες παραλλαγές του παραπάνω ερωτήματος και ζητάμε να υπολογισθεί το αναμενόμενο κέρδος ή η αναμενόμενη ζημιά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10587
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#165

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 25, 2014 11:37 am

Άσκηση 56

Ένα πρόβλημα καταμέτρησης που προέκυψε , στην προσπάθεια ελέγχου ως προς κάποιες ιδιότητες

όλων των τριγώνων κάποιου τύπου στο θέμα που παρουσιάζεται εδώ :

"Να βρεθεί ο αριθμός όλων των διαφορετικών μεταξύ τους τριγώνων , των οποίων οι πλευρές έχουν

ακέραια μήκη , αλλά το μήκος κάθε πλευράς δεν υπερβαίνει το 21 "

Γι όσους παρακολουθούν εκείνο το θέμα , θα "πετάξουμε" τα 21 ισόπλευρα και τα 20 ισοσκελή

με μήκος μίας πλευράς 1 . Για να μη βιαστεί κάποιος , υπενθυμίζεται ότι τρίγωνο με

μήκη πλευρών , την τριάδα (19,12,5) δεν υπάρχει , ενώ αν γράψουμε την τριάδα (11,8,6) δεν

επιτρέπεται να γράψουμε και την (8 ,11,6) . Το πρόβλημα μάλλον δεν είναι δύσκολο , είναι όμως επίπονο ..
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Δεκ 26, 2014 12:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#166

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 26, 2014 11:42 am

socrates έγραψε:
ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 30

1) Δίνονται n συνεπίπεδα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά.
α) Πόσες ευθείες ορίζουν ανά δύο τα σημεία αυτά;
β)Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται παίρνοντας ως κορυφές, ανά τρία, τα σημεία αυτά;

2) Δίνονται n σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο (ανά τέσσερα μη συνεπίπεδα).
α) Πόσα επίπεδα ορίζουν ανά τρία τα σημεία αυτά;
β) Πόσα τετράεδρα σχηματίζονται με κορυφές επί των σημείων αυτών;

1)
α) \displaystyle{\binom{n}{2}}
β) \displaystyle{\binom{n}{3}}

2) Μήπως είναι και μη συνευθειακά ανά 3;
α) \displaystyle{\binom{n}{3}}
β) \displaystyle{\binom{n}{4}}
Είναι! Γιατί, αν είχαμε τρία συνευθειακά, τότε θα είχαμε και τέσσερα συνεπίπεδα.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#167

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 26, 2014 12:00 pm

ealexiou έγραψε:
socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31
Ρίχνουµε ένα συνηθισµένο ζάρι 10 φορές. Να υπολογισθούν οι εξής πιθανότητες:
(α) Η µεγαλύτερη ένδειξη (από τις 10) είναι το 5.
(β) Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1.
(γ) Η µεγαλύτερη ένδειξη είναι το 5 και η µικρότερη το 1.
Για το (α)
Πλήθος δυνατών διατάξεων των δέκα (10) ενδείξεων του ζαριού στις 10 ρίψεις N_{0}=6^{10}=60466176

Είδος δεκάδων.......Πλήθος δεκάδων
5555555555 \ \ \ \ \ \ \ n_{1}= \begin{pmatrix}10  \\ 10\end{pmatrix}=1
555555555a \ \ \ \ \ \ \ n_{2}= \begin{pmatrix}10  \\ 9\end{pmatrix} \times 4^1=40
55555555ab \ \ \ \ \ \ \ n_{3}= \begin{pmatrix}10  \\ 8\end{pmatrix} \times 4^2=720
5555555abc \ \ \ \ \ \ \ n_{4}= \begin{pmatrix}10  \\ 7\end{pmatrix} \times 4^3=7680
555555abcd \ \ \ \ \ \ \ n_{5}= \begin{pmatrix}10  \\ 6\end{pmatrix} \times 4^4=53760
55555abcde \ \ \ \ \ \ \ n_{6}= \begin{pmatrix}10  \\ 5\end{pmatrix} \times 4^5=258048
5555ab cd ef \ \ \ \ \ \ \ n_{7}= \begin{pmatrix}10  \\ 4\end{pmatrix} \times 4^6=860160
555ab c de fg \ \ \ \ \ \ \ n_{8}= \begin{pmatrix}10  \\ 3\end{pmatrix} \times 4^7=1966080
55ab cd ef gh \ \ \ \ \ \ \ n_{9}= \begin{pmatrix}10  \\ 2\end{pmatrix} \times 4^8=2949120
5ab cd e fg hi \ \ \ \ \ \ \ n_{10}= \begin{pmatrix}10  \\ 1\end{pmatrix} \times 4^9=2621440
όπου a,b,c,d,e,f,g,h,i \neq  5,6

Πλήθος ευνοϊκών διατάξεων N=n_{1}+n_{1}+...+n_{10}=8717049

άρα P=\dfrac{N}{N_{0}}=\dfrac{8717049 }{60466176}=0.144...

Για το (β)
“Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1” το αντιλαμβάνομαι και το εκλαμβάνω ως “να υπάρχει τουλάχιστον ένα 1
άρα P=1-P(κανένα 1)\RightarrowP=1-\dfrac{ 5^{10} }{6^{10} }=0.838494
....
Οι ευνοικές περιιπτώσεις μπορούν να υπολογιστούν και ώς εξής:

α) Από το πλήθος των δεκαψήφιων αριθμών που φτειάχνουμε με τα ψηφία 1,2,3,4,5 αφαιρούμε το πλήθος των δεκαψήφιων που φτειάχνουμε με τα ψηφία 1,2,3,4: 5^{10}-4^{10}

β) Από το 6^{10} αφαιρούμε το πλήθος 5^{10} των δεκαψήφιων που φτειάχνουμε με ταψηφία 2,3,4,5,6


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#168

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Παρ Δεκ 26, 2014 3:31 pm

rek2 έγραψε:
socrates έγραψε:
ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 30

1) Δίνονται n συνεπίπεδα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά.
α) Πόσες ευθείες ορίζουν ανά δύο τα σημεία αυτά;
β)Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται παίρνοντας ως κορυφές, ανά τρία, τα σημεία αυτά;

2) Δίνονται n σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο (ανά τέσσερα μη συνεπίπεδα).
α) Πόσα επίπεδα ορίζουν ανά τρία τα σημεία αυτά;
β) Πόσα τετράεδρα σχηματίζονται με κορυφές επί των σημείων αυτών;

1)
α) \displaystyle{\binom{n}{2}}
β) \displaystyle{\binom{n}{3}}

2) Μήπως είναι και μη συνευθειακά ανά 3;
α) \displaystyle{\binom{n}{3}}
β) \displaystyle{\binom{n}{4}}
Είναι! Γιατί, αν είχαμε τρία συνευθειακά, τότε θα είχαμε και τέσσερα συνεπίπεδα.
Αν για n σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο, ορίσουμε ότι ανά τέσσερα είναι μη συνεπίπεδα, προφανώς, ανά τρία δεν μπορεί να είναι συνευθειακά και δεν χρειάζεται τέτοιος ορισμός, θα ήταν πλεονασμός. Θεώρησα την ερώτηση ως , βιαστικό, χιούμορ και ήδη απαντημένη από τον ίδιο, τον socrates, στη λύση που έδωσε (αφού τα εξέλαβε και σωστά ανά τρία ως μη συνευθειακά).
Έτσι η αλλιώς θεώρησα ότι σε ερώτηση που δεν υφίσταται, δεν έχει νόημα η απάντηση σε αυτήν.
Αν κάνω λάθος στο σκεπτικό μου, ταπεινά συγγνώμη και για το ότι δεν απάντησα.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5310
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#169

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Δεκ 27, 2014 10:43 am

ΑΣΚΗΣΗ 56

Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν σε ένα παγκάκι 6 κορίτσια και 3 αγόρια, αν κανένα αγόρι δεν πρέπει να κάθεται δίπλα σε αγόρι ;

Μπάμπης

(Απ:151200)


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#170

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Δεκ 27, 2014 12:42 pm

Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς και στην κάθε θέση-σχηματισμό, τα αγόρια μπορούν να καθήσουν με 3! τρόπους και τα κορίτσια με 6! τρόπους.
Άρα μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}\times3!\times 6!= 151200 διαφορετικούς τρόπους.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5310
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#171

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Δεκ 27, 2014 6:45 pm

ealexiou έγραψε:Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς και στην κάθε θέση-σχηματισμό, τα αγόρια μπορούν να καθήσουν με 3! τρόπους και τα κορίτσια με 6! τρόπους.
Άρα μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}\times3!\times 6!= 151200 διαφορετικούς τρόπους.
Ευθύμη,

Χρόνια πολλά !
Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς
Αυτό το μέρος πώς το έχεις στο μυαλό σου ; Βάζεις κενά ανάμεσα στα κορίτσια και δύο κενά σε αρχή τέλος ή κάπως αλλιώς ;

Μπ


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#172

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Δεκ 27, 2014 7:03 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
ealexiou έγραψε:Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς και στην κάθε θέση-σχηματισμό, τα αγόρια μπορούν να καθήσουν με 3! τρόπους και τα κορίτσια με 6! τρόπους.
Άρα μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}\times3!\times 6!= 151200 διαφορετικούς τρόπους.
Ευθύμη,

Χρόνια πολλά !
Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς
Αυτό το μέρος πώς το έχεις στο μυαλό σου ; Βάζεις κενά ανάμεσα στα κορίτσια και δύο κενά σε αρχή τέλος ή κάπως αλλιώς ;

Μπ
Χαράλαμπε, χρόνια πολλά και σε εσένα και καλή πρωτοχρονιά!

Ακριβώς, θεωρώ κενά ανάμεσα στα κορίτσια και δύο κενά σε αρχή τέλος, ένα πριν το πρώτο κορίτσι και ένα μετά το τελευταίο. Λίγο πιο αναλυτικά:
Θεωρούμε τον σχηματισμό -K-K-K-K-K-K-, έξι κορίτσια και επτά παύλες (κενά). Τα τρία αγόρια μπορούν να τοποθετηθούν σε οποιεσδήποτε τρεις παύλες-κενά από τις επτά, άρα .. σε.C(7,3) θέσεις-σχηματισμούς π.χ στις τρεις πρώτες παύλες-κενά AKAKAK-K-K-K- και φυσικά οι υπόλοιπες τέσσερις παύλες-κενά δεν υφίστανται, δεν υπάρχει άλλο αγόρι και έχουμε AKAKAKKKK ή τυχαία επιλογή -KAK-KAK-K-KA , τα υπόλοιπα κενά δεν υφίστανται και έχουμε KAKKAKKKA. Για καθένα από τους 35 αυτούς συνδυασμούς τα κορίτσια και τα αγόρια τοποθετούνται, κατά τα γνωστά, με 6! και 3! τρόπους αντίστοιχα..

Επίσης λίγο παραπάνω έχω γράψει κάποιες σκέψεις για την άσκηση 41.

Φιλικά

Ευθύμης Αλεξίου


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5310
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#173

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Δεκ 27, 2014 7:24 pm

ealexiou έγραψε:.................

Χαράλαμπε, χρόνια πολλά και σε εσένα καλή πρωτοχρονιά!

..........................

Επίσης λίγο παραπάνω έχω γράψει κάποιες σκέψεις για την άσκηση 41.

Φιλικά

Ευθύμης Αλεξίου
Ευθύμη, το είδα και σε ευχαριστώ ! Ωραία ερωτήματα, όπως ακριβώς το σκεφτόμουνα.

Θα τα απαντήσουμε στο μέλλον, όταν έρθει η στιγμή.

Σε χαιρετώ !


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#174

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 29, 2014 9:16 am

ealexiou έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
ealexiou έγραψε:Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς και στην κάθε θέση-σχηματισμό, τα αγόρια μπορούν να καθήσουν με 3! τρόπους και τα κορίτσια με 6! τρόπους.
Άρα μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}\times3!\times 6!= 151200 διαφορετικούς τρόπους.
Ευθύμη,

Χρόνια πολλά !
Τα αγόρια και τα κορίτσια μπορούν να καθήσουν με \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} διαφορετικές θέσεις-σχηματισμούς
Αυτό το μέρος πώς το έχεις στο μυαλό σου ; Βάζεις κενά ανάμεσα στα κορίτσια και δύο κενά σε αρχή τέλος ή κάπως αλλιώς ;

Μπ
Χαράλαμπε, χρόνια πολλά και σε εσένα και καλή πρωτοχρονιά!

Ακριβώς, θεωρώ κενά ανάμεσα στα κορίτσια και δύο κενά σε αρχή τέλος, ένα πριν το πρώτο κορίτσι και ένα μετά το τελευταίο. Λίγο πιο αναλυτικά:
Θεωρούμε τον σχηματισμό -K-K-K-K-K-K-, έξι κορίτσια και επτά παύλες (κενά). Τα τρία αγόρια μπορούν να τοποθετηθούν σε οποιεσδήποτε τρεις παύλες-κενά από τις επτά, άρα .. σε.C(7,3) θέσεις-σχηματισμούς π.χ στις τρεις πρώτες παύλες-κενά AKAKAK-K-K-K- και φυσικά οι υπόλοιπες τέσσερις παύλες-κενά δεν υφίστανται, δεν υπάρχει άλλο αγόρι και έχουμε AKAKAKKKK ή τυχαία επιλογή -KAK-KAK-K-KA , τα υπόλοιπα κενά δεν υφίστανται και έχουμε KAKKAKKKA. Για καθένα από τους 35 αυτούς συνδυασμούς τα κορίτσια και τα αγόρια τοποθετούνται, κατά τα γνωστά, με 6! και 3! τρόπους αντίστοιχα..

Επίσης λίγο παραπάνω έχω γράψει κάποιες σκέψεις για την άσκηση 41.

Φιλικά

Ευθύμης Αλεξίου
Ευθύμη και Μπάμπη χρόνια πολλά.

Μια μικρή παραλλαγή με την ίδια φιλοσοφία.
Το πρώτο αγόρι έχει 7 επιλογές για την δική του παύλα-κενό, το δεύτερο 6 και το τρίτο 5. Έτσι, έχουμε:7\times6\times5\times6!=151200


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#175

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Δεκ 30, 2014 9:03 am

Άσκηση 57

Δύο νομίσματα είναι το μεν ένα χρυσό το δε άλλο ασημένιο. Το χρυσό νόμισμα είναι κανονικό. Το ασημένιο έχει ατέλειες, με την πιθανότητα να φέρει ΓΡΑΜΜΑΤΑ να είναι τα \dfrac{4}{3} της πιθανότητας να φέρει ΚΟΡΩΝΑ.
(α) Αν ρίξουμε το ασημένιο στον αέρα, να δείξετε ότι η πιθανότητα να φέρει ΚΟΡΩΝΑ είναι \dfrac{3}{7}.
(β) Αν στην τύχη πάρουμε ένα από τα δύο νομίσματα και το ρίξουμε στον αέρα, ποια η πιθανότητα να φέρει ΓΡΑΜΜΑΤΑ;
(γ) Δεδομένου ότι το νόμισμα που ρίξαμε έφερε ΓΡΑΜΜΑΤΑ, ποια η πιθανότητα να ήταν το ασημένιο;

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Α', 1997)


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#176

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Δεκ 30, 2014 9:28 am

Άσκηση 58

n παράλληλες ευθείες τέμνονται από 5 άλλες παράλληλες ευθείες. Με κορυφές τα σημεία τομής των ευθειών, σχηματίζουμε τρίγωνα με μιαν τουλάχιστον πλευρά να βρίσκεται πάνω σε μιαν από τις πιο πάνω ευθείες. Αν τα πιο πολλά τρίγωνα που μπορούμε να σχηματίσουμε είναι 2700, να βρεθεί το n.

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' και Γ' Λυκείου "ΖΗΝΩΝ", 1999)


Σωτήρης Λοϊζιάς
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#177

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Δεκ 30, 2014 3:46 pm

Soteris έγραψε:Άσκηση 58

n παράλληλες ευθείες τέμνονται από 5 άλλες παράλληλες ευθείες. Με κορυφές τα σημεία τομής των ευθειών, σχηματίζουμε τρίγωνα με μιαν τουλάχιστον πλευρά να βρίσκεται πάνω σε μιαν από τις πιο πάνω ευθείες. Αν τα πιο πολλά τρίγωνα που μπορούμε να σχηματίσουμε είναι 2700, να βρεθεί το n.

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' και Γ' Λυκείου "ΖΗΝΩΝ", 1999)
Καλησπέρα Σωτήρη. Χρόνια πολλά και καλά!

Ενδιαφέρον θέμα και όχι τόσο δύσκολο όσο μου φάνηκε αρχικά.
Τα τρίγωνα που μπορούν να σχηματισθούν είναι A = \begin{pmatrix}n\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5\\2 \end{pmatrix}\times 2n+ \begin{pmatrix}n\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5\\2 \end{pmatrix} \times2(5-2)
Επειδή A=2700\Rightarrow n=6


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#178

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Δεκ 30, 2014 5:44 pm

Soteris έγραψε:Άσκηση 57

Δύο νομίσματα είναι το μεν ένα χρυσό το δε άλλο ασημένιο. Το χρυσό νόμισμα είναι κανονικό. Το ασημένιο έχει ατέλειες, με την πιθανότητα να φέρει ΓΡΑΜΜΑΤΑ να είναι τα \dfrac{4}{3} της πιθανότητας να φέρει ΚΟΡΩΝΑ.
(α) Αν ρίξουμε το ασημένιο στον αέρα, να δείξετε ότι η πιθανότητα να φέρει ΚΟΡΩΝΑ είναι \dfrac{3}{7}.
(β) Αν στην τύχη πάρουμε ένα από τα δύο νομίσματα και το ρίξουμε στον αέρα, ποια η πιθανότητα να φέρει ΓΡΑΜΜΑΤΑ;
(γ) Δεδομένου ότι το νόμισμα που ρίξαμε έφερε ΓΡΑΜΜΑΤΑ, ποια η πιθανότητα να ήταν το ασημένιο;

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Α', 1997)
(α) Αν x η πιθανότητα να φέρει κεφάλι με το ασημένιο, τότε x+\dfrac{4x}{3}=1\Rightarrow x= \dfrac{3}{7} και γράμματα \dfrac{4}{7}

(β) Η πιθανότητα να φέρουμε γράμματα είναι \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{7}\right)=\dfrac{15}{28}

(γ) Η πιθανότητα να ήταν το ασημένιο είναι \dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}}{\dfrac{15}{28}}=\dfrac{8}{15}


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Ευσταθίου
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Δευ Οκτ 11, 2010 4:22 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#179

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Ευσταθίου » Πέμ Ιαν 01, 2015 1:55 am

Soteris έγραψε:Άσκηση 53

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατασκεύαζαν τρίγωνα χρησιμοποιώντας ένα σχοινί με 13 κόμβους (αρπενδόνη). Κάρφωναν τρία καρφιά σε τρεις κόμβους, που αποτελούσαν τις κορυφές του τριγώνου, ώστε το σχοινί να είναι τεντωμένο και να χρησιμοποιηθεί ολόκληρο. Να εξετάσετε πόσα διαφορετικά τρίγωνα μπορούν να κατασκευαστούν με το συγκεκριμένο σχοινί.
(Τα διαστήματα που σχηματίζουν οι κόμβοι είναι ίσα υποθέτω.. αν ναι τότε)
Εντελώς απαριθμητικά (13 κόμβοι~12 διαστήματα):

x, y, 12-x-y (πλευρές)
-----------------------------
1 1 10
1 2 9
1 3 8
1 4 7
1 5 6
2 2 8
2 3 7
2 4 6

2 5 5
3 3 6
3 4 5
4 4 4

edit1: Μετά από υπενθύμηση του ealexiou της τριγωνικής ανισότητας :wallbash: προφανώς τα τρίγωνα με τις κόκκινες πλευρές δε μπορούν να σχηματιστούν!

edit3: Ωστόσο υπάρχουν και άλλα τρίγωνα που σχηματίζονται από τη χρήση ενός μέρους του σχοινιού και όχι μόνο ολόκληρου.

x y z (με x+y+z<12)
-----------------------------
1 1 1
2 2 1
2 2 2
2 2 3
2 3 4
2 4 5
3 3 1
3 3 2
3 3 3
3 3 4
3 3 5
4 4 1
4 4 2
4 4 3
5 5 1

Μέχρι στιγμής βγαίνουν 18!

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΚΑΙ ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!


Πρέπει να κάνουμε την επιλογή μας. Οικονομία και ελευθερία ή αφθονία και υποτέλεια.
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Ευσταθίου
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Δευ Οκτ 11, 2010 4:22 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#180

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Ευσταθίου » Πέμ Ιαν 01, 2015 7:10 pm

Demetres έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 48

Μια ακόμα διδακτικού χαρακτήρα άσκηση, γερμανικής προέλευσης !

Πριν να πάει να γράψει το διαγώνισμά του στα μαθηματικά, ένας μαθητής έβαλε στην τσάντα του δύο σακούλες από 10 καραμέλες η καθεμιά.
Κάθε φορά που στην ώρα του διαγωνίσματος εύρισκε δυσκολία, έβαζε -χωρίς να κοιτάζει- το χέρι του στην τσάντα και έπαιρνε στην τύχη μια καραμέλα από όποιο σακουλάκι άγγιζε. Κάποια στιγμή που πήρε μια καραμέλα, διαπίστωσε ότι ήταν η τελευταία από αυτό το σακουλάκι.
Ποια είναι η πιθανότητα το άλλο σακουλάκι να είχε 5 καραμέλες ακριβώς ;

1ος τρόπος

Τις 15 από τις 20 καραμέλες μπορεί να τις πάρει κατά \left( \begin{matrix} 
   15  \\ 
   20  \\ 
\end{matrix} \right) τρόπους.

Για να αδειάσει το ένα σακουλάκι, χρειάζονται \left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   10  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   5  \\ 
\end{matrix} \right) τρόποι, αφού πρέπει να τελειώσει το ένα και να μείνουν 5 καραμέλες στο άλλο.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με το πηλίκο :

P=\frac{\left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   10  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
   10  \\ 
   5  \\ 
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 
   15  \\ 
   20  \\ 
\end{matrix} \right)}

2ος τρόπος

Πρόκειται για δυωνυμική κατανομή με μήκος 15 .Ο μαθητής διαλέγει τη σακούλα που θα τελειώσει πρώτη με πιθανότητα \frac{1}{2} .

Αφού θέλουμε η σακούλα να τελειώσει σε 15 δοκιμές, αυτό μπορεί να συμβεί με πιθανότητα :

P=\left( \begin{matrix} 
   15  \\ 
   10  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{10}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{5}}

Ποια από τις δύο εκδοχές αποτελεί τη σωστή λύση και γιατί η άλλη είναι λανθασμένη ;

(Δεν έχω λύση)
Αν σε κάποια φάση έχουν μείνει a καραμέλες στο ένα σακούλι και b στο άλλο ποια είναι η πιθανότητα στην επόμενη κίνηση να πάρει καραμέλα από το πρώτο σακούλι; Η λογική της πρώτης λύσης είναι ότι η πιθανότητα είναι a/(b+a). (Επιλογή καραμέλας ομοιόμορφα στην τύχη.) Η λογική της δεύτερης λύσης είναι ότι η πιθανότητα είναι 1/2. (Επιλογή σακουλιού ομοιόμορφα στην τύχη.) Η εκφώνηση θεωρώ ότι υπονοεί το δεύτερο.

Πάντως όποια κατανομή και να επιλέξουμε καμία από τις λύσεις δεν είναι ορθή. Και η δύο λύσεις αγνοούν το γεγονός ότι η τελευταία καραμέλα επιλέχθηκε από το σακούλι που άδειασε. Οπότε οι σωστές απαντήσεις είναι \displaystyle{ \frac{\binom{10}{9}\binom{10}{5}}{\binom{20}{14}}} στην πρώτη περίπτωση και \displaystyle{ \frac{1}{2^{14}}\binom{14}{9}} στην δεύτερη.
1ος τρόπος
Η λύση \displaystyle{ \frac{\binom{10}{9}\binom{10}{5}}{\binom{20}{14}}} θα ήταν το αποτέλεσμα της Υπεργεωμετρικής κατανομής σε ένα πχ. πρόβλημα "Μια σακούλα περιέχει 10 κόκκινες και 10 πράσινες καραμέλες. Αφού εξάγουμε τυχαία 14 καραμέλες, ποιά η πιθανότητα να έχουν μείνει 5 κόκκινες και 1 πράσινη;"

2ος τρόπος
Η λύση \displaystyle{ \frac{1}{2^{14}}\binom{14}{9}} θα ήταν το αποτέλεσμα σε ένα ανάλογο πρόβλημα "Ρίχνουμε ένα νόμισμα 14 φορές. Ποιά η πιθανότητα να φέρουμε 9 κορώνες και 5 γράμματα;" Άρα αυτός ο τρόπος φαίνεται να είναι ο κατάλληλος για τη λύση της άσκησης. Επιλογή δηλαδή σακουλιού.


Πρέπει να κάνουμε την επιλογή μας. Οικονομία και ελευθερία ή αφθονία και υποτέλεια.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης