socrates έγραψε:Άσκηση 16
Οι παίκτες Α και Β ρίχνουν διαδοχικά δύο συνηθισµένα ζάρια, µέχρις ότου είτε ο Α φέρει πρώτος άθροισµα 9, οπότε το παιχνίδι το κερδίζει ο Α, ή ο Β φέρει πρώτος
άθροισµα 8, οπότε το παιχνίδι το κερδίζει ο Β. Οι ρίψεις ξεκινούν από τον Α. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να κερδίσει ο Α, καθώς και την πιθανότητα να κερδίσει ο Β.
Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι το παιχνίδι θα τελειώσει σε πεπερασμένο πλήθος ρίψεων;
Η πιθανότητα να φέρει ο
άθροισμα
στην ζαριά του είναι
, τέσσερα ευνοικά ενδεχόμενα στα
και η πιθανότητα να μην φέρει άθροισμα
είναι
Η πιθανότητα να φέρει ο
άθροισμα
στην ζαριά του είναι
, πέντε ευνοικά ενδεχόμενα στα
) και η πιθανότητα να μην φέρει άθροισμα
είναι
.
Άρα
και
Δεν θεωρώ σωστό
να ισχυρισθούμε ότι το παιχνίδι θα τελειώσει σε πεπερασμένο πλήθος ρίψεων, γιατί το παιχνίδι μπορεί να παρατείνεται επ' αόριστον με όλο και ελαχιστότερη πιθανότητα βέβαια, καθώς
και
πρoέκυψαν ως όρια ακολουθιών (ή κάπως έτσι διατυπωμένο). Το
πιο πιθανό βέβαια είναι να λήξει σε πεπερασμένο πλήθος ρίψεων.
Προσθέτω αναλυτικό και επεξηγηματικό, για νεότερους που δεν είναι εξοικειωμένοι και παρά το κουραστικό της
latex γραφής, υπολογισμό της πιθανότητας
να κερδίσει ο
αν και ήδη μας είναι γνωστή αφού έχοντας υπολογίσει την πιθανότητα
να κερδίσει ο
καθώς το άθροισμα των οριακών
και
είναι:
Η πιθανότητα να κερδίσει ο
είναι το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων σε κάθε ρίψη των δύο ζαριών.
Έτσι στην
η ρίψη του
στον πρώτο “γύρο” για να κερδίσει πρέπει να έχει χάσει ο
(να μην φέρει άθροισμα
), πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι
και ο ίδιος να φέρει άθροισμα
, με πιθανότητα
, άρα πιθανότητα
.
Για να κερδίσει στην
η ρίψη του πρέπει να έχουν χάσει και οι δύο στις πρώτες ρίψεις τους και ο
να χάσει και στην δεύτερη ρίψη του και ο ίδιος να φέρει άθροισμα
στην δεύτερη ρίψη του, άρα πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι
.
Στον
ο γύρο πρέπει να έχουν χάσει και οι δύο στους δύο πρώτους γύρους, πιθανότητα να συμβεί αυτό
και στον
ο γύρο ο
να χάσει και ο
να κερδίσει, άρα πιθανότητα να συμβεί αυτό
κ.ο.κ ...
Άρα η συνολική πιθανότητα να κερδίσει ο
είναι