ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#281

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Φεβ 23, 2019 9:37 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm


Άσκηση 110
Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο [0, 2017] και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο [0,4034]. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου;
X: αριθμός Γιώργου.

Y: αριθμός Μαρίας.

f_X,f_Y: συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των X και Y, αντίστοιχα.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

\displaystyle \int_{0}^{2017}P(Y>x)f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\left ( \int_{x}^{4034}f_Y(y)dy \right )f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\frac{4034-x}{4034}\cdot \frac{1}{2017}dx=

...=0.75


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#282

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Κυρ Μαρ 10, 2019 11:01 pm

Άσκηση 112

Αν p πρώτος και 0<k<p να αποδειχθεί ότι ο p διαιρεί τον \binom{p}{k}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#283

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 8:31 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm
Άσκηση 109
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού 2012^{2011} αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθούν με το 3;
Είναι 2012=2^2\cdot 503 άρα οι διαιρέτες του 2012^{2011} είναι της μορφής 2^i\cdot 503^j
με i=0,1,2...,4022 και j=0,1,2...2011

Είναι 2^i\cdot 503^j\equiv 2^i\cdot 2^j(mod3)\equiv 2^{i+j}(mod3)

Ισχύει ότι 2^a\equiv 1(mod3) αν a άρτιος και 2^a\equiv 2(mod3) αν a περιττός.
Απόδειξη:
  • Για a=2k είναι 2^a\equiv 2^{2k}\equiv 4^k\equiv 1^k\equiv 1(mod3)
  • Για  a=2k+1 είναι 2^a\equiv 2^{2k+1}\equiv 2\cdot 2^k\equiv 2(mod3)

Άρα για να είναι 2^{i+j}\equiv 1(mod3) αρκεί  i+j άρτιος.
  • Για i άρτιο πρέπει j άρτιος.
    Στο διάστημα \left [ 0,4022 \right ] υπάρχουν \dfrac{4022}{2}+1=2012 άρτιοι.

    Στο διάστημα \left [ 0,2011 \right ] υπάρχουν \dfrac{2011+1}{2}=1006 άρτιοι.

    Άρα προκύπτουν 2012\cdot1006 τέτοιοι διαιρέτες.
  • Για i περιττό πρέπει j περιττός
    Στο διάστημα \left [ 0,4022 \right ] υπάρχουν \dfrac{4022}{2}=2011 περιττοί.

    Στο διάστημα \left [ 0,2011 \right ] υπάρχουν \dfrac{2011+1}{2}=1006 περιττοί.
Άρα συνολικά 2012\cdot 1006+2011\cdot 1006=1006\cdot 4023 διαιρέτες .


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#284

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 12, 2019 3:53 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 9:37 pm
socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm


Άσκηση 110
Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο [0, 2017] και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο [0,4034]. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου;
X: αριθμός Γιώργου.

Y: αριθμός Μαρίας.

f_X,f_Y: συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των X και Y, αντίστοιχα.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

\displaystyle \int_{0}^{2017}P(Y>x)f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\left ( \int_{x}^{4034}f_Y(y)dy \right )f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\frac{4034-x}{4034}\cdot \frac{1}{2017}dx=

...=0.75
Νομίζω το ζητούμενο εδώ ήταν να λυθεί με την ακόλουθη πιο διαισθητική έννοια της πιθανότητας:

Ο αριθμός της Μαρίας έχει 50\% πιθανότητα να ανήκει στο [0,2017] και 50\% πιθανότητα να ανήκει στο [2017,4034]. Στην πρώτη περίπτωση από συμμετρία υπάρχει 50\% πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου. Στη δεύτερη περίπτωση ο αριθμός της Μαρίας είναι σίγουρα μεγαλύτερος από αυτόν του Γιώργου. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι: \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}


gschwindi
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#285

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 pm

Άλλη μία λύση για την 109:

Αρχικά, παρατηρούμε πως 2012^{2011}\equiv 2^{2011}\equiv 2 (mod 3).
Στη συνέχεια, έστω m, n \in \mathbb{N} | mn = 2012^{2011}.
Αφού  mn \equiv 2 (mod 3) , παίρνοντας περιπτώσεις m, n (mod 3) βλέπουμε πως ακριβώς ένας απο αυτούς θα έχει υπόλοιπο 1 και ο άλλος 2 .

Με άλλα λόγια, το πλήθος των διαιρετών με  1 (mod 3) ισούται με το πλήθος των διαιρετών με 2 (mod 3) , αλλιώς θα είχαμε δύο διαιρέτες με  mn = 2012^{2011} \wedge mn \not\equiv 2 (mod 3).

Ο ζητούμενος αριθμός είναι δηλαδή το μισό του πλήθους όλων των διαιρετών του 2012^{2011} και ισούται με

\frac{4023*2012}{2} = 4023*1006.


gschwindi
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#286

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:18 pm

Prødigy έγραψε:
Κυρ Μαρ 10, 2019 11:01 pm
Άσκηση 112

Αν p πρώτος και 0<k<p να αποδειχθεί ότι ο p διαιρεί τον \binom{p}{k}
Είναι \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!} = \frac{p(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1)}{k!}. Αφού (p, k!) = 1 ως αποτέλεσμα της 0 < k < p , θα είναι  k!|(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1). Δηλαδή, p | \frac{p(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1)}{k!}.
Άρα , p|\binom{p}{k}.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#287

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 19, 2019 3:28 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm
Άσκηση 111
Ένας αριθμός ομάδων συμμετείχε σε ένα τουρνουά round-robin, δηλαδή ένα τουρνουά στο οποίο κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μια φορά. Κάθε ομάδα νίκησε σε ακριβώς 10 παιχνίδια και έχασε σε ακριβώς 10 παιχνίδια, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Πόσα σύνολα τριών ομάδων \{A, B, C\} υπάρχουν για τα οποία η A νίκησε την B, η B νίκησε την C και η C νίκησε την A;
Έστω ένας παίκτης A. Θα βρούμε σε πόσα τέτοια σύνολα ανήκει ο A. Έστω \mathcal{B} το σύνολο των 10 παικτών τους οποίους κέρδισε ο A και \mathcal{C} το σύνολο των 10 παικτών οι οποίοι κέρδισαν τον A. Αναγκαστικά σε κάθε τριάδα της πιο πάνω μορφής πρέπει να έχουμε B \in \mathcal{B} και C \in \mathcal{C}. Αρκεί λοιπόν να βρούμε πόσες κατευθυνόμενες ακμές υπάρχουν από το \mathcal{B} στο \mathcal{C}.

Από κάθε παίκτη του \mathcal{B} φεύγουν 10 κατευθυνόμενες ακμές. Συνολικά έχουμε 100 ακμές εκ των οποίων οι \binom{10}{2} = 45 είναι μέσα στο \mathcal{B}. Οι άλλες 55 αναγκαστικά πάνω από το \mathcal{B} στο \mathcal{C}.

Άρα κάθε ένας από τους παίκτες βρίσκεται σε 55 τέτοιες τριάδες και έχουμε συνολικά \frac{21 \cdot 55}{3} = 385 τέτοιες τριάδες.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#288

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 29, 2019 7:37 pm

Σε μια αίθουσα διαγωνίζονται 21 μαθητές , καθισμένοι σε 3 σειρές των 7 θρανίων . Κάποια στιγμή

έχουν μείνει στην αίθουσα 9 μαθητές . Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκονται ανά 3 σε κάθε σειρά ;

Θεωρούμε ότι ο κάθε μαθητής έχει την ίδια πιθανότητα να είναι ο επόμενος που θα αναχωρήσει .


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#289

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 29, 2019 9:56 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 29, 2019 7:37 pm
Σε μια αίθουσα διαγωνίζονται 21 μαθητές , καθισμένοι σε 3 σειρές των 7 θρανίων . Κάποια στιγμή

έχουν μείνει στην αίθουσα 9 μαθητές . Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκονται ανά 3 σε κάθε σειρά ;

Θεωρούμε ότι ο κάθε μαθητής έχει την ίδια πιθανότητα να είναι ο επόμενος που θα αναχωρήσει .
Είναι όσο το πλήθος των διαδρομών από το (7,7,7) έως το (3,3,3) προς το συνολικό πλήθος των διαδρομών που μπορούμε

να ακολουθήσουμε αν κινούμαστε πάνω σε σε σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και σε κάθε κίνηση ελαττώνεται κατά μια

μονάδα μία μόνο συντεταγμένη (θεωρώ δηλαδή ότι δεν υπάρχουν μαζικές αποχωρήσεις).

Το πλήθος των διαδρομών από το (7,7,7) στο (3,3,3) είναι \displaystyle \binom{12}{4}\binom{8}{4}.

Επίσης, το συνολικό πλήθος των διαδρομών είναι \displaystyle \sum \binom{21}{k,l,m} όπου η άθροιση εκτείνεται

σε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των k,l,m με k+l+m=9.

Είναι τώρα \displaystyle \sum \binom{21}{k,l,m}=3^{12} και επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι

\displaystyle \dfrac{\binom{12}{4}\binom{8}{4}}{3^{12}}\approx 0,065.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#290

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 25, 2020 4:56 pm

Άσκηση 112
Βάφουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, ...,20 με δύο χρώματα άσπρο και μαύρο έτσι, ώστε να
χρησιμοποιούνται και τα δύο χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ο
χρωματισμός ώστε το γινόμενο των άσπρων αριθμών και το γινόμενο των μαύρων
αριθμών να έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1;


Άσκηση 113
Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε σε μια γραμμή τους αριθμούς 0,1,2,\dots , 9 έτσι ώστε τόσο οι άρτιοι όσο και οι περιττοί να βρίσκονται σε αύξουσα σειρά;


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#291

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 5:24 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 4:56 pm
Άσκηση 112
Βάφουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, ...,20 με δύο χρώματα άσπρο και μαύρο έτσι, ώστε να
χρησιμοποιούνται και τα δύο χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ο
χρωματισμός ώστε το γινόμενο των άσπρων αριθμών και το γινόμενο των μαύρων
αριθμών να έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1;
Έστω \rm A,M το σύνολο με στοιχεία τους άσπρους και μαύρους αντίστοιχα αριθμούς.
Κάθε δύο αριθμοί με μέγιστο κοινό διαιρέτη διάφορο του 1 θα πρέπει να βρίσκονται στο ίδιο σύνολο.
Έτσι όλοι οι άρτιοι \rm {2,4,6,8,10,12,15,16,18,20} πάνε μαζί.Όμως μαζί τους παίρνουν και τους \rm {3,5,9,15}.
Άρα μένει να μετρήσουμε με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα σύνολα \rm \left \{ 1 \right \},\left \{ 11 \right \},\left \{ 13 \right \},\left \{ 17 \right \},\left \{ 19 \right \},\left \{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20 \right \} στα \rm A,M ώστε \rm \left | A \right |,\left | M \right |\geq 1.
  •  \left\{\begin{matrix} &\rm  \left | A \right |=5 & \\ & \left \rm | M \right | =1& \end{matrix}\right.\rightarrow \dbinom{6}{5}=6 τρόποι.
  • \left\{\begin{matrix} &\rm \left | A \right |=4 & \\ & \rm \left | M \right |=2 & \end{matrix}\right.\rightarrow \dbinom{6}{4}=15 τρόποι.
  • \left\{\begin{matrix} & \rm \left | A \right |=3 & \\ & \rm \left | M \right |=3 & \end{matrix}\right.\rightarrow \dbinom{6}{3}=20 τρόποι
Όμοια και οι υπόλοιπες περιπτώσεις και συνολικά παίρνουμε 6+15+20+15+6=62 τρόποι.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#292

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Δεκ 02, 2020 2:35 am

Άσκηση 114
Ο Κώστας έχει ένα χρηματοκιβώτιο το οποίο ξεκλειδώνει με έναν τριψήφιο αριθμό. Ξέχασε όμως τον αριθμό αυτό. Το μόνο που θυμάται είναι ότι αποτελείται μόνο από περιττά, διαφορετικά μεταξύ τους, ψηφία και ότι διαιρείται με το 3. O μέγιστος αριθμός δοκιμών που μπορεί να κάνει ώστε να ξεκλειδώσει το χρηματοκιβώτιο είναι:


Άσκηση 115
Ρωτήσαμε τα άτομα που παρευρίσκονται σε ένα καφενείο ποιες εφημερίδες διαβάζουν από τις A, B και Γ. Σύμφωνα με τις απαντήσεις τους, κανένας δεν διαβάζει ακριβώς δύο από αυτές, 7 διαβάζουν την Α εφημερίδα, 8 τη Β εφημερίδα, αλλά αυτοί που διαβάζουν μόνο τη Γ εφημερίδα είναι διπλάσιοι από αυτούς που διαβάζουν και τις τρεις. Να βρείτε πόσοι από αυτούς διαβάζουν μόνο μια εφημερίδα.


Θανάσης Κοντογεώργης
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 158
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#293

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Δεκ 02, 2020 11:28 am

socrates έγραψε:
Τετ Δεκ 02, 2020 2:35 am
Άσκηση 114
Ο Κώστας έχει ένα χρηματοκιβώτιο το οποίο ξεκλειδώνει με έναν τριψήφιο αριθμό. Ξέχασε όμως τον αριθμό αυτό. Το μόνο που θυμάται είναι ότι αποτελείται μόνο από περιττά, διαφορετικά μεταξύ τους, ψηφία και ότι διαιρείται με το 3. O μέγιστος αριθμός δοκιμών που μπορεί να κάνει ώστε να ξεκλειδώσει το χρηματοκιβώτιο είναι:
Έστω \overline{abc} ο τριψήφιος με a,b,c περιττούς και 3/a+b+c
Ακόμη το a+b+c είναι περιττός.
Έτσι, δυνατές τιμές a+b+c: 3,9,15,21,27
•Αν a+b+c=3\Leftrightarrow a=b=c=1 αδύνατο διότι a,b,c: διαφορετικοί ανά 2
•Αν a+b+c=9\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,3,5) και όλες οι μεταθέσεις τους*
•Αν a+b+c=15\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,5,9) ή (3,5,7) και όλες οι μεταθέσεις τους*
•Αν a+b+c=21\Leftrightarrow (a,b,c)=(5,7,9) και όλες οι μεταθέσεις τους*
•Αν a+b+c=27\Leftrightarrow a=b=c=9 αδύνατο
*Αποκλείουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις διότι δύο τουλάχιστον ψηφία είναι ίσα
Έτσι έχουμε 4 περιπτώσεις και τις μεταθέσεις τους \Rightarrow 4\cdot 3!=24 το πολύ δοκιμές


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 158
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#294

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Δεκ 02, 2020 11:54 am

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 4:56 pm
Άσκηση 113
Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε σε μια γραμμή τους αριθμούς 0,1,2,\dots , 9 έτσι ώστε τόσο οι άρτιοι όσο και οι περιττοί να βρίσκονται σε αύξουσα σειρά;
Γενικότερα για 2k αριθμούς είναι:
Επιλέγουμε τους k άρτιους και τους τοποθετούμε σε k από τις 2k θέσεις με αύξουσα σειρά με \binom{2k}{k} τρόπους.
Στις άλλες k θέσεις τοποθετούμε σε αύξουσα σειρά τους περιττούς
\Rightarrow \dbinom{2k}{k} τρόποι

Και εδώ: \dbinom{10}{5}=252 τρόπους.


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 158
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#295

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Πέμ Δεκ 03, 2020 12:46 pm

socrates έγραψε:
Τετ Δεκ 02, 2020 2:35 am
Άσκηση 115
Ρωτήσαμε τα άτομα που παρευρίσκονται σε ένα καφενείο ποιες εφημερίδες διαβάζουν από τις A, B και Γ. Σύμφωνα με τις απαντήσεις τους, κανένας δεν διαβάζει ακριβώς δύο από αυτές, 7 διαβάζουν την Α εφημερίδα, 8 τη Β εφημερίδα, αλλά αυτοί που διαβάζουν μόνο τη Γ εφημερίδα είναι διπλάσιοι από αυτούς που διαβάζουν και τις τρεις. Να βρείτε πόσοι από αυτούς διαβάζουν μόνο μια εφημερίδα.
Έστω ότι x άτομα διαβάζουν και τις 3 εφημερίδες
Τότε 2x άτομα διαβάζουν μόνο τη Γ εφημερίδα
Έτσι 7-x διαβάζουν μόνο την Α, 8-x διαβάζουν μόνο τη Β και 2x διαβάζουν μόνο τη Γ
\Rightarrow (7-x)+(8-x)+2x=15 άτομα διαβάζουν από μία εφημερίδα
*Γενικότερα, με όμοιο συλλογισμό, αν a άτομα διαβάζουν την A και b την B, τότε a+b άτομα διαβάζουν από μία εφημερίδα


CyMath
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Φεβ 19, 2021 5:50 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#296

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από CyMath » Σάβ Απρ 17, 2021 9:33 pm

Άσκηση 116

Έχοντας το σύνολο  A=\{1, 2, 3, ... , 29, 30\} (οι φυσικοί αριθμοί από το 1 μέχρι το 30), με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν τρεις διαφορετικοί αριθμοί από το σύνολο A ώστε το άθροισμά τους να είναι δαιρετό με το 3;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#297

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 18, 2021 1:29 am

CyMath έγραψε:
Σάβ Απρ 17, 2021 9:33 pm
Άσκηση 116

Έχοντας το σύνολο  A=\{1, 2, 3, ... , 29, 30\} (οι φυσικοί αριθμοί από το 1 μέχρι το 30), με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν τρεις διαφορετικοί αριθμοί από το σύνολο A ώστε το άθροισμά τους να είναι δαιρετό με το 3;
Δεν είναι σαφές από την εκφώνηση αν οι αναδιατάξεις μιάς τριάδας αριθμών μετράει ως η ίδια επιλογή ή διαφορετική. Π.χ. είναι η 1+2+3= πολ/σιο του 3 ίδια με την 3+2+1; Επιλέγουμε τι μας αρέσει. Ας πούμε ότι αποφασίζουμε να μετρήσουμε τις διατεταγμένες τριάδες (όμοια η άλλη επιλογή).

Οι αριθμοί μόντουλο 3 είναι, κατά σειρά, 1,\,2,\,0,\,1, \,2,\,... \,,\,0 (είναι δέκα από το κάθε είδος). Το άθροισμα τριών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 3 αν και μόνον αν η τριάδα τους είναι της μορφής 0,0,0 ή της 1,1,1 ή της 2,2,2 ή της 0,1,2 (με κάποια σειρά).

Η πρώτη εκδοχή έχει 10\times 9 \times 8 επιλογές. Όμοια οι υπόλοιπες. Το αφήνω ως ρουτίνα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης