Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 15, 2021 1:20 am

Να αποδειχθεί ότι για 0\le \theta \le 30^o , ισχύει \cos 3 \theta \le \cos ^2 2\theta

(ισχύει ακόμα και για \theta μέχρι 90^o αλλά δεν έχει νόημα για το τμήμα από 30^o έως 90^o γιατί το αριστερό μέλος είναι έτσι και αλλιώς αρνητικό).

Ζητώ αποδείξεις κατά προτίμηση χωρίς Απειροστικό, αλλά δεν με ενοχλεί και με Απειροστικό.

H ανισότητα υπάρχει σε ισοδύναμη Γεωμετρική μορφή σε ένα σχήμα με ορθογώνιο τρίγωνο και, για δεύτερη φορά, σε ένα σχήμα με ημικύκλιο στο Αρχαί της Γεωμετρίας του Αρχιμήδη, Προτάσεις 25 και 26, αντίστοιχα. Εδώ την μετέγραψα σε Τριγωνομετρική μορφή. Εννοείται ότι η απόδειξη του Αρχιμήδη είναι καθαρά Γεωμετρική, ούτε με Τριγωνομετρία ούτε, πόσο μάλλον, με Απειροστικό.

Το χειρόγραφο σώζεται μόνο σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση, και δεν έχει εκδοθεί ποτέ στα Ελληνικά πλην ενός μικρού τμήματός του στα Άπαντα του Αρχιμήδη, από τον Σταμάτη, αλλά που δεν περιέχει τις Προτάσεις 25 και 26. (Δυστυχώς είναι συχνό το φαινόμενο να αγνοούμε την πολιτιστική μας κληρονομιά, και έχω πάμπολα οδυνηρά παραδείγματα εντός και εκτός Μαθηματικών).

Έχω μία θεωρία για τον λόγο που ασχολήθηκε ο Αρχιμήδης με την εν λόγω ανισότητα αλλά δεν είναι της ώρας. Πάντως ο λόγος δεν φαίνεται από το χειρόγραφο, γιατί ούτε το σωζώμενο αραβικό δεν είναι το πλήρες κείμενο, αλλά μόνο τμήμα του. Έχω όμως ισχυρά επιχειρήματα από τα συμφραζόμενα για το "πού το πάει ο Αρχιμήδης", αλλά προς το παρόν πρόκειται για εν εξελίξει έρευνά μου. Ελπίζω κάποτε να την ολοκληρώσω και ανακοινώσω.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Ιαν 15, 2021 10:27 am

Έστω \cos \theta=x τότε:
\cos^2 2\theta=(2x^2-1)^2=4x^4-4x^2+1
\cos 3\theta=4x^3-3x
Αρκεί να δειχθεί ότι:
4x^4-4x^3-4x^2+3x+1\geq 0
\Leftrightarrow 4x^3(x-1)-4x(x-1)-(x-1)\geq 0
\Leftrightarrow (x-1)(4x^3-4x-1)\geq 0
Αλλά 0<\cos \theta=x\leq 1 έτσι x-1\leq 0 και x^3\leq x\Rightarrow 4x^3-4x-1<0
\Rightarrow \cos 3\theta\leq cos^2 2\theta


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2278
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Ιαν 19, 2021 1:34 pm

Θετω \displaystyle{A=cosx\le 1,t=cos(2x)}
Αρκεί
\displaystyle{cos(3x)=A(4A^2-3)=A(4(t+1)/2)-3)=A(2t-1)\le t^2} ή \displaystyle{t^2-2At+A\ge 0 } που ισχύει αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι μη θε
ική
H ισοτητα ισχυει για \displaystyle{A=t=1} ή \displaystyle{x=0}


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4341
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Ιαν 26, 2021 3:45 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 1:20 am
Να αποδειχθεί ότι για 0\le \theta \le 30^o , ισχύει \cos 3 \theta \le \cos ^2 2\theta

(ισχύει ακόμα και για \theta μέχρι 90^o αλλά δεν έχει νόημα για το τμήμα από 30^o έως 90^o γιατί το αριστερό μέλος είναι έτσι και αλλιώς αρνητικό).

Ζητώ αποδείξεις κατά προτίμηση χωρίς Απειροστικό, αλλά δεν με ενοχλεί και με Απειροστικό.

H ανισότητα υπάρχει σε ισοδύναμη Γεωμετρική μορφή σε ένα σχήμα με ορθογώνιο τρίγωνο και, για δεύτερη φορά, σε ένα σχήμα με ημικύκλιο στο Αρχαί της Γεωμετρίας του Αρχιμήδη, Προτάσεις 25 και 26, αντίστοιχα. Εδώ την μετέγραψα σε Τριγωνομετρική μορφή. Εννοείται ότι η απόδειξη του Αρχιμήδη είναι καθαρά Γεωμετρική, ούτε με Τριγωνομετρία ούτε, πόσο μάλλον, με Απειροστικό.

Το χειρόγραφο σώζεται μόνο σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση, και δεν έχει εκδοθεί ποτέ στα Ελληνικά πλην ενός μικρού τμήματός του στα Άπαντα του Αρχιμήδη, από τον Σταμάτη, αλλά που δεν περιέχει τις Προτάσεις 25 και 26. (Δυστυχώς είναι συχνό το φαινόμενο να αγνοούμε την πολιτιστική μας κληρονομιά, και έχω πάμπολα οδυνηρά παραδείγματα εντός και εκτός Μαθηματικών).

Έχω μία θεωρία για τον λόγο που ασχολήθηκε ο Αρχιμήδης με την εν λόγω ανισότητα αλλά δεν είναι της ώρας. Πάντως ο λόγος δεν φαίνεται από το χειρόγραφο, γιατί ούτε το σωζώμενο αραβικό δεν είναι το πλήρες κείμενο, αλλά μόνο τμήμα του. Έχω όμως ισχυρά επιχειρήματα από τα συμφραζόμενα για το "πού το πάει ο Αρχιμήδης", αλλά προς το παρόν πρόκειται για εν εξελίξει έρευνά μου. Ελπίζω κάποτε να την ολοκληρώσω και ανακοινώσω.
Γεια σας.
Μιχάλη προσπάθησα, χάριν γούστου, να συνθέσω μια αμιγώς γεωμετρική απόδειξη. Την γράφω:

Θεωρούμε το ορθογώνιο στο Q, PQR με την γωνία Q να είναι  3 \theta. Θέλουμε \frac{a}{c}\leq \left( \frac{a}{b}\right) ^{2} ή ισοδύναμα \frac{b}{c}\leq \frac{a}{b}.
Φέρνουμε SL ώστε \widehat{LSP}=\theta και από τα όμοια RSQ και QSM έχουμε:
\frac{b}{c}=\frac{d}{b}
Επομένως αν δείξουμε ότι d<a έχουμε τελειώσει.
Πράγματι b>a και από το θεώρημα των διχοτόμων έχουμε ότι x<y και επομένως το μέσο της SP είναι μεταξύ των N,S. Αλλά τότε από τις πλάγιες z,u μεγαλύτερη είναι η u που συνεπάγεται ότι \varphi >\theta .
Τότε \omega =\sigma +\varphi =\theta +90^{\circ }-3\theta +\theta +\varphi =90^{\circ }+\left( \varphi -\theta \right) >90^{\circ } και επομένως από το τρίγωνο PQM έχουμε d<a.
20210126.png
20210126.png (45.26 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Τετ Ιαν 27, 2021 2:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Βελτίωση σχήματος


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5591
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιαν 27, 2021 11:56 am

Ας δούμε και την Γεωμετρική άποψη που ακολουθεί:

Στο σχήμα που βλέπουμε θεωρούμε ως Q το σημείο τομής των χορδών AZ, LH του κύκλου k.
Αν P η τομή των ZA, SL, τότε εύκολα, και με την συνδρομή του ρόμβου EZSL, έχουμε \angle ZPS = {90^ \circ }.
Έτσι καταλήγουμε \displaystyle{\vartriangle KFS \sim \vartriangle KQH,\;KS \geqslant KP \geqslant KQ \Rightarrow KF \geqslant KH,} οπότε παίρνουμε \displaystyle{2KF \geqslant 2KH \Rightarrow \frac{{K{S^2}}}{4} \geqslant \frac{{KH}}{2} \Rightarrow {\cos ^2}2\theta  \geqslant \cos 3\theta .}
ΜΛ.png
ΜΛ.png (76.36 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης