Αρρητότητα του π^2

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Αρρητότητα του π^2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 10, 2020 10:04 pm

Έστω \displaystyle{\mathrm{P}(x) = \frac{1}{(2n)!} x^{2n} \left ( \pi - x \right )^{2n}} . Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J}_n = \int_{0}^{\pi} \mathrm{P}(x) \sin x \, \mathrm{d}x}
Να εκφραστεί το παραπάνω ολοκλήρωμα ως γραμμικός συνδυασμός των 1, \pi^2, \pi^4 , \dots, \pi^{2n} πάνω από το \mathbb{Z} και στη συνέχεια να συμπεράνετε ότι ο \pi^2 είναι άρρητος.


Δεν έχω λύση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αρρητότητα του π^2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 11, 2020 1:00 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 10:04 pm
Έστω \displaystyle{\mathrm{P}(x) = \frac{1}{(2n)!} x^{2n} \left ( \pi - x \right )^{2n}} . Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J}_n = \int_{0}^{\pi} \mathrm{P}(x) \sin x \, \mathrm{d}x}
Να εκφραστεί το παραπάνω ολοκλήρωμα ως γραμμικός συνδυασμός των 1, \pi^2, \pi^4 , \dots, \pi^{2n} πάνω από το \mathbb{Z} και στη συνέχεια να συμπεράνετε ότι ο \pi^2 είναι άρρητος.


Δεν έχω λύση.
Η ιδέα είναι του Ivan Niven.
Ελαφρά τροποποιημένη(για τους τύπους,στην ουσία ίδια)
βρίσκεται στο Mathematical Analysis Tom Apostol.
Είναι η άσκηση 7.33.
Εκεί έχει τα βήματα που πρέπει να γίνουν.
Τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται είναι σχολικά.

Αν θελει κάποιος λεπτομέρειες της απόδειξης τότε δεν έχει να πάει στον Spivak
Κεφάλαιο 16 .
Εκει είναι αναλυτικά γραμμένη.
Και έτσι γραμμένη ώστε να είναι σχολική.

Συμπλήρωμα.
Οποιος δεν έχει Apostol η Spivak πάει σε αυτό

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_tha ... irrational

εχει την απόδειξη του Niven και μερικές ακόμα.

Συμπλήρωμα 2.
Δεν νομίζω ότι είναι στον σωστό φάκελο.
Μάλλον για Ανάλυση είναι.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αρρητότητα του π^2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 11, 2020 2:21 am

Δε κατάλαβα τίποτα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αρρητότητα του π^2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 11, 2020 11:40 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 11, 2020 2:21 am
Δε κατάλαβα τίποτα.
Δεν καταλαβαίνω τι δεν κατάλαβες.
Αν πας στον Spivak κεφάλαιο 16 σελ 274
θα δεις την απόδειξη που πιο αναλυτικά δεν γίνεται.
Απλώς εκεί θεωρεί την συνάρτηση στο [0,1].
Μια αλλαγή μεταβλητής είναι.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αρρητότητα του π^2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 11, 2020 3:36 pm

Σταύρο δεν έχω τον Spivak και το link που άνοιξα στην απόδειξη του Niven δε τη κατάλαβα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης