ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#281

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Φεβ 23, 2019 9:37 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm


Άσκηση 110
Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο [0, 2017] και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο [0,4034]. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου;
X: αριθμός Γιώργου.

Y: αριθμός Μαρίας.

f_X,f_Y: συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των X και Y, αντίστοιχα.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

\displaystyle \int_{0}^{2017}P(Y>x)f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\left ( \int_{x}^{4034}f_Y(y)dy \right )f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\frac{4034-x}{4034}\cdot \frac{1}{2017}dx=

...=0.75


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#282

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Κυρ Μαρ 10, 2019 11:01 pm

Άσκηση 112

Αν p πρώτος και 0<k<p να αποδειχθεί ότι ο p διαιρεί τον \binom{p}{k}


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#283

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 8:31 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm
Άσκηση 109
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού 2012^{2011} αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθούν με το 3;
Είναι 2012=2^2\cdot 503 άρα οι διαιρέτες του 2012^{2011} είναι της μορφής 2^i\cdot 503^j
με i=0,1,2...,4022 και j=0,1,2...2011

Είναι 2^i\cdot 503^j\equiv 2^i\cdot 2^j(mod3)\equiv 2^{i+j}(mod3)

Ισχύει ότι 2^a\equiv 1(mod3) αν a άρτιος και 2^a\equiv 2(mod3) αν a περιττός.
Απόδειξη:
  • Για a=2k είναι 2^a\equiv 2^{2k}\equiv 4^k\equiv 1^k\equiv 1(mod3)
  • Για  a=2k+1 είναι 2^a\equiv 2^{2k+1}\equiv 2\cdot 2^k\equiv 2(mod3)

Άρα για να είναι 2^{i+j}\equiv 1(mod3) αρκεί  i+j άρτιος.
  • Για i άρτιο πρέπει j άρτιος.
    Στο διάστημα \left [ 0,4022 \right ] υπάρχουν \dfrac{4022}{2}+1=2012 άρτιοι.

    Στο διάστημα \left [ 0,2011 \right ] υπάρχουν \dfrac{2011+1}{2}=1006 άρτιοι.

    Άρα προκύπτουν 2012\cdot1006 τέτοιοι διαιρέτες.
  • Για i περιττό πρέπει j περιττός
    Στο διάστημα \left [ 0,4022 \right ] υπάρχουν \dfrac{4022}{2}=2011 περιττοί.

    Στο διάστημα \left [ 0,2011 \right ] υπάρχουν \dfrac{2011+1}{2}=1006 περιττοί.
Άρα συνολικά 2012\cdot 1006+2011\cdot 1006=1006\cdot 4023 διαιρέτες .


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8039
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#284

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 12, 2019 3:53 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 9:37 pm
socrates έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm


Άσκηση 110
Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο [0, 2017] και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο [0,4034]. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου;
X: αριθμός Γιώργου.

Y: αριθμός Μαρίας.

f_X,f_Y: συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των X και Y, αντίστοιχα.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

\displaystyle \int_{0}^{2017}P(Y>x)f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\left ( \int_{x}^{4034}f_Y(y)dy \right )f_X(x)dx= \int_{0}^{2017}\frac{4034-x}{4034}\cdot \frac{1}{2017}dx=

...=0.75
Νομίζω το ζητούμενο εδώ ήταν να λυθεί με την ακόλουθη πιο διαισθητική έννοια της πιθανότητας:

Ο αριθμός της Μαρίας έχει 50\% πιθανότητα να ανήκει στο [0,2017] και 50\% πιθανότητα να ανήκει στο [2017,4034]. Στην πρώτη περίπτωση από συμμετρία υπάρχει 50\% πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου. Στη δεύτερη περίπτωση ο αριθμός της Μαρίας είναι σίγουρα μεγαλύτερος από αυτόν του Γιώργου. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι: \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}


gschwindi
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#285

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 pm

Άλλη μία λύση για την 109:

Αρχικά, παρατηρούμε πως 2012^{2011}\equiv 2^{2011}\equiv 2 (mod 3).
Στη συνέχεια, έστω m, n \in \mathbb{N} | mn = 2012^{2011}.
Αφού  mn \equiv 2 (mod 3) , παίρνοντας περιπτώσεις m, n (mod 3) βλέπουμε πως ακριβώς ένας απο αυτούς θα έχει υπόλοιπο 1 και ο άλλος 2 .

Με άλλα λόγια, το πλήθος των διαιρετών με  1 (mod 3) ισούται με το πλήθος των διαιρετών με 2 (mod 3) , αλλιώς θα είχαμε δύο διαιρέτες με  mn = 2012^{2011} \wedge mn \not\equiv 2 (mod 3).

Ο ζητούμενος αριθμός είναι δηλαδή το μισό του πλήθους όλων των διαιρετών του 2012^{2011} και ισούται με

\frac{4023*2012}{2} = 4023*1006.


gschwindi
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#286

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:18 pm

Prødigy έγραψε:
Κυρ Μαρ 10, 2019 11:01 pm
Άσκηση 112

Αν p πρώτος και 0<k<p να αποδειχθεί ότι ο p διαιρεί τον \binom{p}{k}
Είναι \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!} = \frac{p(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1)}{k!}. Αφού (p, k!) = 1 ως αποτέλεσμα της 0 < k < p , θα είναι  k!|(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1). Δηλαδή, p | \frac{p(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1)}{k!}.
Άρα , p|\binom{p}{k}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης