Τα 7 λυμένα δύσκολα προβλήματα (ανακεφαλαίωση)

[Mihalis_Lambrou]

Στο λινκ εδώ υπάρχει ένα άρθρο που αναφέρεται σε δύσκολα κλασικά προβλήματα των Μαθηματικών που τώρα έχουν επιλυθεί. Πρόκειται για τα

Εικασία Pioncare,

Θεώρημα των πρώτων αριθμών,

Τελευταίο Θεώρημα του Fermat,

Ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών Ομάδων,

Το Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων,

Το Θεώρημα μη πληρότητας του Godel,

Η περιοχή βοσκής της κατσίκας.

Όλα είχαν απασχολήσει για δεκαετίες ή αιώνες τους Μαθηματικούς. Αποδείχθηκαν σκληρά καρύδια, αλλά τώρα η απάντηση είναι γνωστή, αν και προσιτή μόνο στους ειδικούς. Οι λύτες γράφονται με χρυσά γράμματα στην Ιστορία των Μαθηματικών.

[mick7]

Επιτρέψτε μου μια προσωπική ερώτηση κ.Λάμπρου. Έχετε ασχοληθεί με κάποια από αυτά τα προβλήματα εννοώ να τα λύσετε...Η τα θεωρείτε ιδιαίτερα απαιτητικά και οι καταστάσεις (εργασία, οικογένεια...) δε σας άφηναν αρκετό χρόνο για απασχόλησή μαζί τους ;
Η τελικά υπάρχει ένα 'μαθηματικό ταβάνι' για όλους;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων και φυσικά αν θέλετε απαντάτε.

[Mihalis_Lambrou]

Έχετε ασχοληθεί με κάποια από αυτά τα προβλήματα εννοώ να τα λύσετε...

Με τα συγκεκριμένα προβλήματα δεν έχω ασχοληθεί. Είναι άλλωστε έξω από την εμβέλειά μου αλλά και από τα ενδιαφέροντά μου. Έχω όμως ασχοληθεί με προβλήματα του κλάδου μου (Συναρτησιακή Ανάλυση) που είναι για πολλά χρόνια ανοικτά και σίγουρα η λύση τους, στο κοντινό ή μακρινό μέλλον, θα αποδειχθεί ιδιαίτερα απαιτητική. Σίγουρα πάντως, από την εποχή του Διδακτορικού μου και πέρα, όπως σε όλα τα αξιοπρεπή Διαδακτορικά, ασχολήθηκα επιτυχώς με κάποια ανοικτά, εκείνη την εποχή, προβλήματα της ερευνητικής μου περιοχής. Εννοείται, όχι του επιπέδου των παραπάνω επτά προβλημάτων.

Ο κάθε Μαθηματικός πρέπει να ασχοληθεί (και) με σχετικά δύσκολα προβλήματα. Καλή ώρα, όταν ήμουν μαθητής προσπαθούσα να τετραγωνίσω τον κύκλο και να τριχοτομήσω την γωνία παρ' όλο που ο Μαθηματικός μου με διαβεβαίωνε ότι δεν γίνεται. Εννοείται ότι δεν τα κατάφερα μεν, αλλά έμεινα κερδισμένος από την ενασχόληση. Έμεινε ο ενθουσιασμός για τα Μαθηματικά και οι γνώσεις που απέκτησα ψάχνοντας την λύση.

[stranger]

Είναι κάπως άστοχη η επιλογή των συγκεκριμένων προβλημάτων.
ΟΚ για την εικασία του Poincare και την ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων, όμως το να βάζεις το θεώρημα των πρώτων αριθμών και να παραλείπεις την τριαδική εικασία του Goldbach είναι κάπως περίεργο.
Μπορώ να αναφέρω και άλλα σημαντικά λυμένα προβλήματα που έμειναν έξω.
Παρόλαυτα, τέτοια άρθρα καλό είναι να υπάρχουν για να φέρουν σε επαφή τον μη ειδικό με τα μαθηματικά και να δημιουργήσουν εικόνες και εντυπώσεις.

[mick7]

Ευχαριστώ που μπήκατε στον κόπο να μου απαντήσετε κ. Μιχάλη.

Βασικά ήθελα (αξιοποιώντας και την εμπειρία σας) να διαπιστώσω αν υπάρχει απάντηση στο ερώτημα 'Γεννιέσαι Andrew Wiles η γίνεσαι...;'

Σχετικά παραθέτω μια συζήτηση ===> https://mathwithbaddrawings.com/2015/04 ... ng-point/

ΥΓ...Κάντε το θα είχε ενδιαφέρον...

Μπορώ να αναφέρω και άλλα σημαντικά λυμένα προβλήματα που έμειναν έξω.

[stranger]

Ευχαριστώ που μπήκατε στον κόπο να μου απαντήσετε κ. Μιχάλη.

Βασικά ήθελα (αξιοποιώντας και την εμπειρία σας) να διαπιστώσω αν υπάρχει απάντηση στο ερώτημα 'Γεννιέσαι Andrew Wiles η γίνεσαι...;'

Σχετικά παραθέτω μια συζήτηση ===> https://mathwithbaddrawings.com/2015/04 ... ng-point/

ΥΓ...Κάντε το θα είχε ενδιαφέρον...

Μπορώ να αναφέρω και άλλα σημαντικά λυμένα προβλήματα που έμειναν έξω.

Ας πουμε εικασία του Catalan, εικασία Taniyama-Simura, το θεώρημα του Zhang για τα prime gaps...
Αν σκεφτώ και άλλα θα επανέλθω.

[Mihalis_Lambrou]

Αν σκεφτώ και άλλα θα επανέλθω.

Μα είναι ΧΙΛΙΑΔΕΣ αυτά τα προβλήματα. Όλα τα Μαθηματικά πορεύτηκαν ανά τους αιώνες με την διατύπωση δύσκολων προβλημάτων/εικασιών τα οποία αργά ή γρήγορα λύθηκαν θετικά ή αρνητικά, ενώ άλλα παραμένουν ανοικτά.

Από τα κλασικά προβλήματα έχουμε (γράφω από μνήμης)

- Αποδεικνύεται το αίτημα των παραλλήλων από τα άλλα αξιώματα; (όχι, Bolya, Lobatchevsky).
- Γίνεται τριχοτόμηση γωνίας με κανόνα και διαβήτη; Διπλασιασμός κύβου; (όχι, Wantzel).
- Ποια κανονικά πολύγωνα κατασκευάζονται; (Gauss)
- Υπάρχει συγκεκριμένος υπερβατικός αριθμός; (ναι, Liouville)
- Είναι ο υπερβατικός; (ναι, Lindemann), Eίναι o υπερβατικός; (ναι, Hermit).
- Έχουν όλες οι πολυωνυμικές εξισώσεις ρίζα; (ναι, διάφοροι).
- Επιλύεται με ριζικά κάθε πεμπτοβάθμια; (όχι, διάφοροι). Πότε επιλύεται μία πολυωνυμική; (Galois)

Τα 23 προβλήματα του Hilbert εμπίπτουν σε αυτή βτην κατηγορία. Π.χ. διαμερίζεται ο μοναδιαίος κύβος σε μοναδιαία κανονική πυραμίδα; (όχι, Dehn). Μπορούμε να αποφανθούμε αν μία διαφαντική εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις (όχι, Matiyasevich), Τι ισχύει για την υποθεση του συνεχούς στους πληθάριθμους; (Zermelo-Fraenkel), Είναι ο υπερβατικός για αλγεβρικό, άρρητο; (ναι, Gelfond, Schneider), Ανάλυση θετικής ρητής συνάρτησης ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων (ναι, Artin), και πολλά άλλα.

To Scotish Cafe Book έχει πάνω από 100 τέτοια προβλήματα στην Ανάλυση και Τοπολογία, τα περισσότερα από τα οποία λύθηκαν θετικά ή αρνητικά.

Σε ΚΑΘΕ κλάδο υπάρχουν δεκάδες προβλήματα εικασίες, συχνά διατυπωμένα από κορυφαίους Μαθηματικούς, που απασχόλησαν τις επόμενες γενεές. Στον κλαδο μου της Συναρτησιακής Ανάλυσης έχουμε (πρόχειρα σκεπτόμενος)

- Έχει κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach μία βάση Schauder; (όχι, Enflo).
- Ισχύει η Bounded Αpproximation Property; Η Metric Approximation Property; (όχι).
- Yπάρχει χώρος Banach όπου όλοι οι τελεστές είναι συμπαγείς συν πολλαπλάσια του μοναδιαίου; (ναι, Αργυρός, Haydon) .

Δεν έχει τέλος ο κατάλογος. Τα παραπάνω μου ερχόντουσαν στον νου ταχύτερα από ότι μπορούσα να γράψω, και άφησα έξω μέγα αριθμό λόγω του προχωρημένου της ώρας.

[stranger]

Αν σκεφτώ και άλλα θα επανέλθω.

Μα είναι ΧΙΛΙΑΔΕΣ αυτά τα προβλήματα. Όλα τα Μαθηματικά πορεύτηκαν ανά τους αιώνες με την διατύπωση δύσκολων προβλημάτων/εικασιών τα οποία αργά ή γρήγορα λύθηκαν θετικά ή αρνητικά, ενώ άλλα παραμένουν ανοικτά.

Από τα κλασικά προβλήματα έχουμε (γράφω από μνήμης)

- Αποδεικνύεται το αίτημα των παραλλήλων από τα άλλα αξιώματα; (όχι, Bolya, Lobatchevsky).
- Γίνεται τριχοτόμηση γωνίας με κανόνα και διαβήτη; Διπλασιασμός κύβου; (όχι, Wantzel).
- Ποια κανονικά πολύγωνα κατασκευάζονται; (Gauss)
- Υπάρχει συγκεκριμένος υπερβατικός αριθμός; (ναι, Liouville)
- Είναι ο υπερβατικός; (ναι, Lindemann), Eίναι o υπερβατικός; (ναι, Hermit).
- Έχουν όλες οι πολυωνυμικές εξισώσεις ρίζα; (ναι, διάφοροι).
- Επιλύεται με ριζικά κάθε πεμπτοβάθμια; (όχι, διάφοροι). Πότε επιλύεται μία πολυωνυμική; (Galois)

Τα 23 προβλήματα του Hilbert εμπίπτουν σε αυτή βτην κατηγορία. Π.χ. διαμερίζεται ο μοναδιαίος κύβος σε μοναδιαία κανονική πυραμίδα; (όχι, Dehn). Μπορούμε να αποφανθούμε αν μία διαφαντική εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις (όχι, Matiyasevich), Τι ισχύει για την υποθεση του συνεχούς στους πληθάριθμους; (Zermelo-Fraenkel), Είναι ο υπερβατικός για αλγεβρικό, άρρητο; (ναι, Gelfond, Schneider), Ανάλυση θετικής ρητής συνάρτησης ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων (ναι, Artin), και πολλά άλλα.

To Scotish Cafe Book έχει πάνω από 100 τέτοια προβλήματα στην Ανάλυση και Τοπολογία, τα περισσότερα από τα οποία λύθηκαν θετικά ή αρνητικά.

Σε ΚΑΘΕ κλάδο υπάρχουν δεκάδες προβλήματα εικασίες, συχνά διατυπωμένα από κορυφαίους Μαθηματικούς, που απασχόλησαν τις επόμενες γενεές. Στον κλαδο μου της Συναρτησιακής Ανάλυσης έχουμε (πρόχειρα σκεπτόμενος)

- Έχει κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach μία βάση Schauder; (όχι, Enflo).
- Ισχύει η Bounded Αpproximation Property; Η Metric Approximation Property; (όχι).
- Yπάρχει χώρος Banach όπου όλοι οι τελεστές είναι συμπαγείς συν πολλαπλάσια του μοναδιαίου; (ναι, Αργυρός, Haydon) .

Δεν έχει τέλος ο κατάλογος. Τα παραπάνω μου ερχόντουσαν στον νου ταχύτερα από ότι μπορούσα να γράψω, και άφησα έξω μέγα αριθμό λόγω του προχωρημένου της ώρας.

Ναι βεβαίως είναι χιλιάδες αλλά εγώ αναφερόμουνα κυρίως σε προβλήματα κορυφαία που αξίζουν να μπουν σε έναν κατάλογο με τα πιο δύσκολα και σημαντικά λυμένα προβλήματα των μαθηματικών όπως αναφέρει το άρθρο.
Νομίζω ότι θα συμφωνούσατε και εσείς ότι για παράδειγμα η υπερβατικότητα του δεν μπορεί να συμπεριληφθεί σε έναν τέτοιο κατάλογο.
Κυρίως αν κρίνουμε ως προς τη δυσκολία της απόδειξης.
Αυτό που ήθελα να πω με την αρχική μου δημοσίευση είναι ότι στο συγκεκριμένο άρθρο η επιλογή είναι κάπως ανισομερής.
Για παράδειγμα δεν μπορεί να συγκριθεί ως προς τη δυσκολία η εικασία του Poincare με το θεώρημα των πρώτων αριθμών.

[Mihalis_Lambrou]

Ναι βεβαίως είναι χιλιάδες αλλά εγώ αναφερόμουνα κυρίως σε προβλήματα κορυφαία που αξίζουν να μπουν σε έναν κατάλογο με τα πιο δύσκολα και σημαντικά λυμένα προβλήματα των μαθηματικών όπως αναφέρει το άρθρο.
Νομίζω ότι θα συμφωνούσατε και εσείς ότι για παράδειγμα η υπερβατικότητα του δεν μπορεί να συμπεριληφθεί σε έναν τέτοιο κατάλογο.
Κυρίως αν κρίνουμε ως προς τη δυσκολία της απόδειξης.
Αυτό που ήθελα να πω με την αρχική μου δημοσίευση είναι ότι στο συγκεκριμένο άρθρο η επιλογή είναι κάπως ανισομερής.
Για παράδειγμα δεν μπορεί να συγκριθεί ως προς τη δυσκολία η εικασία του Poincare με το θεώρημα των πρώτων αριθμών.

Συμφωνώ με αυτά που γράφεις. Αναφέρω τα παραπάνω με εφαλτήριο ότι καταγράφεις την εικασία Catalan (σημαντικό και δύσκολο πρόβλημα, δεν λέω) το οποίο είναι στο ίδιο ή σε μικρότερο επιπεδο δυσκολίας από πολλά από αυτά που αναφέρω. Πρέπει άλλωστε να βλέπει κανείς και την εποχή που λύθηκε η εκάστοτε εικασία. Θέλω να πω ότι όταν αποδείχθηκε η υπερβατικότητα του ή του , τα εργαλεία που είχε διαθέσιμα τότε η Μαθηματική κοινότητα ήταν λίγα. Η απόδειξη του αποτελέσματος από τον Lindemann και τον Hermit απαιτούσε νέα οπτική και πρωτόγνωρα, τότε, τεχνάσματα. Το δε αποτέλεσμα ήταν βαθύτερο και σημαντικότερο από επίλυση της Catalan από τον Mihailescu. Και σίγουρα το πρόβλημα της βάσης χώρων Banach υπερβαίνει κατά πολύ τόσο σε δυσκολία όσο σε βάθος την εικασία Catalan.

[stranger]

Ναι συμφωνούμε.

[mick7]

Τελικά υπάρχει λίστα έτοιμη στο Wikipedia. Μια που το έκανα pdf το δίνω και παρακάτω.

https://www.docdroid.net/o2XCzXp/list-o ... matics-pdf

[Mihalis_Lambrou]

Τελικά υπάρχει λίστα έτοιμη στο Wikipedia. Μια που το έκανα pdf το δίνω και παρακάτω.

https://www.docdroid.net/o2XCzXp/list-o ... matics-pdf

Πάρα πολύ χρήσιμο το κείμενο που μας παρέθεσες, και σε ευχαριστούμε θερμά, αλλά δεν ρωτάμε αυτό. Θέλουμε τα ΛΥΜΕΝΑ προβλήματα που κάποτε ήσαν ανοικτά και αποδείχθηκαν σκληρά καρύδια, όπως το τελευταίο θεώρημα του Fermat κατά Wiles. O κατάλογος που μας παραθέτεις είναι αυτά που παραμένουν ακόμα ΑΛΥΤΑ.

[mick7]

Υπάρχει στην σελίδα 22 μια παράγραφος με τίτλο 'Problems solved since 1995'.
Βέβαια αν κάποιος δεν ανήκει στην επιστημονική/ερευνητική κοινότητα είναι λίγο δύσκολο να παρακολουθεί τις λύσεις που προτείνονται για αυτόν τον όγκο των προβλημάτων. Πχ απαιτεί πρόσβαση σε συνέδρια , ερευνητικά περιοδικά τα οποία κοστίζουν 'an arm and a leg' όπως λένε και οι φίλοι μας οι Βρετανοί.

Πάρα πολύ χρήσιμο το κείμενο που μας παρέθεσες, και σε ευχαριστούμε θερμά, αλλά δεν ρωτάμε αυτό. Θέλουμε τα ΛΥΜΕΝΑ προβλήματα που κάποτε ήσαν ανοικτά και αποδείχθηκαν σκληρά καρύδια, όπως το τελευταίο θεώρημα του Fermat κατά Wiles. O κατάλογος που μας παραθέτεις είναι αυτά που παραμένουν ακόμα ΑΛΥΤΑ.

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχει στην σελίδα 22 μια παράγραφος με τίτλο 'Problems solved since 1995'.

Ευχαριστούμε θερμότατα.

[gbaloglou]

Τελικά υπάρχει λίστα έτοιμη στο Wikipedia. Μια που το έκανα pdf το δίνω και παρακάτω.

https://www.docdroid.net/o2XCzXp/list-o ... matics-pdf

Λείπει το πρόβλημα της Απεριοδικής Μονοψηφίδας, που λύθηκε φέτος και παρουσίασα κάπως εδώ.

Κατά ευτυχή σύμπτωση, μόλις τον περασμένο μήνα τέθηκε (από έναν εκ των τεσσάρων λυτών) στην Tiling List το ερώτημα "πότε ακριβώς τέθηκε και από ποιον το ερώτημα ύπαρξης απεριοδικής μονοψηφίδας". Από την συζήτηση προέκυψαν δύο απαντήσεις:

(Ι) Το 1978 από τον Roger Penrose, δημιουργό των απεριοδικών διψηφίδων (kites and darts κλπ), εδώ, όπου γράφει "It is not known whether there is a single shape that can tile the Euclidean plane only non-periodically".

(ΙΙ) Έναν περίπου χρόνο πριν από τον Martin Gardner, Scientific American , Vol. 236, No. 1 (January 1977), pp. 110-121, όπου γράφει "Of course, the major unsolved problem is whether there is a single shape that will tile the plane only nonperiodically".