Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
nrokopanos
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 01, 2022 8:26 pm
Τοποθεσία: Καρλόβασι, Σάμος
Επικοινωνία:

Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nrokopanos » Τρί Νοέμ 01, 2022 11:08 pm

Καλησπέρα αγαπητοί φίλοι, διαβάζοντας το «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου Α» του Αρχιμήδη παρατήρησα ότι χρησιμοποιείται κάποια στιγμή μια ανισότητα εμβαδών άνευ απόδειξης (στην απόδειξη της Πρότασης 9). Πιο συγκεκριμένα: σε έναν ισοσκελή κώνο ΔΑΒΓ (με κορυφή το Δ και βάση τον κύκλο ΑΒΓ) αν το Β είναι το μέσο του τόξου ΑΓ τότε ∣BΔΓ∣+∣ΔBA∣>∣AΔΓ|. Υπάρχει άραγε αμιγώς γεωμετρική απόδειξη; Έχω δει μια που είναι λίγο τριγωνομετρική, ο Αρχιμήδης όμως πώς να το απέδειξε;
Συνημμένα
Archimedes.png
Archimedes.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 3851 φορές


ν.ρ.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Νοέμ 01, 2022 11:55 pm

Μήπως απλά το σκέφτηκε 'ολοκληρωτικά' ο Αρχιμήδης, 'κατά λωρίδες' (B'\Gamma '+ B'A'> \Gamma 'A');


κατά-λωρίδες.png
κατά-λωρίδες.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 3840 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
nrokopanos
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 01, 2022 8:26 pm
Τοποθεσία: Καρλόβασι, Σάμος
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nrokopanos » Τετ Νοέμ 02, 2022 8:18 pm

Χμ... δεν ξέρω, προβληματίζομαι με την ολοκλήρωση. Σίγουρα ισχύει; Κάτι πιο καθαρά γεωμετρικό είναι το ζητούμενο...


ν.ρ.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Νοέμ 02, 2022 10:30 pm

nrokopanos έγραψε:
Τετ Νοέμ 02, 2022 8:18 pm
Χμ... δεν ξέρω, προβληματίζομαι με την ολοκλήρωση. Σίγουρα ισχύει; Κάτι πιο καθαρά γεωμετρικό είναι το ζητούμενο...
Το θέμα είναι πως το σκέφθηκε ο Αρχιμήδης, ακόμη και αν η σκέψη του δεν ήταν 100% δικαιολογημένη ή ακόμη και 100% σωστή. Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης, η οποία (όπως και η ανισότητα) ανάγεται νομίζω στην εξής ενδιαφέρουσα γενίκευση της τριγωνικής ανισότητας:

Έστω τρίγωνο AB\Gamma και σημείο \Delta εκτός του επιπέδου του προβαλλόμενο σε σημείο \Delta' εσωτερικό του AB\Gamma. Αν A', B', \Gamma' οι προβολές του \Delta' επί των B\Gamma, A\Gamma, AB, αντίστοιχα, και αν \alpha, \beta, \gamma οι γωνίες ανάμεσα στην \Delta \Delta' και στις \Delta A', \Delta B', \Delta \Gamma', αντίστοιχα, τότε ισχύει η ανισότητα

\dfrac{a}{cos\alpha}+\dfrac{c}{cos\gamma}>\dfrac{b}{cos\beta}.

Ισχύει αυτή η γενίκευση (που ξεπερνάει σε γενικότητα τον ισχυρισμό του Αρχιμήδη*); ΟΧΙ, καθώς αν για παράδειγμα το AB\Gamma είναι ορθογώνιο στο B και το \Delta προβάλλεται στο B, τότε A'=\Gamma'=B, \alpha=\gamma=0^0 ... ενώ η \beta πλησιάζει τις 90^0 αν το \Delta πλησιάζει στο B, κλπ

*δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "ισοσκελής κώνος"

τέσσερα-ύψη.png
τέσσερα-ύψη.png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 3718 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1818
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 03, 2022 12:06 am

gbaloglou έγραψε:
Τετ Νοέμ 02, 2022 10:30 pm

*δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "ισοσκελής κώνος"
Ορθός κώνος, είναι η σύγχρονη ορολογία. Ισοσκελής, επειδή η τομή του με επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του είναι ισοσκελές τρίγωνο.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 03, 2022 8:25 am

gbaloglou έγραψε:
Τετ Νοέμ 02, 2022 10:30 pm
nrokopanos έγραψε:
Τετ Νοέμ 02, 2022 8:18 pm
Χμ... δεν ξέρω, προβληματίζομαι με την ολοκλήρωση. Σίγουρα ισχύει; Κάτι πιο καθαρά γεωμετρικό είναι το ζητούμενο...
Το θέμα είναι πως το σκέφθηκε ο Αρχιμήδης, ακόμη και αν η σκέψη του δεν ήταν 100% δικαιολογημένη ή ακόμη και 100% σωστή. Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης, η οποία (όπως και η ανισότητα) ανάγεται νομίζω στην εξής ενδιαφέρουσα γενίκευση της τριγωνικής ανισότητας:

Έστω τρίγωνο AB\Gamma και σημείο \Delta εκτός του επιπέδου του προβαλλόμενο σε σημείο \Delta' εσωτερικό του AB\Gamma. Αν A', B', \Gamma' οι προβολές του \Delta' επί των B\Gamma, A\Gamma, AB, αντίστοιχα, και αν \alpha, \beta, \gamma οι γωνίες ανάμεσα στην \Delta \Delta' και στις \Delta A', \Delta B', \Delta \Gamma', αντίστοιχα, τότε ισχύει η ανισότητα

\dfrac{a}{cos\alpha}+\dfrac{c}{cos\gamma}>\dfrac{b}{cos\beta}.

Ισχύει αυτή η γενίκευση (που ξεπερνάει σε γενικότητα τον ισχυρισμό του Αρχιμήδη*); ΟΧΙ, καθώς αν για παράδειγμα το AB\Gamma είναι ορθογώνιο στο B και το \Delta προβάλλεται στο B, τότε A'=\Gamma'=B, \alpha=\gamma=0^0 ... ενώ η \beta πλησιάζει τις 90^0 αν το \Delta πλησιάζει στο B, κλπ

*δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "ισοσκελής κώνος"


τέσσερα-ύψη.png
Ύστερα από την περί ορθού κώνου διευκρίνηση του Αλέξανδρου (#5) ... το \Delta' ταυτίζεται πλέον με το περίκεντρο O του AB\Gamma ... και η παραπάνω προτεινόμενη ανισότητα πιθανώς ισχύει ... αλλά μάλλον δεν θα έχω χρόνο να την δω σήμερα.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Antonis Tsolomitis
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:21 pm

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Tsolomitis » Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:43 pm

Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης
Ε, δεν νομίζω καθόλου ότι αυτό μπορεί να ισχύει. Μιλάμε για τεράστιο μαθηματικό, ίσως τον μεγαλύτερο όλων. Δεν κάνει τέτοια λάθη. Και ως προς το συγκεκριμένο υπάρχει και απόδειξη: την ανισότητα τη θέλει για να αποδείξει ότι αν κοπεί ο κώνος από επίπεδο που περνάει από την κορυφή του, το τρίγωνο στο οποίο τον τέμνει, έχει μικρότερο εμβαδό από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου που απέκοψε είτε στην κυρτή είτε στη μη κυρτή πλευρά.

Αν είχε σκεφτεί το ολοκλήρωμα (που είναι και λάθος), θα το έκανε κατευθείαν χωρίς αυτό το βήμα. Δηλαδή θα έλεγε ότι σε κάθε τομή του κώνου με οριζόντιο επίπεδο η χορδή που σχηματίζεται από το τρίγωνο ΑΓΔ είναι μικρότερη από οποιοδήποτε από τα δύο τόξα του κύκλου, και ολοκληρώνοντας θα έπαιρνε το ζητούμενο.

Αλλά ο Αρχιμήδης τέτοια λάθη δεν κάνει. Βασικά δεν κάνει λάθη. Και είναι πολύ περίεργο που οι σχολιαστές του (από όσο είδα) δεν μπαίνουν στον κόπο να σχολιάσουν το συγκεκριμένο σημείο. Είτε προκύπτει άμεσα από κάποια πρόταση από αλλού που δεν κατάφερα να βρω, είτε δεν είναι καθόλου προφανής και σε στυλ ίδιο με των σημερινών Fields Medalists, δεν έχει κανένα ενδιαφέρον να εξηγήσει κάτι που για το δικό του μυαλό είναι απλό. Σου λέει, κάτσε και ψάξου, ισχύει.

Το ολοκλήρωμα πάντως είναι λάθος. Αν θεωρήσεις το επίπεδο που διέρχεται από τη χορδή ΑΓ και είναι παράλληλο στην Δ'Δ και προβάλεις σε αυτό κάθετα το τρίγωνο ΑΓΔ, τότε το νέο αυτό τρίγωνο έχει τις ίδιες οριζόντιες τομές με το ΑΓΔ. Οπότε το ολοκλήρωμα ποιανού το εμβαδό υπολογίζει; Η σωστή απάντηση είναι ότι υπολογίζει το εμβαδό της προβολής και άρα όχι του ΑΓΔ (εφόσον η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο Δ'Δ). ΑΝ η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο ύψος του ΑΓΔ τότε θα πάρεις το εμβαδόν του αλλά όχι το εμβαδόν των άλλων δύο τριγώνων.

Προσωπικά συνεχίζω να το κοιτάω. Με λίγη τριγωνομετρία βγαίνει, άρα είναι οπωσδήποτε σωστό και δεν τίθεται θέμα ορθότητας. Το θέμα είναι αν βγαίνει με σκέτα γεωμετρικά επιχειρήματα.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 03, 2022 6:18 pm

Antonis Tsolomitis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:43 pm
Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης
Ε, δεν νομίζω καθόλου ότι αυτό μπορεί να ισχύει. Μιλάμε για τεράστιο μαθηματικό, ίσως τον μεγαλύτερο όλων. Δεν κάνει τέτοια λάθη. Και ως προς το συγκεκριμένο υπάρχει και απόδειξη: την ανισότητα τη θέλει για να αποδείξει ότι αν κοπεί ο κώνος από επίπεδο που περνάει από την κορυφή του, το τρίγωνο στο οποίο τον τέμνει, έχει μικρότερο εμβαδό από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου που απέκοψε είτε στην κυρτή είτε στη μη κυρτή πλευρά.

Αν είχε σκεφτεί το ολοκλήρωμα (που είναι και λάθος), θα το έκανε κατευθείαν χωρίς αυτό το βήμα. Δηλαδή θα έλεγε ότι σε κάθε τομή του κώνου με οριζόντιο επίπεδο η χορδή που σχηματίζεται από το τρίγωνο ΑΓΔ είναι μικρότερη από οποιοδήποτε από τα δύο τόξα του κύκλου, και ολοκληρώνοντας θα έπαιρνε το ζητούμενο.

Αλλά ο Αρχιμήδης τέτοια λάθη δεν κάνει. Βασικά δεν κάνει λάθη. Και είναι πολύ περίεργο που οι σχολιαστές του (από όσο είδα) δεν μπαίνουν στον κόπο να σχολιάσουν το συγκεκριμένο σημείο. Είτε προκύπτει άμεσα από κάποια πρόταση από αλλού που δεν κατάφερα να βρω, είτε δεν είναι καθόλου προφανής και σε στυλ ίδιο με των σημερινών Fields Medalists, δεν έχει κανένα ενδιαφέρον να εξηγήσει κάτι που για το δικό του μυαλό είναι απλό. Σου λέει, κάτσε και ψάξου, ισχύει.

Το ολοκλήρωμα πάντως είναι λάθος. Αν θεωρήσεις το επίπεδο που διέρχεται από τη χορδή ΑΓ και είναι παράλληλο στην Δ'Δ και προβάλεις σε αυτό κάθετα το τρίγωνο ΑΓΔ, τότε το νέο αυτό τρίγωνο έχει τις ίδιες οριζόντιες τομές με το ΑΓΔ. Οπότε το ολοκλήρωμα ποιανού το εμβαδό υπολογίζει; Η σωστή απάντηση είναι ότι υπολογίζει το εμβαδό της προβολής και άρα όχι του ΑΓΔ (εφόσον η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο Δ'Δ). ΑΝ η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο ύψος του ΑΓΔ τότε θα πάρεις το εμβαδόν του αλλά όχι το εμβαδόν των άλλων δύο τριγώνων.

Προσωπικά συνεχίζω να το κοιτάω. Με λίγη τριγωνομετρία βγαίνει, άρα είναι οπωσδήποτε σωστό και δεν τίθεται θέμα ορθότητας. Το θέμα είναι αν βγαίνει με σκέτα γεωμετρικά επιχειρήματα.
Συμφωνώ γενικά με τα παραπάνω. Δεν γνωρίζω τον ακριβή τρόπο προσέγγισης της έννοιας του ολοκληρώματος από τον Αρχιμήδη, οπότε δεν μπορώ ούτε να επιχειρηματολογήσω ιδιαίτερα υπέρ της αρχικής μου εικασίας (#2) ούτε να αποκλείσω αυτό που έγραψα περί "βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης" (#4). Πάντως ουδείς αλάνθαστος, ούτε καν ο Αρχιμήδης, και αν όντως η παρούσα ανισότητα προκύπτει από κάτι άλλο που έγραψε, κάποιος ιστορικός θα το είχε πιθανώς επισημάνει. (Αφήνει συχνά ο Αρχιμήδης τέτοιου επιπέδου κενά; Αν ναι, εντάξει, αν όχι ... όλα είναι δυνατά!)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1818
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 03, 2022 10:41 pm

Έστω O το κέντρο της βάσης του κώνου, M το μέσο του AC και L το μέσο του BC. Αρκεί να εξετάσουμε τα εμβαδά των τριγώνων DBC και DCM. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

i) OM \leq OL

τότε θα είναι DM \leq DL και για τα εμβαδά θα έχουμε

2(DCM) = DM \cdot MC \leq DL \cdot MC < DL \cdot BC = 2(DBC) , (αφού BC > MC, υποτείνουσα το πρώτο τμήμα και κάθετη πλευρά το δεύτερο στο ορθογώνιο τρίγωνο MBC.)

Άρα (DCM) < (DBC).


ii) OM > OL

τότε θα είναι DM > DL. Επίσης ισχύουν οι DM < DB=DC. Επομένως θα υπάρχει εσωτερικό του τμήματος LB, έστω το K, για το οποίο θα ισχύει DK=DM. (To DLB είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την L.)

Επειδή OM > OL, θα είναι MC > LC. Άρα θα υπάρχει εσωτερικό σημείο του τμήματος LC, έστω το N, για το οποίο CM=CN. Έστω P το σημείο τομής των τμημάτων DN και CH όπου CH το ύψος του τριγώνου DKC από την κορυφή C. Τα τμήματα αυτά τέμνονται επειδή η γωνία \angle BCD είναι οξεία στο ισοσκελές τρίγωνο DBC.

Το τρίγωνο NPC είναι αμβλυγώνιο στη γωνία N, άρα CP > CN=CM. Επομένως για τα εμβαδά των τριγώνων έχουμε

2(DBC) > 2(DKC) = DK \cdot CH = DM \cdot CH > DM \cdot PC > DM \cdot DM \cdot NC =

DM \cdot CM =2(DCM)

Άρα (DCM) < (DBC) και στην δεύτερη περίπτωση.

geogebra-export.png
geogebra-export.png (299.27 KiB) Προβλήθηκε 3554 φορές


Antonis Tsolomitis
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:21 pm

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Tsolomitis » Παρ Νοέμ 04, 2022 12:35 pm

Ωραιότατο! :clap2:

Αυτό δείχνει να είναι σωστό.

Το ότι όλοι κάνουν λάθη δεν ισχύει για την περίπτωση Αρχιμήδη, Στοιχείων κλπ. Γιατί αυτά τα κείμενα τα έχουν δει χιλιάδες μάτια μέχρι την Υπατία. Αν υπήρχε σφάλμα θα είχε επισημανθεί.


kkala
Δημοσιεύσεις: 226
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Νοέμ 04, 2022 1:43 pm

Antonis Tsolomitis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:43 pm
(βλ. #7 )
Αλλά ο Αρχιμήδης τέτοια λάθη δεν κάνει. Βασικά δεν κάνει λάθη. Και είναι πολύ περίεργο που οι σχολιαστές του (από όσο είδα) δεν μπαίνουν στον κόπο να σχολιάσουν το συγκεκριμένο σημείο. Είτε προκύπτει άμεσα από κάποια πρόταση από αλλού που δεν κατάφερα να βρω, είτε δεν είναι καθόλου προφανής και σε στυλ ίδιο με των σημερινών Fields Medalists, δεν έχει κανένα ενδιαφέρον να εξηγήσει κάτι που για το δικό του μυαλό είναι απλό. Σου λέει, κάτσε και ψάξου, ισχύει.

Ίσως είναι χρήσιμο κάτι που διάβασα πριν πολλά χρόνια για τον Αρχιμήδη, ότι δηλαδή συνηθίζει να αναφέρει προτάσεις χωρίς απόδειξη (ή επεξήγηση?) αν έχουν αποδειχθεί προηγουμένως από άλλους. Και τούτο μάλιστα χρησιμοποιήθηκε στην κριτική, για να εκτιμηθεί πότε γράφτηκαν κάποια βιβλία ανάλογα με τη διατύπωση τέτοιων προτάσεων στα βιβλία του.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Άβαταρ μέλους
nrokopanos
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 01, 2022 8:26 pm
Τοποθεσία: Καρλόβασι, Σάμος
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nrokopanos » Παρ Νοέμ 04, 2022 2:45 pm

Σούπερ καταπληκτική η γεωμετρική απόδειξη! Αυτή ναι φαίνεται απόλυτα ταιριαστή στο πλαίσιο της εποχής. Οπωσδήποτε σας ευχαριστώ για το ξεσκότισμα!

Να ευχαριστήσω και όλο το forum για τον χρόνο που διέθεσε για αυτήν την ανισότητα.

Επίσης να συμπληρώσω ότι είμαι και εγώ της άποψης ότι ο Αρχιμήδης δεν έχει κάνει λάθη (όπως και ο Ευκλείδης, τυπογραφικά λάθη ίσως έχουν κάνει οι γραφείς) ενώ αξίζει να αναφερθεί ότι και στο «Κύκλου Μέτρησις» ο Αρχιμήδης δεν δικαιολογεί τα πάντα. Σε άλλες παρόμοιες περιπτώσεις όμως ο Σταμάτης κάνει τις αποδείξεις στις επεξηγήσεις που έπονται. Σε αυτήν την περίπτωση όμως δεν υπήρχε κάτι ούτε εκεί.


ν.ρ.
Antonis Tsolomitis
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:21 pm

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Tsolomitis » Παρ Νοέμ 04, 2022 3:57 pm

Νομίζω ότι η παραπάνω απόδειξη απλοποιείται. Η «ανακάλυψη» του σημείου Κ περιττεύει. Μπορείς άμεσα να πεις ότι DB>DM και να δείξεις μετά εντελώς όμοια ότι το ύψος του DCB είναι μεγαλύτερο από το CM. Έτσι η απόδειξη γίνεται αρκετά γρηγορότερα και με απλούστερο σχήμα.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2359
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Νοέμ 05, 2022 8:04 pm

nrokopanos έγραψε:
Τρί Νοέμ 01, 2022 11:08 pm
Καλησπέρα αγαπητοί φίλοι, διαβάζοντας το «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου Α» του Αρχιμήδη παρατήρησα ότι χρησιμοποιείται κάποια στιγμή μια ανισότητα εμβαδών άνευ απόδειξης (στην απόδειξη της Πρότασης 9). Πιο συγκεκριμένα: σε έναν ισοσκελή κώνο ΔΑΒΓ (με κορυφή το Δ και βάση τον κύκλο ΑΒΓ) αν το Β είναι το μέσο του τόξου ΑΓ τότε ∣BΔΓ∣+∣ΔBA∣>∣AΔΓ|. Υπάρχει άραγε αμιγώς γεωμετρική απόδειξη; Έχω δει μια που είναι λίγο τριγωνομετρική, ο Αρχιμήδης όμως πώς να το απέδειξε;
gbaloglou έγραψε:
Τρί Νοέμ 01, 2022 11:55 pm
Μήπως απλά το σκέφτηκε 'ολοκληρωτικά' ο Αρχιμήδης, 'κατά λωρίδες' (B'\Gamma '+ B'A'> \Gamma 'A');
Καλησπέρα....

Γιώργο, χωρίς να έχω διαβάσει όλο το κείμενο αυτό του Αρχιμήδη, πιστεύω ότι το μεγάλο αυτό πνεύμα της Ελληνικής αρχαιότητας χρησιμοποιεί την ανισότητα αυτή σκεφτόμενος όπως εσύ υποστηρίζεις, δηλαδή "ολοκληρωτικά".
Είναι αλήθεια ότι ο Αρχιμήδης είναι ο αρχικός εμπνευστής και θεμελιωτής της μεθόδου της εξάντλησης (méthode d`exhaustion) η οποία κατά τον
17ο αιώνα αναπτύχθηκε ως μέθοδος των αδιαιρέτων από τον Bonaventura Cavalieri καθώς και από τους Gilles Personne de Roverbal και Evagelista Torriceli κι ακόμα από τον Blaise Pascal.
Τελικά κατά το 18ο αιώνα η μέθοδος αυτή κατέληξε στο Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό από τους Leibnitz και Newton.

Βελτιώνω "κατά τι" το σχήμα σου και αναφέρομαι στο ακόλουθο:
Αρχή Cavalieri 1.png
Αρχή Cavalieri 1.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 3394 φορές
Σύμφωνα με την αρχή αυτή και σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα, τα αδιαίρετα τμήματα:

(κίτρινο) + (θαλασσί) \displaystyle{\geq} (πράσινο) (1)

Αθροίζοντας τέτοια αδιαίρετα τμήματα έχουμε το ακόλουθο σχήμα:
Αρχή Cavalieri 2.png
Αρχή Cavalieri 2.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 3394 φορές
αυτό σημαίνει:

(κίτρινο τραπέζιο)+(θαλασσί τραπέζιο) \displaystyle{\geq} (πράσινο τραπέζιο) (2)

Συνεχίζοντες μέχρι την κορυφή του ορθού κώνου καταλήγουμε όμοια:

(κίτρινη έδρα)+(θαλασσί έδρα)\displaystyle{ \geq} (πράσινη έδρα) (3)

Δεν είναι εύκολα για μας να ισχυριστούμε τί είχε στο μυαλό του ο μεγάλος Αρχιμήδης και πώς αντιμετώπιζε

την πρόταση αυτή.....

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 06, 2022 11:00 pm

Κώστα πιθανώς ναι, αν και υπάρχουν προβλήματα στην ολοκληρω(μα)τική προσέγγιση λόγω κλίσεων -- δεν γνωρίζω πόσο είχε εισχωρήσει στην καινούργια για την ανθρωπότητα έννοια ο Αρχιμήδης για να του είναι ορατά αυτά τα προβλήματα... [Επίσης δεν γνωρίζω αν χρησιμοποίησε ολοκλήρωση ο Αρχιμήδης σε άλλα προβλήματα όπου δεν ήταν 'επιβεβλημένο'...]

Σε κάθε περίπτωση, ιδού μία άλλη γεωμετρική προσέγγιση για την περίπτωση που η βάση AB\Gamma είναι οξυγώνια:

Αρκεί να δειχθεί η (\Delta B\Gamma )<(\Delta M\Gamma ). Εφόσον οι έδρες \Delta B\Gamma, \Delta M\Gamma έχουν κοινή την πλεuρά \Delta \Gamma, αρκεί να δειχθεί η ανισότητα MM''<BB'' για τα αντίστοιχα ύψη. Παρατηρούμε εδώ ότι οι BB'', MM'' είναι υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων B'BB'', M'MM'', όπου B', M' οι προβολές των B, M επί της προβολής \Gamma \Delta' ((ημι)διαμέτρου) της \Gamma \Delta. Παρατηρούμε επίσης ότι ισχύουν οι M'M''<B'B'' (από όμοια τρίγωνα \Gamma M'M'', \Gamma B'B'' και \Gamma M'<\Gamma B') και MM'<BB' (από όμοια τρίγωνα \Delta'M'M, \Delta'B'B και \Delta'M<\Delta'B), άρα MM''<BB''.

[Αν η βάση AB\Gamma είναι αμβλυγώνια δεν ισχύει πλέον η MM'<BB' και τα πράγματα περιπλέκονται -- δεν γνωρίζω αν στην πρόταση του Αρχιμήδη η βάση υποτίθεται εξ αρχής οξυγώνια και δεν έχω ελέγξει αν η απόδειξη του Αλέξανδρου (με ή χωρίς την τροποποίηση του Αντώνη) ισχύει και για την περίπτωση αμβλυγώνιας βάσης, έχω όμως αναλυτική απόδειξη που ελπίζω να ελέγξω και παρουσιάσω σύντομα.]


Αρχιμήδου-κάθετοι.png
Αρχιμήδου-κάθετοι.png (24.36 KiB) Προβλήθηκε 3317 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1818
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 07, 2022 11:59 am

gbaloglou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 06, 2022 11:00 pm
Κώστα πιθανώς ναι, αν και υπάρχουν προβλήματα στην ολοκληρω(μα)τική προσέγγιση λόγω κλίσεων -- δεν γνωρίζω πόσο είχε εισχωρήσει στην καινούργια για την ανθρωπότητα έννοια ο Αρχιμήδης για να του είναι ορατά αυτά τα προβλήματα... [Επίσης δεν γνωρίζω αν χρησιμοποίησε ολοκλήρωση ο Αρχιμήδης σε άλλα προβλήματα όπου δεν ήταν 'επιβεβλημένο'...]
Ναι αυτή η προσέγγιση είναι προβληματική γιατί τα τραπέζια που προκύπτουν δεν έχουν το ίδιο ύψος ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η τριγωνική ανισότητα έτσι άμεσα. Θέλει δηλαδή μελέτη για το αν ισχύει "(κίτρινο τραπέζιο)+(θαλασσί τραπέζιο) \displaystyle{\geq} (πράσινο τραπέζιο) (2)" στη δημοσίευση του κ.Κώστα παραπάνω. Ακόμα και αν είχαν το ίδιο ύψος πάλι το πέρασμα στο "οριο" δεν είναι προφανές και θέλει δουλειά για να δείξουμε οτι η οριακή ακολουθία συγκλίνει.
-- δεν γνωρίζω αν στην πρόταση του Αρχιμήδη η βάση υποτίθεται εξ αρχής οξυγώνια και δεν έχω ελέγξει αν η απόδειξη του Αλέξανδρου (με ή χωρίς την τροποποίηση του Αντώνη) ισχύει και για την περίπτωση αμβλυγώνιας βάσης, έχω όμως αναλυτική απόδειξη που ελπίζω να ελέγξω και παρουσιάσω σύντομα.]
Η απόδειξή μου είναι γενική για ορθή τριγωνική πυραμίδα με βάση ισοσκελές τρίγωνο (οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο) η παρατήρηση του κ.Αντώνη είναι για συντομία και πλεονασμό που έκανα στην απόδειξη (τον ευχαριστώ για την παρατήρηση). Οι δυο περιπτώσεις που αναφέρομαι στην ουσία έχουν να κάνουν με το αν οι προσκήμενες γωνίες στο ισοσκελές τρίγωνο της βάσης είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες των 60^0. Οι αρχικές μου σκέψεις ήταν να ενοποιήσω κάπως τις δύο περιτώσεις και έτσι έμειναν κάποια περιττά σημεία.

Ο Αρχιμήδης δε νομίζω να είχε κάτι ολοκληρωματικό κατά νου στο συγκεκριμένο κομμάτι της πρότασης. Κάθως όντως είναι απλό το απότελεσμα. Πιθανόν θα παραλείπεται επειδή θα εμφανίζεται κάιτι παρόμοιο με απόδειξη αλλού ή σε έργα άλλων μαθηματικών της εποχής.

Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.


Όσο αναφορά αν κάνει λάθη ο Αρχιμήδης, στο συγκεκριμένο δεν κάνει, αλλά δεν θα ήμουν αφοριστικός, λάθη μπορεί να κάνουν όλοι. Ένα πρόσφατο παράδειγμα που διάβασα: Στο βιβλίο Geometry And Imagination των Hilbert και Cohn-Vossen αναφέρεται, "Έτσι μπορεί να δειχθεί, ότι στο ελλειψοειδές τριών αξόνων οι μοναδικές κλειστές μη αυτοτεμνόμενες γεοδεσιακές είναι οι τρεις ελλείψεις, που προκύπτουν απο την τομή αυτής της επιφάνειας με τα τρία επίπεδα συμμετρίας του".

Την ίδια εκτίμηση μάλιστα είχαν και οι Poincare, Lyusternik, Schnirelmann, Urysohn... Παρόλα αυτά έχει δειχθεί ότι υπάρχουν και άλλες γεοδεσιακές με τις παραπάνω ιδίοτητες σε ένα ελλειψοειδές.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 07, 2022 1:27 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2022 11:59 am
Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.
Για γενική τριγωνική πυραμίδα σίγουρα όχι: το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι μία πυραμίδα μικρού ύψους όπου η κορυφή \Delta προβάλλεται στο B, οπότε το εμβαδόν της έδρας \Delta A\Gamma είναι περίπου ίσο προς το εμβαδόν του τριγώνου BA\Gamma, ενώ τα εμβαδά των εδρών \Delta AB και \Delta A\Gamma όσο μικρά θέλουμε. (Βλέπε και #4 παραπάνω.)

Για ορθή τριγωνική πυραμίδα, πυραμίδα δηλαδή που η κορυφή της \Delta προβάλλεται στο κέντρο του περίκυκλου της βάσης της, η απάντηση φαίνεται να είναι θετική: ήδη η απόδειξη μου (#15) νομίζω ότι επεκτείνεται και στην περίπτωση μη ισοσκελούς βάσης BA\Gamma, αρκεί το περίκεντρο \Delta' να είναι εσωτερικό σημείο του BA\Gamma^ θα δω τι μπορώ να κάνω, με αναλυτικά μέσα μάλλον, και στην περίπτωση που αυτό δεν συμβαίνει.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Antonis Tsolomitis
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 03, 2022 2:21 pm

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Tsolomitis » Δευ Νοέμ 07, 2022 2:22 pm

Όσο αναφορά αν κάνει λάθη ο Αρχιμήδης, στο συγκεκριμένο δεν κάνει, αλλά δεν θα ήμουν αφοριστικός, λάθη μπορεί να κάνουν όλοι.
Προφανώς. Ποιος μπορεί να διαφωνήσει σε μια γενική διατύπωση «όλοι κάνουν λάθη». Αλλά εδώ κανείς πρέπει είτε να βγάλει τον Αρχιμήδη από το ιστορικό πλαίσιο που τον περιβάλλει είτε να καταπιεί ότι στα 700-800 χρόνια που πέρασαν από τον Αρχιμήδη μέχρι την Υπατία, με τα Μαθηματικά να είναι σε έντονη εξέλιξη, κανείς δεν είδε το υποτιθέμενο σφάλμα.

Αυτό είναι που δεν καταπίνεται εύκολα. Ειδικώς όταν ξέρεις ότι στους παπύρους άλλων, πχ Ευκλείδης, υπάρχουν κάποια ελάχιστα σημεία που υπήρξαν προσπάθειες διόρθωσης (είτε του Ευκλείδη, είτε και πιθανότερο του προηγούμενου παπύρου, δηλαδή του αντιγραφέα).

Γενικώς, το να λες «έχει κάνει λάθος ο Ευκλείδης», ο Αρχιμήδης ή ο Εύδοξος, πρέπει να λέγεται με μεγάλη περίσκεψη και τεράστια συστολή. Εντάξει όλοι μπορεί να κάνουν λάθος, αλλά με όλο τον σεβασμό στον Poincare, μη συγκρίνουμε τώρα ανόμοια μεγέθη. Να συγκρίνουμε τον Αρχιμήδη με τον Gauss, ΟΚ. Ούτε ο Poincare δεν θα δεχόταν τέτοια σύγκριση. Καταλαβαίνω ότι το γράψατε ως παράδειγμα για τον Poincare. Εντάξει. Αλλά μετά τον Αρχιμήδη ακολούθησαν 7-8 αιώνες ελέγχου.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 07, 2022 11:21 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2022 1:27 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2022 11:59 am
Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.
Για γενική τριγωνική πυραμίδα σίγουρα όχι: το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι μία πυραμίδα μικρού ύψους όπου η κορυφή \Delta προβάλλεται στο B, οπότε το εμβαδόν της έδρας \Delta A\Gamma είναι περίπου ίσο προς το εμβαδόν του τριγώνου BA\Gamma, ενώ τα εμβαδά των εδρών \Delta AB και \Delta A\Gamma όσο μικρά θέλουμε. (Βλέπε και #4 παραπάνω.)

Για ορθή τριγωνική πυραμίδα, πυραμίδα δηλαδή που η κορυφή της \Delta προβάλλεται στο κέντρο του περίκυκλου της βάσης της, η απάντηση φαίνεται να είναι θετική: ήδη η απόδειξη μου (#15) νομίζω ότι επεκτείνεται και στην περίπτωση μη ισοσκελούς βάσης BA\Gamma, αρκεί το περίκεντρο \Delta' να είναι εσωτερικό σημείο του BA\Gamma^ θα δω τι μπορώ να κάνω, με αναλυτικά μέσα μάλλον, και στην περίπτωση που αυτό δεν συμβαίνει.
Μία ημιτελής προσπάθεια: περνώντας σε συντεταγμένες και θέτοντας A=(a,b,0), B=(c,d,0), \Gamma=(-a,b,0), \Delta=(0,0,h), όπου a^2+b^2=c^2+d^2=1, προκύπτει -- μέσω υπολογισμού εμβαδών με χρήση εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων -- ότι η επιθυμητή ανισότητα εμβαδών είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα

2a\sqrt{h^2+b^2}<\sqrt{2(1+ac-bd)h^2+(ad+bc)^2}+\sqrt{2(1-ac-bd)h^2+(ad-bc)^2}.

Στην περίπτωση της ισοσκελούς βάσης, c=0 & d=1, η ανισότητα αυτή ανάγεται άμεσα στην προφανώς ισχύουσα (1-b)^2h^2+b^4>0. Στην γενική περίπτωση τα πράγματα φαίνονται αρκετά ως πολύ δυσκολότερα, ακόμη και στην 'επίπεδη' περίπτωση h=0 η ανισότητα ανάγεται, μέσω a=cos\theta, b=sin\theta, c=cos\phi, d=sin\phi, στην ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος τριγωνομετρική ανισότητα

sin2\theta\leq |sin(\theta+\phi)|+|sin(\theta-\phi)|.

H ανισότητα αυτή ισχύει αλλά προς το παρόν δεν έχω απόδειξη, και βεβαίως τα πράγματα μπλέκουν πιο πολύ για h>0, ίσως κάτι να γίνεται με παραγώγους, θα δούμε (ίσως)...


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Νοέμ 08, 2022 7:47 am

gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2022 11:21 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2022 1:27 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2022 11:59 am
Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.
Για γενική τριγωνική πυραμίδα σίγουρα όχι: το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι μία πυραμίδα μικρού ύψους όπου η κορυφή \Delta προβάλλεται στο B, οπότε το εμβαδόν της έδρας \Delta A\Gamma είναι περίπου ίσο προς το εμβαδόν του τριγώνου BA\Gamma, ενώ τα εμβαδά των εδρών \Delta AB και \Delta A\Gamma όσο μικρά θέλουμε. (Βλέπε και #4 παραπάνω.)

Για ορθή τριγωνική πυραμίδα, πυραμίδα δηλαδή που η κορυφή της \Delta προβάλλεται στο κέντρο του περίκυκλου της βάσης της, η απάντηση φαίνεται να είναι θετική: ήδη η απόδειξη μου (#15) νομίζω ότι επεκτείνεται και στην περίπτωση μη ισοσκελούς βάσης BA\Gamma, αρκεί το περίκεντρο \Delta' να είναι εσωτερικό σημείο του BA\Gamma^ θα δω τι μπορώ να κάνω, με αναλυτικά μέσα μάλλον, και στην περίπτωση που αυτό δεν συμβαίνει.
Μία ημιτελής προσπάθεια: περνώντας σε συντεταγμένες και θέτοντας A=(a,b,0), B=(c,d,0), \Gamma=(-a,b,0), \Delta=(0,0,h), όπου a^2+b^2=c^2+d^2=1, προκύπτει -- μέσω υπολογισμού εμβαδών με χρήση εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων -- ότι η επιθυμητή ανισότητα εμβαδών είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα

2a\sqrt{h^2+b^2}<\sqrt{2(1+ac-bd)h^2+(ad+bc)^2}+\sqrt{2(1-ac-bd)h^2+(ad-bc)^2}.

Στην περίπτωση της ισοσκελούς βάσης, c=0 & d=1, η ανισότητα αυτή ανάγεται άμεσα στην προφανώς ισχύουσα (1-b)^2h^2+b^4>0. Στην γενική περίπτωση τα πράγματα φαίνονται αρκετά ως πολύ δυσκολότερα, ακόμη και στην 'επίπεδη' περίπτωση h=0 η ανισότητα ανάγεται, μέσω a=cos\theta, b=sin\theta, c=cos\phi, d=sin\phi, στην ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος τριγωνομετρική ανισότητα

sin2\theta\leq |sin(\theta+\phi)|+|sin(\theta-\phi)|.

H ανισότητα αυτή ισχύει αλλά προς το παρόν δεν έχω απόδειξη, και βεβαίως τα πράγματα μπλέκουν πιο πολύ για h>0, ίσως κάτι να γίνεται με παραγώγους, θα δούμε (ίσως)...
Η τριγωνομετρική πολύ εύκολη τελικά, θέτοντας \theta+\phi=\alpha, \theta-\phi=\beta, λαμβάνουμε

sin2\theta=sin(\alpha+\beta)=cos\beta sin\alpha+cos\alpha sin\beta\leq|cos\beta sin\alpha|+|cos\alpha sin\beta|\leq|sin\alpha|+|sin\beta|=

=|sin(\theta+\phi)|+|sin(\theta-\phi)|.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες