Αρχιμήδεια ανισότητα εμβαδών

[nrokopanos]

Καλησπέρα αγαπητοί φίλοι, διαβάζοντας το «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου Α» του Αρχιμήδη παρατήρησα ότι χρησιμοποιείται κάποια στιγμή μια ανισότητα εμβαδών άνευ απόδειξης (στην απόδειξη της Πρότασης 9). Πιο συγκεκριμένα: σε έναν ισοσκελή κώνο ΔΑΒΓ (με κορυφή το Δ και βάση τον κύκλο ΑΒΓ) αν το Β είναι το μέσο του τόξου ΑΓ τότε ∣BΔΓ∣+∣ΔBA∣>∣AΔΓ|. Υπάρχει άραγε αμιγώς γεωμετρική απόδειξη; Έχω δει μια που είναι λίγο τριγωνομετρική, ο Αρχιμήδης όμως πώς να το απέδειξε;

[gbaloglou]

Μήπως απλά το σκέφτηκε 'ολοκληρωτικά' ο Αρχιμήδης, 'κατά λωρίδες' ();

κατά-λωρίδες.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 4270 φορές

[nrokopanos]

Χμ... δεν ξέρω, προβληματίζομαι με την ολοκλήρωση. Σίγουρα ισχύει; Κάτι πιο καθαρά γεωμετρικό είναι το ζητούμενο...

[gbaloglou]

Χμ... δεν ξέρω, προβληματίζομαι με την ολοκλήρωση. Σίγουρα ισχύει; Κάτι πιο καθαρά γεωμετρικό είναι το ζητούμενο...

Το θέμα είναι πως το σκέφθηκε ο Αρχιμήδης, ακόμη και αν η σκέψη του δεν ήταν 100% δικαιολογημένη ή ακόμη και 100% σωστή. Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης, η οποία (όπως και η ανισότητα) ανάγεται νομίζω στην εξής ενδιαφέρουσα γενίκευση της τριγωνικής ανισότητας:

Έστω τρίγωνο και σημείο εκτός του επιπέδου του προβαλλόμενο σε σημείο εσωτερικό του . Αν οι προβολές του επί των αντίστοιχα, και αν οι γωνίες ανάμεσα στην και στις αντίστοιχα, τότε ισχύει η ανισότητα



Ισχύει αυτή η γενίκευση (που ξεπερνάει σε γενικότητα τον ισχυρισμό του Αρχιμήδη*); ΟΧΙ, καθώς αν για παράδειγμα το είναι ορθογώνιο στο και το προβάλλεται στο , τότε ... ενώ η πλησιάζει τις αν το πλησιάζει στο , κλπ

*δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "ισοσκελής κώνος"

τέσσερα-ύψη.png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 4148 φορές

[Al.Koutsouridis]

*δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "ισοσκελής κώνος"

Ορθός κώνος, είναι η σύγχρονη ορολογία. Ισοσκελής, επειδή η τομή του με επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά του είναι ισοσκελές τρίγωνο.

[gbaloglou]

Χμ... δεν ξέρω, προβληματίζομαι με την ολοκλήρωση. Σίγουρα ισχύει; Κάτι πιο καθαρά γεωμετρικό είναι το ζητούμενο...

Το θέμα είναι πως το σκέφθηκε ο Αρχιμήδης, ακόμη και αν η σκέψη του δεν ήταν 100% δικαιολογημένη ή ακόμη και 100% σωστή. Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης, η οποία (όπως και η ανισότητα) ανάγεται νομίζω στην εξής ενδιαφέρουσα γενίκευση της τριγωνικής ανισότητας:

Έστω τρίγωνο και σημείο εκτός του επιπέδου του προβαλλόμενο σε σημείο εσωτερικό του . Αν οι προβολές του επί των αντίστοιχα, και αν οι γωνίες ανάμεσα στην και στις αντίστοιχα, τότε ισχύει η ανισότητα



Ισχύει αυτή η γενίκευση (που ξεπερνάει σε γενικότητα τον ισχυρισμό του Αρχιμήδη*); ΟΧΙ, καθώς αν για παράδειγμα το είναι ορθογώνιο στο και το προβάλλεται στο , τότε ... ενώ η πλησιάζει τις αν το πλησιάζει στο , κλπ

*δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "ισοσκελής κώνος"


τέσσερα-ύψη.png

Ύστερα από την περί ορθού κώνου διευκρίνηση του Αλέξανδρου (#5) ... το ταυτίζεται πλέον με το περίκεντρο του ... και η παραπάνω προτεινόμενη ανισότητα πιθανώς ισχύει ... αλλά μάλλον δεν θα έχω χρόνο να την δω σήμερα.

[Antonis Tsolomitis]

Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης

Ε, δεν νομίζω καθόλου ότι αυτό μπορεί να ισχύει. Μιλάμε για τεράστιο μαθηματικό, ίσως τον μεγαλύτερο όλων. Δεν κάνει τέτοια λάθη. Και ως προς το συγκεκριμένο υπάρχει και απόδειξη: την ανισότητα τη θέλει για να αποδείξει ότι αν κοπεί ο κώνος από επίπεδο που περνάει από την κορυφή του, το τρίγωνο στο οποίο τον τέμνει, έχει μικρότερο εμβαδό από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου που απέκοψε είτε στην κυρτή είτε στη μη κυρτή πλευρά.

Αν είχε σκεφτεί το ολοκλήρωμα (που είναι και λάθος), θα το έκανε κατευθείαν χωρίς αυτό το βήμα. Δηλαδή θα έλεγε ότι σε κάθε τομή του κώνου με οριζόντιο επίπεδο η χορδή που σχηματίζεται από το τρίγωνο ΑΓΔ είναι μικρότερη από οποιοδήποτε από τα δύο τόξα του κύκλου, και ολοκληρώνοντας θα έπαιρνε το ζητούμενο.

Αλλά ο Αρχιμήδης τέτοια λάθη δεν κάνει. Βασικά δεν κάνει λάθη. Και είναι πολύ περίεργο που οι σχολιαστές του (από όσο είδα) δεν μπαίνουν στον κόπο να σχολιάσουν το συγκεκριμένο σημείο. Είτε προκύπτει άμεσα από κάποια πρόταση από αλλού που δεν κατάφερα να βρω, είτε δεν είναι καθόλου προφανής και σε στυλ ίδιο με των σημερινών Fields Medalists, δεν έχει κανένα ενδιαφέρον να εξηγήσει κάτι που για το δικό του μυαλό είναι απλό. Σου λέει, κάτσε και ψάξου, ισχύει.

Το ολοκλήρωμα πάντως είναι λάθος. Αν θεωρήσεις το επίπεδο που διέρχεται από τη χορδή ΑΓ και είναι παράλληλο στην Δ'Δ και προβάλεις σε αυτό κάθετα το τρίγωνο ΑΓΔ, τότε το νέο αυτό τρίγωνο έχει τις ίδιες οριζόντιες τομές με το ΑΓΔ. Οπότε το ολοκλήρωμα ποιανού το εμβαδό υπολογίζει; Η σωστή απάντηση είναι ότι υπολογίζει το εμβαδό της προβολής και άρα όχι του ΑΓΔ (εφόσον η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο Δ'Δ). ΑΝ η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο ύψος του ΑΓΔ τότε θα πάρεις το εμβαδόν του αλλά όχι το εμβαδόν των άλλων δύο τριγώνων.

Προσωπικά συνεχίζω να το κοιτάω. Με λίγη τριγωνομετρία βγαίνει, άρα είναι οπωσδήποτε σωστό και δεν τίθεται θέμα ορθότητας. Το θέμα είναι αν βγαίνει με σκέτα γεωμετρικά επιχειρήματα.

[gbaloglou]

Θα έλεγα ότι η απουσία δικαιολόγησης της μη προφανούς ανισότητας συνηγορεί υπέρ της ιδέας της βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης

Ε, δεν νομίζω καθόλου ότι αυτό μπορεί να ισχύει. Μιλάμε για τεράστιο μαθηματικό, ίσως τον μεγαλύτερο όλων. Δεν κάνει τέτοια λάθη. Και ως προς το συγκεκριμένο υπάρχει και απόδειξη: την ανισότητα τη θέλει για να αποδείξει ότι αν κοπεί ο κώνος από επίπεδο που περνάει από την κορυφή του, το τρίγωνο στο οποίο τον τέμνει, έχει μικρότερο εμβαδό από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου που απέκοψε είτε στην κυρτή είτε στη μη κυρτή πλευρά.

Αν είχε σκεφτεί το ολοκλήρωμα (που είναι και λάθος), θα το έκανε κατευθείαν χωρίς αυτό το βήμα. Δηλαδή θα έλεγε ότι σε κάθε τομή του κώνου με οριζόντιο επίπεδο η χορδή που σχηματίζεται από το τρίγωνο ΑΓΔ είναι μικρότερη από οποιοδήποτε από τα δύο τόξα του κύκλου, και ολοκληρώνοντας θα έπαιρνε το ζητούμενο.

Αλλά ο Αρχιμήδης τέτοια λάθη δεν κάνει. Βασικά δεν κάνει λάθη. Και είναι πολύ περίεργο που οι σχολιαστές του (από όσο είδα) δεν μπαίνουν στον κόπο να σχολιάσουν το συγκεκριμένο σημείο. Είτε προκύπτει άμεσα από κάποια πρόταση από αλλού που δεν κατάφερα να βρω, είτε δεν είναι καθόλου προφανής και σε στυλ ίδιο με των σημερινών Fields Medalists, δεν έχει κανένα ενδιαφέρον να εξηγήσει κάτι που για το δικό του μυαλό είναι απλό. Σου λέει, κάτσε και ψάξου, ισχύει.

Το ολοκλήρωμα πάντως είναι λάθος. Αν θεωρήσεις το επίπεδο που διέρχεται από τη χορδή ΑΓ και είναι παράλληλο στην Δ'Δ και προβάλεις σε αυτό κάθετα το τρίγωνο ΑΓΔ, τότε το νέο αυτό τρίγωνο έχει τις ίδιες οριζόντιες τομές με το ΑΓΔ. Οπότε το ολοκλήρωμα ποιανού το εμβαδό υπολογίζει; Η σωστή απάντηση είναι ότι υπολογίζει το εμβαδό της προβολής και άρα όχι του ΑΓΔ (εφόσον η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο Δ'Δ). ΑΝ η μεταβλητή ολοκλήρωσης κινείται στο ύψος του ΑΓΔ τότε θα πάρεις το εμβαδόν του αλλά όχι το εμβαδόν των άλλων δύο τριγώνων.

Προσωπικά συνεχίζω να το κοιτάω. Με λίγη τριγωνομετρία βγαίνει, άρα είναι οπωσδήποτε σωστό και δεν τίθεται θέμα ορθότητας. Το θέμα είναι αν βγαίνει με σκέτα γεωμετρικά επιχειρήματα.

Συμφωνώ γενικά με τα παραπάνω. Δεν γνωρίζω τον ακριβή τρόπο προσέγγισης της έννοιας του ολοκληρώματος από τον Αρχιμήδη, οπότε δεν μπορώ ούτε να επιχειρηματολογήσω ιδιαίτερα υπέρ της αρχικής μου εικασίας (#2) ούτε να αποκλείσω αυτό που έγραψα περί "βολικής διαισθητικά ολοκλήρωσης" (#4). Πάντως ουδείς αλάνθαστος, ούτε καν ο Αρχιμήδης, και αν όντως η παρούσα ανισότητα προκύπτει από κάτι άλλο που έγραψε, κάποιος ιστορικός θα το είχε πιθανώς επισημάνει. (Αφήνει συχνά ο Αρχιμήδης τέτοιου επιπέδου κενά; Αν ναι, εντάξει, αν όχι ... όλα είναι δυνατά!)

[Al.Koutsouridis]

Έστω το κέντρο της βάσης του κώνου, το μέσο του και το μέσο του . Αρκεί να εξετάσουμε τα εμβαδά των τριγώνων και . Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

i)

τότε θα είναι και για τα εμβαδά θα έχουμε

, (αφού , υποτείνουσα το πρώτο τμήμα και κάθετη πλευρά το δεύτερο στο ορθογώνιο τρίγωνο .)

Άρα .


ii)

τότε θα είναι . Επίσης ισχύουν οι . Επομένως θα υπάρχει εσωτερικό του τμήματος , έστω το , για το οποίο θα ισχύει . (To είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την .)

Επειδή , θα είναι . Άρα θα υπάρχει εσωτερικό σημείο του τμήματος , έστω το , για το οποίο . Έστω το σημείο τομής των τμημάτων και όπου το ύψος του τριγώνου από την κορυφή . Τα τμήματα αυτά τέμνονται επειδή η γωνία είναι οξεία στο ισοσκελές τρίγωνο .

Το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στη γωνία , άρα . Επομένως για τα εμβαδά των τριγώνων έχουμε





Άρα και στην δεύτερη περίπτωση.

geogebra-export.png (299.27 KiB) Προβλήθηκε 3984 φορές

[Antonis Tsolomitis]

Ωραιότατο!

Αυτό δείχνει να είναι σωστό.

Το ότι όλοι κάνουν λάθη δεν ισχύει για την περίπτωση Αρχιμήδη, Στοιχείων κλπ. Γιατί αυτά τα κείμενα τα έχουν δει χιλιάδες μάτια μέχρι την Υπατία. Αν υπήρχε σφάλμα θα είχε επισημανθεί.

[kkala]

(βλ. #7 )
Αλλά ο Αρχιμήδης τέτοια λάθη δεν κάνει. Βασικά δεν κάνει λάθη. Και είναι πολύ περίεργο που οι σχολιαστές του (από όσο είδα) δεν μπαίνουν στον κόπο να σχολιάσουν το συγκεκριμένο σημείο. Είτε προκύπτει άμεσα από κάποια πρόταση από αλλού που δεν κατάφερα να βρω, είτε δεν είναι καθόλου προφανής και σε στυλ ίδιο με των σημερινών Fields Medalists, δεν έχει κανένα ενδιαφέρον να εξηγήσει κάτι που για το δικό του μυαλό είναι απλό. Σου λέει, κάτσε και ψάξου, ισχύει.

Ίσως είναι χρήσιμο κάτι που διάβασα πριν πολλά χρόνια για τον Αρχιμήδη, ότι δηλαδή συνηθίζει να αναφέρει προτάσεις χωρίς απόδειξη (ή επεξήγηση?) αν έχουν αποδειχθεί προηγουμένως από άλλους. Και τούτο μάλιστα χρησιμοποιήθηκε στην κριτική, για να εκτιμηθεί πότε γράφτηκαν κάποια βιβλία ανάλογα με τη διατύπωση τέτοιων προτάσεων στα βιβλία του.

[nrokopanos]

Σούπερ καταπληκτική η γεωμετρική απόδειξη! Αυτή ναι φαίνεται απόλυτα ταιριαστή στο πλαίσιο της εποχής. Οπωσδήποτε σας ευχαριστώ για το ξεσκότισμα!

Να ευχαριστήσω και όλο το forum για τον χρόνο που διέθεσε για αυτήν την ανισότητα.

Επίσης να συμπληρώσω ότι είμαι και εγώ της άποψης ότι ο Αρχιμήδης δεν έχει κάνει λάθη (όπως και ο Ευκλείδης, τυπογραφικά λάθη ίσως έχουν κάνει οι γραφείς) ενώ αξίζει να αναφερθεί ότι και στο «Κύκλου Μέτρησις» ο Αρχιμήδης δεν δικαιολογεί τα πάντα. Σε άλλες παρόμοιες περιπτώσεις όμως ο Σταμάτης κάνει τις αποδείξεις στις επεξηγήσεις που έπονται. Σε αυτήν την περίπτωση όμως δεν υπήρχε κάτι ούτε εκεί.

[Antonis Tsolomitis]

Νομίζω ότι η παραπάνω απόδειξη απλοποιείται. Η «ανακάλυψη» του σημείου Κ περιττεύει. Μπορείς άμεσα να πεις ότι DB>DM και να δείξεις μετά εντελώς όμοια ότι το ύψος του DCB είναι μεγαλύτερο από το CM. Έτσι η απόδειξη γίνεται αρκετά γρηγορότερα και με απλούστερο σχήμα.

[KDORTSI]

Καλησπέρα αγαπητοί φίλοι, διαβάζοντας το «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου Α» του Αρχιμήδη παρατήρησα ότι χρησιμοποιείται κάποια στιγμή μια ανισότητα εμβαδών άνευ απόδειξης (στην απόδειξη της Πρότασης 9). Πιο συγκεκριμένα: σε έναν ισοσκελή κώνο ΔΑΒΓ (με κορυφή το Δ και βάση τον κύκλο ΑΒΓ) αν το Β είναι το μέσο του τόξου ΑΓ τότε ∣BΔΓ∣+∣ΔBA∣>∣AΔΓ|. Υπάρχει άραγε αμιγώς γεωμετρική απόδειξη; Έχω δει μια που είναι λίγο τριγωνομετρική, ο Αρχιμήδης όμως πώς να το απέδειξε;

Μήπως απλά το σκέφτηκε 'ολοκληρωτικά' ο Αρχιμήδης, 'κατά λωρίδες' ();

Καλησπέρα....

Γιώργο, χωρίς να έχω διαβάσει όλο το κείμενο αυτό του Αρχιμήδη, πιστεύω ότι το μεγάλο αυτό πνεύμα της Ελληνικής αρχαιότητας χρησιμοποιεί την ανισότητα αυτή σκεφτόμενος όπως εσύ υποστηρίζεις, δηλαδή "ολοκληρωτικά".
Είναι αλήθεια ότι ο Αρχιμήδης είναι ο αρχικός εμπνευστής και θεμελιωτής της μεθόδου της εξάντλησης (méthode d`exhaustion) η οποία κατά τον
17ο αιώνα αναπτύχθηκε ως μέθοδος των αδιαιρέτων από τον Bonaventura Cavalieri καθώς και από τους Gilles Personne de Roverbal και Evagelista Torriceli κι ακόμα από τον Blaise Pascal.
Τελικά κατά το 18ο αιώνα η μέθοδος αυτή κατέληξε στο Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό από τους Leibnitz και Newton.

Βελτιώνω "κατά τι" το σχήμα σου και αναφέρομαι στο ακόλουθο:

Αρχή Cavalieri 1.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 3824 φορές

Σύμφωνα με την αρχή αυτή και σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα, τα αδιαίρετα τμήματα:

(κίτρινο) + (θαλασσί) (πράσινο) (1)

Αθροίζοντας τέτοια αδιαίρετα τμήματα έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

Αρχή Cavalieri 2.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 3824 φορές

αυτό σημαίνει:

(κίτρινο τραπέζιο)+(θαλασσί τραπέζιο) (πράσινο τραπέζιο) (2)

Συνεχίζοντες μέχρι την κορυφή του ορθού κώνου καταλήγουμε όμοια:

(κίτρινη έδρα)+(θαλασσί έδρα) (πράσινη έδρα) (3)

Δεν είναι εύκολα για μας να ισχυριστούμε τί είχε στο μυαλό του ο μεγάλος Αρχιμήδης και πώς αντιμετώπιζε

την πρόταση αυτή.....

Κώστας Δόρτσιος

[gbaloglou]

Κώστα πιθανώς ναι, αν και υπάρχουν προβλήματα στην ολοκληρω(μα)τική προσέγγιση λόγω κλίσεων -- δεν γνωρίζω πόσο είχε εισχωρήσει στην καινούργια για την ανθρωπότητα έννοια ο Αρχιμήδης για να του είναι ορατά αυτά τα προβλήματα... [Επίσης δεν γνωρίζω αν χρησιμοποίησε ολοκλήρωση ο Αρχιμήδης σε άλλα προβλήματα όπου δεν ήταν 'επιβεβλημένο'...]

Σε κάθε περίπτωση, ιδού μία άλλη γεωμετρική προσέγγιση για την περίπτωση που η βάση είναι οξυγώνια:

Αρκεί να δειχθεί η . Εφόσον οι έδρες έχουν κοινή την πλεuρά , αρκεί να δειχθεί η ανισότητα για τα αντίστοιχα ύψη. Παρατηρούμε εδώ ότι οι είναι υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων όπου οι προβολές των επί της προβολής ((ημι)διαμέτρου) της . Παρατηρούμε επίσης ότι ισχύουν οι (από όμοια τρίγωνα και ) και (από όμοια τρίγωνα και ), άρα .

[Αν η βάση είναι αμβλυγώνια δεν ισχύει πλέον η και τα πράγματα περιπλέκονται -- δεν γνωρίζω αν στην πρόταση του Αρχιμήδη η βάση υποτίθεται εξ αρχής οξυγώνια και δεν έχω ελέγξει αν η απόδειξη του Αλέξανδρου (με ή χωρίς την τροποποίηση του Αντώνη) ισχύει και για την περίπτωση αμβλυγώνιας βάσης, έχω όμως αναλυτική απόδειξη που ελπίζω να ελέγξω και παρουσιάσω σύντομα.]

Αρχιμήδου-κάθετοι.png (24.36 KiB) Προβλήθηκε 3747 φορές

[Al.Koutsouridis]

Κώστα πιθανώς ναι, αν και υπάρχουν προβλήματα στην ολοκληρω(μα)τική προσέγγιση λόγω κλίσεων -- δεν γνωρίζω πόσο είχε εισχωρήσει στην καινούργια για την ανθρωπότητα έννοια ο Αρχιμήδης για να του είναι ορατά αυτά τα προβλήματα... [Επίσης δεν γνωρίζω αν χρησιμοποίησε ολοκλήρωση ο Αρχιμήδης σε άλλα προβλήματα όπου δεν ήταν 'επιβεβλημένο'...]

Ναι αυτή η προσέγγιση είναι προβληματική γιατί τα τραπέζια που προκύπτουν δεν έχουν το ίδιο ύψος ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η τριγωνική ανισότητα έτσι άμεσα. Θέλει δηλαδή μελέτη για το αν ισχύει "(κίτρινο τραπέζιο)+(θαλασσί τραπέζιο) (πράσινο τραπέζιο) (2)" στη δημοσίευση του κ.Κώστα παραπάνω. Ακόμα και αν είχαν το ίδιο ύψος πάλι το πέρασμα στο "οριο" δεν είναι προφανές και θέλει δουλειά για να δείξουμε οτι η οριακή ακολουθία συγκλίνει.

-- δεν γνωρίζω αν στην πρόταση του Αρχιμήδη η βάση υποτίθεται εξ αρχής οξυγώνια και δεν έχω ελέγξει αν η απόδειξη του Αλέξανδρου (με ή χωρίς την τροποποίηση του Αντώνη) ισχύει και για την περίπτωση αμβλυγώνιας βάσης, έχω όμως αναλυτική απόδειξη που ελπίζω να ελέγξω και παρουσιάσω σύντομα.]

Η απόδειξή μου είναι γενική για ορθή τριγωνική πυραμίδα με βάση ισοσκελές τρίγωνο (οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο) η παρατήρηση του κ.Αντώνη είναι για συντομία και πλεονασμό που έκανα στην απόδειξη (τον ευχαριστώ για την παρατήρηση). Οι δυο περιπτώσεις που αναφέρομαι στην ουσία έχουν να κάνουν με το αν οι προσκήμενες γωνίες στο ισοσκελές τρίγωνο της βάσης είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες των . Οι αρχικές μου σκέψεις ήταν να ενοποιήσω κάπως τις δύο περιτώσεις και έτσι έμειναν κάποια περιττά σημεία.

Ο Αρχιμήδης δε νομίζω να είχε κάτι ολοκληρωματικό κατά νου στο συγκεκριμένο κομμάτι της πρότασης. Κάθως όντως είναι απλό το απότελεσμα. Πιθανόν θα παραλείπεται επειδή θα εμφανίζεται κάιτι παρόμοιο με απόδειξη αλλού ή σε έργα άλλων μαθηματικών της εποχής.

Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.


Όσο αναφορά αν κάνει λάθη ο Αρχιμήδης, στο συγκεκριμένο δεν κάνει, αλλά δεν θα ήμουν αφοριστικός, λάθη μπορεί να κάνουν όλοι. Ένα πρόσφατο παράδειγμα που διάβασα: Στο βιβλίο Geometry And Imagination των Hilbert και Cohn-Vossen αναφέρεται, "Έτσι μπορεί να δειχθεί, ότι στο ελλειψοειδές τριών αξόνων οι μοναδικές κλειστές μη αυτοτεμνόμενες γεοδεσιακές είναι οι τρεις ελλείψεις, που προκύπτουν απο την τομή αυτής της επιφάνειας με τα τρία επίπεδα συμμετρίας του".

Την ίδια εκτίμηση μάλιστα είχαν και οι Poincare, Lyusternik, Schnirelmann, Urysohn... Παρόλα αυτά έχει δειχθεί ότι υπάρχουν και άλλες γεοδεσιακές με τις παραπάνω ιδίοτητες σε ένα ελλειψοειδές.

[gbaloglou]

Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.

Για γενική τριγωνική πυραμίδα σίγουρα όχι: το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι μία πυραμίδα μικρού ύψους όπου η κορυφή προβάλλεται στο , οπότε το εμβαδόν της έδρας είναι περίπου ίσο προς το εμβαδόν του τριγώνου , ενώ τα εμβαδά των εδρών και όσο μικρά θέλουμε. (Βλέπε και #4 παραπάνω.)

Για ορθή τριγωνική πυραμίδα, πυραμίδα δηλαδή που η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο του περίκυκλου της βάσης της, η απάντηση φαίνεται να είναι θετική: ήδη η απόδειξη μου (#15) νομίζω ότι επεκτείνεται και στην περίπτωση μη ισοσκελούς βάσης , αρκεί το περίκεντρο να είναι εσωτερικό σημείο του ^ θα δω τι μπορώ να κάνω, με αναλυτικά μέσα μάλλον, και στην περίπτωση που αυτό δεν συμβαίνει.

[Antonis Tsolomitis]

Όσο αναφορά αν κάνει λάθη ο Αρχιμήδης, στο συγκεκριμένο δεν κάνει, αλλά δεν θα ήμουν αφοριστικός, λάθη μπορεί να κάνουν όλοι.

Προφανώς. Ποιος μπορεί να διαφωνήσει σε μια γενική διατύπωση «όλοι κάνουν λάθη». Αλλά εδώ κανείς πρέπει είτε να βγάλει τον Αρχιμήδη από το ιστορικό πλαίσιο που τον περιβάλλει είτε να καταπιεί ότι στα 700-800 χρόνια που πέρασαν από τον Αρχιμήδη μέχρι την Υπατία, με τα Μαθηματικά να είναι σε έντονη εξέλιξη, κανείς δεν είδε το υποτιθέμενο σφάλμα.

Αυτό είναι που δεν καταπίνεται εύκολα. Ειδικώς όταν ξέρεις ότι στους παπύρους άλλων, πχ Ευκλείδης, υπάρχουν κάποια ελάχιστα σημεία που υπήρξαν προσπάθειες διόρθωσης (είτε του Ευκλείδη, είτε και πιθανότερο του προηγούμενου παπύρου, δηλαδή του αντιγραφέα).

Γενικώς, το να λες «έχει κάνει λάθος ο Ευκλείδης», ο Αρχιμήδης ή ο Εύδοξος, πρέπει να λέγεται με μεγάλη περίσκεψη και τεράστια συστολή. Εντάξει όλοι μπορεί να κάνουν λάθος, αλλά με όλο τον σεβασμό στον Poincare, μη συγκρίνουμε τώρα ανόμοια μεγέθη. Να συγκρίνουμε τον Αρχιμήδη με τον Gauss, ΟΚ. Ούτε ο Poincare δεν θα δεχόταν τέτοια σύγκριση. Καταλαβαίνω ότι το γράψατε ως παράδειγμα για τον Poincare. Εντάξει. Αλλά μετά τον Αρχιμήδη ακολούθησαν 7-8 αιώνες ελέγχου.

[gbaloglou]

Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.

Για γενική τριγωνική πυραμίδα σίγουρα όχι: το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι μία πυραμίδα μικρού ύψους όπου η κορυφή προβάλλεται στο , οπότε το εμβαδόν της έδρας είναι περίπου ίσο προς το εμβαδόν του τριγώνου , ενώ τα εμβαδά των εδρών και όσο μικρά θέλουμε. (Βλέπε και #4 παραπάνω.)

Για ορθή τριγωνική πυραμίδα, πυραμίδα δηλαδή που η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο του περίκυκλου της βάσης της, η απάντηση φαίνεται να είναι θετική: ήδη η απόδειξη μου (#15) νομίζω ότι επεκτείνεται και στην περίπτωση μη ισοσκελούς βάσης , αρκεί το περίκεντρο να είναι εσωτερικό σημείο του ^ θα δω τι μπορώ να κάνω, με αναλυτικά μέσα μάλλον, και στην περίπτωση που αυτό δεν συμβαίνει.

Μία ημιτελής προσπάθεια: περνώντας σε συντεταγμένες και θέτοντας όπου , προκύπτει -- μέσω υπολογισμού εμβαδών με χρήση εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων -- ότι η επιθυμητή ανισότητα εμβαδών είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα



Στην περίπτωση της ισοσκελούς βάσης, & , η ανισότητα αυτή ανάγεται άμεσα στην προφανώς ισχύουσα Στην γενική περίπτωση τα πράγματα φαίνονται αρκετά ως πολύ δυσκολότερα, ακόμη και στην 'επίπεδη' περίπτωση η ανισότητα ανάγεται, μέσω στην ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος τριγωνομετρική ανισότητα



H ανισότητα αυτή ισχύει αλλά προς το παρόν δεν έχω απόδειξη, και βεβαίως τα πράγματα μπλέκουν πιο πολύ για , ίσως κάτι να γίνεται με παραγώγους, θα δούμε (ίσως)...

[gbaloglou]

Ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν ισχύει γενικά για μια ορθή πυραμίδα το αποτέλεσμα και ακόμα γενικότερα για τριγωνική πυραμίδα. Δηλαδή αν το άθροισμα των εμβαδών δύο παράπλευρων εδρών μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι πάντα μεγαλύτερο από το εμβαδό της τρίτης παράπλευρης έδρας.

Για γενική τριγωνική πυραμίδα σίγουρα όχι: το απλούστερο ίσως παράδειγμα είναι μία πυραμίδα μικρού ύψους όπου η κορυφή προβάλλεται στο , οπότε το εμβαδόν της έδρας είναι περίπου ίσο προς το εμβαδόν του τριγώνου , ενώ τα εμβαδά των εδρών και όσο μικρά θέλουμε. (Βλέπε και #4 παραπάνω.)

Για ορθή τριγωνική πυραμίδα, πυραμίδα δηλαδή που η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο του περίκυκλου της βάσης της, η απάντηση φαίνεται να είναι θετική: ήδη η απόδειξη μου (#15) νομίζω ότι επεκτείνεται και στην περίπτωση μη ισοσκελούς βάσης , αρκεί το περίκεντρο να είναι εσωτερικό σημείο του ^ θα δω τι μπορώ να κάνω, με αναλυτικά μέσα μάλλον, και στην περίπτωση που αυτό δεν συμβαίνει.

Μία ημιτελής προσπάθεια: περνώντας σε συντεταγμένες και θέτοντας όπου , προκύπτει -- μέσω υπολογισμού εμβαδών με χρήση εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων -- ότι η επιθυμητή ανισότητα εμβαδών είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα



Στην περίπτωση της ισοσκελούς βάσης, & , η ανισότητα αυτή ανάγεται άμεσα στην προφανώς ισχύουσα Στην γενική περίπτωση τα πράγματα φαίνονται αρκετά ως πολύ δυσκολότερα, ακόμη και στην 'επίπεδη' περίπτωση η ανισότητα ανάγεται, μέσω στην ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος τριγωνομετρική ανισότητα



H ανισότητα αυτή ισχύει αλλά προς το παρόν δεν έχω απόδειξη, και βεβαίως τα πράγματα μπλέκουν πιο πολύ για , ίσως κάτι να γίνεται με παραγώγους, θα δούμε (ίσως)...

Η τριγωνομετρική πολύ εύκολη τελικά, θέτοντας λαμβάνουμε