H εξίσωση του αυγού

mick7 · #1

Μια που το ταπεινό αυγό αποτελεί σήμα κατατεθέν της γιορτής του Πάσχα ο ουκρανός μαθηματικός Val Narushin μιλάει για την ερεύνα του πάνω στην μορφή του αυγού και περιγράφει την εξίσωση στην οποία έχει καταλήξει σχετικά.

Βίντεο ---> https://www.youtube.com/watch?v=tjyFw1BX4eM

Το paper διατίθεται δωρεάν εδώ ---> https://www.biorxiv.org/content/10.1101 ... 1.full.pdf

Πάντως ο Αμερικάνος γιατρός Don M. Jacobs δημιούργησε μια απλούστερη εξίσωση γράφημα της οποίας είναι εδώ : https://www.desmos.com/calculator/heq8ataoqe

Πάντως η εξίσωση που έχει καταλήξει ο συνάδελφος απο την Ουκρανία είναι αυτή ...καθόλου μικρή...

#2

Στις Γεωμετρικές Διαδρομές (ΦΒ) του Σωτήρη Γκουντουβά εμφανίστηκε από χθες το εξής:

: egg-equation.jpg (16.72 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

#3

Χριστός Ανέστη!

Ένα είναι το συμπέρασμα: Οι μαθηματικοί κουβαλούν πολλά καντάρια τρέλας

mick7 · #4

To θέμα είναι πως καταλήγουμε στις εξισώσεις αυτές. Εδώ νομίζω το άρθρο είναι μια καλή αρχή...https://www.johndcook.com/blog/2018/04/ ... it-an-egg/

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 11:20 pm
Στις Γεωμετρικές Διαδρομές (ΦΒ) του Σωτήρη Γκουντουβά εμφανίστηκε από χθες το

#5

Καλημέρα....

Επειδή ακόμα μας ακολουθεί η όμορφη αύρα της Πασχαλιάς, για το ανωτέρω θέμα
προσθέτω ακόμα:

Την επίπεδη ωοεδή καμπύλη τη σκέφτηκαν σπουδαίοι μαθηματικοί κατά το μακρινό παρελθόν.
Υπάρχει πολύ υλικό. Εγώ παρουσιάζω δυο περιπτώσεις:

Α) Μια είναι αυτή που βρίσκει κανείς στη Wikipedia και είναι της μορφής:

$\displaystyle{a(1+ky)x^2+by^2=1 \ \ (1)}$

και η οποία αναφέρθηκε σε προηγούμενη υπερσύνδεση.

Αυτή εμφανίζεται στα ακόλουθα δύο σχήματα:

1ο Σχήμα:

: Ωοειδής 1.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

2ο Σχήμα:

: Ωοειδής 2.png (21.68 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνονται μερικές ακόμα καμπύλες για διαφορετικές τιμές του $\displaystyle{k \in R}$
Όπως φαίνεται η ωοειδής μορφή παραποιείται με ό,τι αυτό συνεπάγεται.

Β) Μια άλλη ενδιαφέρουσα είναι αυτή του Kepler του γνωστού στο χώρο της Αστρονομίας, ο οποίος μίλησε για τους τρεις
σπουδαίου νόμους της κίνησης των πλανητών.

3ο Σχήμα:

: Ωοειδής 3.png (13.25 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Η καμπύλη αυτή έχει εξίσωση:

$\displaystyle{ x^2+y^2=x^{\frac{3}{2}} / / (2) }$

Γ) Όμως το ενδιαφέρον είναι οι ωοειδείς επιφάνειες. Έτσι με βάση την ωοειδή του Kepler
σκέφθηκα να υλοποιήσω την κατασκευή τέτοιων επιφανειών.

4ο Σχήμα:

: Ωοειδής 4.png (101.28 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Στα τρία αυτά χρωματιστά αυγά έχω τοποθετήσει και μερικές καμπύλες έτσι για το
πνεύμα των ημερών.

Σημείωση: Το δυναμικό σχήμα των επιφανειών αυτών μπορείτε να το βρείτε στο
σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/c5adzcnu

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #6

: Ρομβοειδές.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

Προσπαθήστε να βρείτε και την εξίσωση της όμορφης αυτής γραμμής .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 9:16 pm
Προσπαθήστε να βρείτε και την εξίσωση της όμορφης αυτής γραμμής .

Θανάση καλημέρα...

Για την καμπύλη αυτή μπορώ να πω ότι πρόκειται για την καμπύλη με το όνομα:

"sextique de Loriga"

η οποία έχει την πατρότητά της στον Ισπανό μαθηματικό Juan Jacobo Duran Loriga ο οποίος
στην προσπάθεια να μελετήσει ένα πρόβλημα οπτικής το 1910 την επινόησε ως ένα γεωμετρικό τόπο.

Η εξίσωση αυτή έχει διάφορες μορφές από τις οποίες με μια προσπάθεια την οδήγησα στην
παρακάτω μορφή ώστε να λειτοουργήσει στο λογισμικό:

$\displaystyle{(x^3+ax-3xy^2)^2 +(3x^2y-y^3-ay)^2=a^4, a \in R \ \ (1) }$

Η εξίσωση αυτή (1) για διάφορες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{a}$ δίνει και διάφορες μορφές:

1ο Σχήμα:

: Sextique de Loriga 1.png (25.5 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Στο σχήμα αυτό η παράμετρος $\displaystyle{a}$ έχει την τιμή:

$\displaystyle{a=-0.84 }$

2ο Σχήμα:

: Sextique de Loriga 2.png (23.34 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Στην περίπτωση αυτή είναι:

$\displaystyle{a=-2.24 }$

3o Σχήμα:

: Sextique de Loriga 3.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Στην περίπτωση αυτή επίσης είναι:

$\displaystyle{a=-3.25}$

Αντίστοιχα σχήματα μπορεί να προκύψουν για τις θετικές τιμές της παραμέτρου

τα οποία όμως είναι περιστραμένα γύρω από την αρχήν των αξόνων κατά γωνία ίση

με $\displaystyle{45^o}$

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #8

Κώστα , νάσαι καλά , πάντα μαθαίνουμε κάτι καινούριο από σένα .

: 300.png (24.31 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Δεδομένου ότι η καμπύλη που "σχεδίασα" , διέρχεται από τα σημεία (2,0) , (1,1) , (0, 2)

κ.λ.π ,

μπορεί κάποιος να υποθέσει , ότι ταιριάζει να είναι : x^4=16

.

Λόγω της συμμετρίας και του (1,1)

, "καταλήγουμε" στην : x^4+14x^2y^2+y^4=16

.

#9

Θανάση καλημέρα...

Ευχαριστώ για τον καλό σου λόγο.

Πολύ όμορφη η ιδέα σου και απλή. Εγώ πλατείασα, όμως αξίζει να πάμε παραπέρα...

Έχω δοκιμάσει σύμφωνα με την ιδέα σου να εμφανίσω τις εικόνες των εξισώσεων:

$\displaystyle{ x^6+62χ^2y^2+y^6=64 \ \ (1)}$

$\displaystyle{ x^8+254x^2y^2+y^8=256 \ \ (2)}$

$\displaystyle{ x^{10}+1022x^2y^2 +y^{10}=1024 \ \ (3) }$

καθώς και σε επόμενες άρτιες δυνάμεις.

Το αποτέλεσμα είναι στα παρακάτω σχήματα:

1ο) Σχήμα

: Loriga 4.png (37.09 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

2ο Σχήμα (λεπτομέρεια 1)

: Loriga 5.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

3ο Σχήμα (λεπτομέρεια 2)

: Loriga 6.png (23.59 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Οι λετπομέρειες 1 και 2 δείχνουν ότι οι καμπύλες αυτές διέρχονται από
τα δοσμένα σημεία εκτός της καμπύλης του Loriga η οποία όμως προσεγγίζει
με μεγάλη ακρίβεια τις δυο αυτές λεπτομέρειες.

Αξίζει πάντως το θέμα να το προχωρήσουμε παρακάτω...

Κώστας Δόρτσιος

H εξίσωση του αυγού

H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Re: H εξίσωση του αυγού

Μέλη σε σύνδεση