mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 17, 2020 4:49 pm**

Έστω οι μετρικοί χώροι $\big( \mathbb{X} , d \big)$ και $\big( \mathbb{Y} , r \big)$
και συνάρτηση $f : \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y}$ . Τότε
αν κάθε κλειστό σύνολο $C \subseteq \mathbb{Y}$ τότε το σύνολο $f^{-1} (C) \subseteq \mathbb{X}$ είναι κλειστό
$\Rightarrow$ η

είναι συνεχής στο $\mathbb{X}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 17, 2020 6:34 pm**

Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ορισμό που χρησιμοποιεί ανοικτά. Είναι κλασική πρόταση και σε κάθε βιβλίο ανάλυσης θα το βρεις.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 18, 2020 2:49 am**

Εδώ μπορούμε να πούμε ότι η πρόταση αυτή ισχύει και σε τοπολογικούς χώρους(όχι μόνο μετρικούς χώρους).
Συνήθως ο ορισμός της συνέχειας σε τοπολογικούς χώρους είναι αυτη η πρόταση.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να ορίσεις τη συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους.
Ένας από αυτούς και νομίζω ο πιο εύστοχος είναι να την ορίσεις τοπικά ενός σημείου χρησιμοποιώντας περιοχές ενός σημείου.
Αν οριστεί έτσι η συνέχεια τότε μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση που ρώτησες.
Ο ορισμός της συνέχειας που προτιμώ είναι ο εξής:
Η

είναι συνεχής στο x_0