Νεα Υλη;

Συντονιστής: spyros

STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Νεα Υλη;

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Απρ 10, 2020 3:27 pm

Καλημέρα λόγο ειδικών συνθηκών εγινε περικοπή της ύλης τώρα οι μαθητές θα πρέπει να δουλέψουν σε επαναληπτικά θέματα εντός ύλης βέβαια το πρόβλημα με DLH δεν είναι τόσο απλό γιατί ;; Η επιτροπή θα επιλέξει θέματα που θα λύνονται π.χ με όρια εντός ύλης αλλα πολλοι μαθητές που εμαθαν και νωρίς τον DLH θα τον χρησιμοποιησουν και τι κανει ο βαθμολογητής ;;; Η γνώμη μου είναι να δίνονται όλες οι μονάδες σε όλες τις περιπτώσεις που λύνεται ενα θέμα με την υλη των σχολικών βιβλίων γιατί εχουμε δει και βαθμολογητες να αφαιρούν κάποιες μονάδες οταν χρησιμοποιείται η ύλη που εχει περικοπεί. Καλό θα είναι οι μαθητές να προσπαθήσουν να λύσουν τα θέματα με την ΕΝΤΟΣ ΥΛΗΣ ΘΕΩΡΕΙΑ . Το πρόβλημα λυνεται αν η επιτροπή που βάζει θέματα δώσει σε αυτές τις περιπτώσεις οδηγιες σε ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ βαθμολογητές .....ΔΕΝ ΤΟ ΠΙΣΤΕΥΩ ΝΑ ΓΙΝΕΙ .....


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.

Λέξεις Κλειδιά:
Άρης Κεσογλίδης
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Δευ Ιουν 11, 2018 12:53 pm

Re: Νεα Υλη;

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Άρης Κεσογλίδης » Δευ Απρ 20, 2020 10:19 pm

Καλησπέρα.
Μήπως υπήρξε τελικά κάποια διευκρίνιση σχετικά με την θεωρία που είναι πλέον εκτός ύλης;

Γιατί κι εγώ σκέφτομαι ακριβώς αυτά που ειπώθηκαν από προηγούμενους συναδέλφους, δηλαδή ότι η Επιτροπή λογικά θα βάλει θέματα που να μην λύνονται με DLH ή να μην δίνουν πλεονέκτημα σε κάποιον που θα τα χρησιμοποιήσει.

Απ' τη μία, λόγω της επισήμανσης ότι "Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή" , θεωρώ ότι αν τελικά χρησιμοποιήσει κάποιος κάτι τέτοιο, λογικά δεν πρέπει να κοπούν μονάδες.

Απ' την άλλη, πρέπει να μπούνε θέματα που να μην δίνουν πλεονέκτημα σε κάποιον που θα χρησιμοποιήσει κάτι εκτός της νέας ύλης.

Εκτός από το DLH βέβαια, είναι και άλλα, όπως για παράδειγμα η απόδειξη ανισότητας με κυρτότητα και εφαπτομένη.
Και παρ' όλο που θα βάλουν θέματα που να μην χρειάζονται τίποτα από την κομμένη ύλη, ίσως κάποιοι μαθητές να σκεφτούν με κάποιον δικό τους (ίσως και πιο πολύπλοκο) τρόπο και να χρησιμοποιήσουν π.χ. κυρτότητα και εφαπτομένη κάπου που οι θεματοδότες να μην το φαντάζονται ότι κάποιος θα το επιχειρούσε έτσι.

Γι' αυτό η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να δοθούν από τώρα διευκρινίσεις γι' αυτά.


gkouts@hotmail.com
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 28, 2013 11:20 pm

Re: Νεα Υλη;

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gkouts@hotmail.com » Δευ Απρ 20, 2020 10:59 pm

Καλησπέρα σε όλους και χρόνια πολλά. Θα ήθελα τη γνώμη σας οσον αφορά για το αν η ευρεση τύπου της f με αντιπαραγωγιση είναι μέσα στην νέα ύλη ή όχι. Σαφώς και το πόρισμα είναι εντός της ύλης αλλά οι ασκήσεις εμφανίζονται για πρώτη φόρα στις αρχικές. Ακόμα και η κλασσική εφαρμογή f'=f που τα παιδιά χρησιμοποιούν κατευθείαν, στην λύση της δουλεύει με σταθερή συνάρτηση και όχι με αντιπαραγωγιση. Υπάρχει βέβαια η Β1 στο θεώρημα rolle και η άσκηση με τα πλοία στο ρυθμό μεταβολής αλλά είναι πολύ απλές ώστε να θεωρήσουμε οτι τα παιδιά έχουν διδαχθεί το κομμάτι αυτό το οποίο εχει εμφανιστεί αρκετές φορες στο παρελθόν στις πανελλαδικές. Θα ήθελα τη γνώμη σας , ευχαριστώ πολύ


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Νεα Υλη;

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Απρ 21, 2020 11:10 am

Άρης Κεσογλίδης έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 10:19 pm
Καλησπέρα.
Μήπως υπήρξε τελικά κάποια διευκρίνιση σχετικά με την θεωρία που είναι πλέον εκτός ύλης;

Γιατί κι εγώ σκέφτομαι ακριβώς αυτά που ειπώθηκαν από προηγούμενους συναδέλφους, δηλαδή ότι η Επιτροπή λογικά θα βάλει θέματα που να μην λύνονται με DLH ή να μην δίνουν πλεονέκτημα σε κάποιον που θα τα χρησιμοποιήσει.

Απ' τη μία, λόγω της επισήμανσης ότι "Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή" , θεωρώ ότι αν τελικά χρησιμοποιήσει κάποιος κάτι τέτοιο, λογικά δεν πρέπει να κοπούν μονάδες.

Απ' την άλλη, πρέπει να μπούνε θέματα που να μην δίνουν πλεονέκτημα σε κάποιον που θα χρησιμοποιήσει κάτι εκτός της νέας ύλης.

Εκτός από το DLH βέβαια, είναι και άλλα, όπως για παράδειγμα η απόδειξη ανισότητας με κυρτότητα και εφαπτομένη.
Και παρ' όλο που θα βάλουν θέματα που να μην χρειάζονται τίποτα από την κομμένη ύλη, ίσως κάποιοι μαθητές να σκεφτούν με κάποιον δικό τους (ίσως και πιο πολύπλοκο) τρόπο και να χρησιμοποιήσουν π.χ. κυρτότητα και εφαπτομένη κάπου που οι θεματοδότες να μην το φαντάζονται ότι κάποιος θα το επιχειρούσε έτσι.

Γι' αυτό η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να δοθούν από τώρα διευκρινίσεις γι' αυτά.
Νομίζω ότι το «Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή» υπονοεί ότι πρέπει να αποδειχθεί από τα όσα γνωρίζει το παιδί. Οπότε, οι κανόνες DLH με αυτό το πρίσμα, θα ήθελαν απόδειξη - μακρινό για παιδιά Γ' Λυκείου. Οπότε, δε θεωρώ ότι κάπως «σώζεται» η χρήση DLH. Σε τελική ανάλυση, έχουμε διδάξει τόσες τεχνικές υπολογισμού ορίων, γιατί δηλαδή μας τρομάζει η αφαίρεση του DLH. Αν κάποια άτομα απλώς λένε στα παιδιά να τον ακολουθούν σαν τυφλοσούρτη είναι μέρος της ατομικής ευθύνης του καθενός μας απέναντι στα παιδιά και την επιστήμη όταν μπαίνουμε στην τάξη.

Για την κυρτότητα και την εφαπτομένη, δε τίθεται ζήτημα, αφού μπορούν όλες να αποδειχθούν μεταφέροντας όλες τις ποσότητες στο πρώτο μέλος και αξιοποιώντας την μονοτονία της παραγώγου - έτσι, άλλωστε, δουλεύει και η «απόδειξη» της γνωστής αυτής ιδιότητας που δεν υπάρχει, βέβαια, στο σχολικό βιβλίο (υπάρχει, ωστόσο, αναφορά σε άσκηση). Οπότε, ουδέν πρόβλημα, αρκεί να είναι ενήμερα τα παιδιά για αυτήν τη διαφοροποίηση.
gkouts@hotmail.com έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 10:59 pm
Καλησπέρα σε όλους και χρόνια πολλά. Θα ήθελα τη γνώμη σας οσον αφορά για το αν η ευρεση τύπου της f με αντιπαραγωγιση είναι μέσα στην νέα ύλη ή όχι. Σαφώς και το πόρισμα είναι εντός της ύλης αλλά οι ασκήσεις εμφανίζονται για πρώτη φόρα στις αρχικές. Ακόμα και η κλασσική εφαρμογή f'=f που τα παιδιά χρησιμοποιούν κατευθείαν, στην λύση της δουλεύει με σταθερή συνάρτηση και όχι με αντιπαραγωγιση. Υπάρχει βέβαια η Β1 στο θεώρημα rolle και η άσκηση με τα πλοία στο ρυθμό μεταβολής αλλά είναι πολύ απλές ώστε να θεωρήσουμε οτι τα παιδιά έχουν διδαχθεί το κομμάτι αυτό το οποίο εχει εμφανιστεί αρκετές φορες στο παρελθόν στις πανελλαδικές. Θα ήθελα τη γνώμη σας , ευχαριστώ πολύ
Προσωπικά, θεωρώ ότι σαφώς και είναι εντός, όπως περιγράφεται και από το σχετικό θεώρημα στο σχολικό βιβλίο αλλά και από την εφαρμογή 1 - σελ. 252 της παλιάς, ενοποιημένης, έκδοσης. Οπότε, γιατί όχι;


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Νεα Υλη;

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Απρ 21, 2020 4:42 pm

Μετά από τους διαλόγους που διαβάσαμε και εδώ αλλά και αλλού, καταλαβαίνουμε ότι δεν συμφωνούν όλοι οι μαθηματικοί σε μία μόνο άποψη. Για να μην υπάρχουν λοιπόν προβλήματα μετά τις εξετάσεις, αλλά και για να απαλλαχθεί η επιτροπή θεμάτων από το να βρει όριο που να μην λύνεται στοιχειωδώς με DHL, είναι απαραίτητο να δοθεί οδηγία στους υποψήφιους (η οποία να αναγράφεται στα φυλλάδια των θεμάτων), ότι δεν θα γίνεται δεκτή οποιαδήποτε λύση που χρησιμοποιεί ύλη πέραν αυτής που έχει καθορισθεί, εκτός και αν ο υποψήφιος την αποδείξει με την προκαθορισμένη και μόνο ύλη. Και το πιο σωστό για τους μαθητές, είναι να βγει από τώρα μια τέτοια ανακοίνωση, ώστε να μην υπολογίζουν στο θεώρημα DHL, και να έχουν τον χρόνο να μελετήσουν όρια με τρόπο που ίσως στο σχολείο τους (κακώς βέβαια) δεν τους δόθηκε η ευκαιρία να το πράξουν.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Νεα Υλη;

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Απρ 21, 2020 5:28 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 4:42 pm
Μετά από τους διαλόγους που διαβάσαμε και εδώ αλλά και αλλού, καταλαβαίνουμε ότι δεν συμφωνούν όλοι οι μαθηματικοί σε μία μόνο άποψη. Για να μην υπάρχουν λοιπόν προβλήματα μετά τις εξετάσεις, αλλά και για να απαλλαχθεί η επιτροπή θεμάτων από το να βρει όριο που να μην λύνεται στοιχειωδώς με DHL, είναι απαραίτητο να δοθεί οδηγία στους υποψήφιους (η οποία να αναγράφεται στα φυλλάδια των θεμάτων), ότι δεν θα γίνεται δεκτή οποιαδήποτε λύση που χρησιμοποιεί ύλη πέραν αυτής που έχει καθορισθεί, εκτός και αν ο υποψήφιος την αποδείξει με την προκαθορισμένη και μόνο ύλη. Και το πιο σωστό για τους μαθητές, είναι να βγει από τώρα μια τέτοια ανακοίνωση, ώστε να μην υπολογίζουν στο θεώρημα DHL, και να έχουν τον χρόνο να μελετήσουν όρια με τρόπο που ίσως στο σχολείο τους (κακώς βέβαια) δεν τους δόθηκε η ευκαιρία να το πράξουν.
Γνωρίζουμε αν έχει παρθεί ή είναι στα σχέδια να παρθεί απόφαση έτσι ώστε να υπάρξει η σχετική παραίνεση από μεριάς ΕΜΕ;


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5437
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Νεα Υλη;

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Απρ 21, 2020 6:04 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 4:42 pm
Μετά από τους διαλόγους που διαβάσαμε και εδώ αλλά και αλλού, καταλαβαίνουμε ότι δεν συμφωνούν όλοι οι μαθηματικοί σε μία μόνο άποψη. Για να μην υπάρχουν λοιπόν προβλήματα μετά τις εξετάσεις, αλλά και για να απαλλαχθεί η επιτροπή θεμάτων από το να βρει όριο που να μην λύνεται στοιχειωδώς με DHL, είναι απαραίτητο να δοθεί οδηγία στους υποψήφιους (η οποία να αναγράφεται στα φυλλάδια των θεμάτων), ότι δεν θα γίνεται δεκτή οποιαδήποτε λύση που χρησιμοποιεί ύλη πέραν αυτής που έχει καθορισθεί, εκτός και αν ο υποψήφιος την αποδείξει με την προκαθορισμένη και μόνο ύλη. Και το πιο σωστό για τους μαθητές, είναι να βγει από τώρα μια τέτοια ανακοίνωση, ώστε να μην υπολογίζουν στο θεώρημα DHL, και να έχουν τον χρόνο να μελετήσουν όρια με τρόπο που ίσως στο σχολείο τους (κακώς βέβαια) δεν τους δόθηκε η ευκαιρία να το πράξουν.
Δημήτρη και λοιποί φίλοι, Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά !

Δυστυχώς τα θεσμικά όργανα στο Υπουργείο Παιδείας είναι πάντα πίσω τα πράγματα και αδιαφορούν προκλητικά μερικές φορές για μείζονα ζητήματα, μια και περιφρονούν για χρόνια τώρα την εκπαιδευτική κοινότητα. Και δεν φταίνε φαντάζομαι οι συνάδελφοι που εργάζονται εκεί, αλλά οι τρομερά δύσκαμπτες και γραφειοκρατικές δομές που έχει ορίσει το Υπουργείο και ο σχετικός νόμος.

Όσον αφορά τα θεωρητικά εργαλεία σε μια τέτοια εξέταση-διαγωνισμό έχω εκφράσει από χρόνια την θέση μου .Ειδικά όμως φέτος η ύλη έχει δοθεί από τον Αύγουστο, κάθε μαθητής είχε δικαίωμα να ολοκληρώσει αυτή την ύλη είτε μόνος του είτε με τους καθηγητές του όποτε εκείνος έκρινε αναγκαίο. Κάθε τι που περιέχει αυτή η αρχική ορισμένη ύλη είναι αξιοποιήσιμο στις εξετάσεις και δεν μπορεί να γίνει αλλιώς.

Όταν στην Α ή στη Β Λυκείου (ή στο Γυμνάσιο) αφαιρούμε στο τέλος κάποιες ενότητες από αυτές που διδάξαμε και ένας μαθητής χρησιμοποιεί κάποιον τύπο ή θεώρημα από αυτά που έχουμε αφαιρέσει, τίθεται ζήτημα να του αφαιρέσουμε το ερώτημα ;

Με το ίδιο σκεπτικό θεωρώ ότι και στη συγκεκριμένη περίπτωση κακώς ασχολούμαστε με αυτό το ζήτημα, διότι είναι πρόδηλο ότι δεν μπορεί να γίνει διαφορετικά.Ό,τι είχε ορίσει η ύλη τον Αύγουστο, είναι καθόλα νόμιμο και δίκαιο να χρησιμοποιηθεί.

Όσο για πιθανή άνιση μεταχείριση κάποιων μαθητών που δεν διδάχθηκαν τη συνάρτηση ολοκλήρωμα ή τον κανόνα DLH κλπ, πρόκειται για εντελώς αίολο επιχείρημα και δεν αντέχει σε καμία κριτική.Οι μαθητές που έμειναν πίσω έχουν, αν διαβάσουμε αλλιώς τα πράγματα, πλεονέκτημα έναντι των άλλων και σε τίποτα δεν μειονεκτούν.

Αυτοί , ενδεχομένως λέμε, πήγαιναν αργά την ύλη, έλυναν διπλάσιες ασκήσεις σε κάθε μάθημα, έγραφαν διαγώνισμα σε κάθε ενότητα , έλυναν τα θέματα προηγουμένων ετών και εμβάθυναν στις έννοιες.Μπορεί να σχεδίαζαν να τελειώσουν την ύλη μέσα ή τέλη Απριλίου.Μια χαρά αρκούσαν δύο μήνες (Μάρτιος-Απρίλιος)για την βγάλουν, με 7 ώρες τη βδομάδα.
Οι άλλοι μαθητές όμως, αυτοί που έτρεξαν την ύλη, διάβαζαν διπλάσιο χρόνο την ημέρα για να τελειώσουν όλη την ύλη, μέχρι και το ολοκλήρωμα, φόρτωσαν τη μνήμη τους με διπλάσια ύλη και τώρα καλούνται να εξεταστούνε στη μισή ύλη ! Και μάλιστα κινδυνεύουν να τιμωρηθούν κι από πάνω !

Ποιος ευνοείται λοιπόν ;
Εμείς βέβαια ξέρουμε ότι για αρκετά σχολεία που έμειναν πίσω στην ύλη, αυτό οφείλεται σε άλλους λόγους, όμως δεν είναι όλοι έτσι. Αυτοί λοιπόν θα αδικούνταν πράγματι μόνο αν τους βάζαμε ερώτημα από την παρακάτω ύλη, που δεν θα την είχαν διδαχθεί.

Αν από την άλλη τιμωρήσουμε εκείνους τους μαθητές που έβγαλαν την ύλη νωρίς , τότε φανερά αδικούμε τους πιο συνεπείς, τιμωρούμε τη γνώση και ακυρώνουμε το ρόλο μας , στο όνομα ενός ανύπαρκτου ζητήματος άνισης μεταχείρισης.
Άνιση μεταχείριση δημιουργείται όταν το ένα σχολείο έχει μόνιμους και έμπειρους καθηγητές από τον Σεπτέμβριο, όταν το σχολείο δουλεύει με ρυθμό, όταν τα παιδιά έχουν στήριξη από τις οικογένειες, οικονομική και μορφωτική και τόσα άλλα, ενώ κάποια σχολεία αντίστοιχα αρχίζουν το μάθημα τον Νοέμβριο και τελειώνουν την ύλη το Μάρτιο, λόγω απειρίας ή αδιαφορίας ,αλλάζοντας τρεις καθηγητές, δύο από τους οποίους είναι ωρομίσθιοι και έρχονται από την άλλη άκρη της Ελλάδας, όταν τα σχολεία υπολειτουργούν κλπ.

Αλλά αυτές τις ανισότητες τις αγνοούμε και καραδοκούμε να κόψουμε (μερικοί το χαίρονται μάλιστα) τις μονάδες από μαθητή που θα κάνει χρήση του DLH λες και αυτός απαγορεύει στον άλλον να το λύσει με άλλον τρόπον ή λες και αυτό δεν το έμαθε από μαθηματικούς ή από το βιβλίο του, αλλά το έκλεψε από κάποιον ! Άσε που ο DLH είναι γνώση πρώτης βαθμίδας που καμία υπεροχή δεν έχει στα απλά όρια.Το να ξέρεις να παραγωγίσεις είναι για έναν μέτριο μαθητή πιο δύσκολο από έναν κοινό παράγοντα ή μι συζυγή παράσταση !

Φαντάσου τώρα αυτός ο μαθητής να πάει για 100, να είναι με μετάλλιο στην ΙΜΟ και να χάσει πέντε μονάδες για αυτόν τον λόγο ! Δίκαια θα έχει να καταλογίζει πνευματική ένδεια στους καθηγητές του όταν θα έχει γίνει ο ίδιος καθηγητής σε κάποιο πανεπιστήμιο ( και συνήθως )στις ΗΠΑ !

Για αυτό πρέπει να αναλάβει γρήγορα δράση το ΙΕΠ και να ξεκαθαρίσει το τοπίο με μία απόφαση.Τι περιμένει; Να τεθεί κάποιο θέμα στις εξετάσεις και να διχαστεί η μαθηματική κοινότητα ; Άσε που θα γελάει η ανθρωπότητα αν πάρουμε απόφαση να αφαιρέσουμε μονάδες από μαθητές που σε κάποιο ερώτημα κάνουν χρήση της παρακάτω ύλης που αφαιρέθηκε !
Δεν θέλω να το σκέφτομαι ούτε ως εφιάλτη !

Δημήτρη, αν φύγω από το σχολείο φέτος, θα είναι για μένα η μεγαλύτερη απογοήτευση στη ζωή μου αν κάποιο όργανο πάρει απόφαση , έστω και έγκαιρα, να αφαιρούνται μονάδες σε τέτοιες περιπτώσεις.

Θα πετάξω όλα τα βιβλία μαθηματικών και θα έρθω να με πάρεις εργάτη στην Ιστιαία, να σκάβω τα αμπέλια μέρα νύχτα και να λέμε ωραίες ιστορίες, άλλου είδους !

Να είστε όλοι καλά-Καλή δύναμη !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Νεα Υλη;

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Απρ 21, 2020 6:50 pm

Φίλε Μπάμπη, καλό βράδυ. Τα επιχειρήματα που έγραψες, με βρίσκουν απόλυτα σύμφωνο. Όμως, όπως έχεις διαπιστώσει, πολλοί άξιοι συνάδελφοι, έχουν αντίθετη άποψη. Οπότε είναι μεγάλο ρίσκο να πει κάποιος στους μαθητές του να χρησιμοποιήσουν π.χ τον κανόνα του DHL. Δεν ξέρουμε το πως θα αντιδράσουν τα εξεταστικά κέντρα. Για αυτό θεωρώ πολύ ανεύθυνη την στάση των υπευθύνων, αν δεν ξεκαθαρίσουν το τοπίο όχι μόνο για φέτος, αλλά γενικά. Το μόνο που έχουν πει, είναι ότι κάθε λύση που βασίζεται σε ύλη που δεν είναι αυτή που καθορίζεται είναι αποδεκτή, αρκεί ο υποψήφιος να αποδείξει τις επί πλέον γνώσεις του με την προκαθορισμένη ύλη. Αυτό θα ήταν λογικό, αν οι επί πλέον γνώσεις ήταν εκτός σχολικού βιβλίου. Οι γνώσεις που αποκτά κάποιος από το σχολικό βιβλίο, είναι απαράδεκτο να μην μπορεί να τις χρησιμοποιήσει, για τους λόγους κυρίως που ανέφερες πιο πάνω. Θυμάμαι, όταν ήμουν μαθητής, στο βιβλίο του ΝΤΖΙΩΡΑ υπήρχε στοιχειώδης αναλυτική γεωμετρία που δεν ήταν εντός ύλης τότε στις εξετάσεις. Επειδή με δυσκόλευαν αρκετές ασκήσεις γεωμετρίας που ήθελαν βοηθητικές, είχα μελετήσει την αναλυτική γεωμετρία , ώστε αν κάποια άσκηση γεωμετρίας με δυσκόλευε, να χρησιμοποιήσω την αναλυτική γεωμετρία. Είχα ρωτήσει τον μαθηματικό μου και μου είχε πει ότι αφού υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, βεβαίως και μπορώ να την χρησιμοποιήσω. Και μάλιστα το χάρηκε που μελετούσα πέραν αυτών που ήμουν υποχρεωμένος να μελετώ.
Βέβαια, εγώ (ως συνταξιούχος) είμαι έξω από τις διαδικασίες, όμως αν δεν ήμουν , και δεδομένου ότι δεν θα βγει κάποια διευκρινιστική οδηγία, θα έλεγα στους μαθητές μου το εξής: "Προσπαθήστε πάρα πολύ να βρείτε το όριο χωρίς τον κανόνα DHL. Αν όμως δεν τα καταφέρετε, τότε χρησιμοποιείστε τον κανόνα, γιατί δεν έχετε τίποτα να χάσετε, αντίθετα υπάρχει πιθανότητα να θεωρήσουν σωστή την ενέργεια σας"
Έχουμε καιρό να τα πούμε από κοντά. Θα χαρώ να έρθετε στην Ιστιαία για να ξεδώσουμε ύστερα από τόση απομόνωση που μας έχει επιβάλει η νέα ασθένεια. Και αν βγεις στην σύνταξη, θα βρισκόμαστε πολύ πιο τακτικά , αλλά ποτέ δεν θα εγκαταλείψουμε τις ατέλειωτες μαθηματικές συζητήσεις. Πολλούς χαιρετισμούς στην οικογένεια


Άρης Κεσογλίδης
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Δευ Ιουν 11, 2018 12:53 pm

Re: Νεα Υλη;

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Άρης Κεσογλίδης » Τετ Απρ 22, 2020 1:25 am

Συμφωνώ στα περισσότερα με τον Μπάμπη Στεργίου, αν και δεν πιστεύω ότι όσοι δεν έβγαλαν την ύλη είναι μαθητές οι οποίοι ήταν πολύ καλά προετοιμασμένοι σε όλα τα κεφάλαια μέχρι τώρα , και πλεονεκτούν λόγω επαναλήψεων και πολλών ασκήσεων στα ίδια.
Είναι και οι μαθητές πιο χαμηλής δυναμικότητας , που με κόπο προσπαθούν να καταλάβουν έννοιες και γι' αυτό δεν προχωράει πολύ η ύλη.

Η γνώμη μου είναι ότι θα μπορούσε να μην είχε βγει από την ύλη ο Κανόνας DLH, και ακόμη και για 2 μέρες να άνοιγαν τα σχολεία, να το διδάσκονταν και όσοι δεν το είχαν διδαχτεί (επίσημα) στα σχολεία.
Ακόμη και τώρα πιστεύω ότι είναι καλό να γίνει , και με συμπληρωματική προσθήκη στην ύλη.

Έτσι υπάρχουν 2 θετικά στην υπόθεση πιστεύω.
1) Δεν θα υπάρχουν παρερμηνείες για το αν πρέπει ή δεν πρέπει να χρησιμοποιηθεί.
2) Θα υπάρχουν πολλοί περισσότερα θέματα στα οποία να υπολογίζονται όρια και για τον υπολογισμό του Συνόλου Τιμών μιας συνάρτησης
(όχι ότι και τώρα δεν υπάρχουν άπειρα θέματα να μπούνε, αλλά θα ήταν ακόμη πιο άνετη η επιτροπή)

Με δεδομένο βέβαια ότι ήδη βγήκε εκτός ύλης (και ότι είναι δύσκολο έως απίθανο να συμπεριληφθεί, όπως εγώ θα ήθελα) ,
θεωρώ ότι δεν πρέπει να κοπούν μονάδες ΑΝ κάποιος τελικά το χρησιμοποιήσει.

** Επίσης, θεωρώ και το θέμα που είπα με την Απόδειξη Ανισότητας με Κυρτότητα και την Εφαπτομένη , σημαντικό για διευκρίνιση, γιατί ναι μεν όπως μου απάντησε ο συνάδελφος Βασίλης Μάρκος λύνονται γενικά με θεώρηση συνάρτησης και μονοτονία, αλλά σε κάποιες ασκήσεις αυτό είναι πιο κοπιαστικό, ενώ με αναφορά στην κυρτότητα και την εφαπτομένη βγαίνει σε 2 γραμμές.


Άρης Κεσογλίδης
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Δευ Ιουν 11, 2018 12:53 pm

Re: Νεα Υλη;

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Άρης Κεσογλίδης » Τετ Απρ 22, 2020 1:47 am

Για παράδειγμα, σκέφτηκα και έγραψα αυτήν την άσκηση:

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x) = \frac{e^x}{x} .

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f , η οποία διέρχεται από το σημείο Ο(0, 0).
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x ≥ 2 , ισχύει : \frac{e^x}{x}\frac{e^2}{4} x .
δ) Να υπολογίσετε το limx \mapsto +\inftyf(x) .
ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .


Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι η ευθεία y = \frac{e^2}{4} x .

Με την κυρτότητα το (γ) βγαίνει αμέσως. Αλλιώς θέλει δουλείτσα.

Επίσης, ποιος διδάσκει το όριο του (δ) χωρίς DLH ;
Έβαλα το (γ) ώστε να μπορεί να το δείξει κάποιος ότι αφού το \frac{e^2}{4} x τείνει στο +\infty , λόγω την ανισότητας (γ) το limx \mapsto +\inftyf(x) θα είναι κι αυτό +\infty .

Ενώ με DLH και το (δ) θα βγει χωρίς το (γ) με μία σχέση. :?

(Εννοείται ότι η Επιτροπή θα κοιτάξει ακριβώς να ΜΗΝ βάλει τέτοια άσκηση, αλλά είπα να τα συνδυάσω.)


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Νεα Υλη;

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Απρ 22, 2020 9:38 am

Άρης Κεσογλίδης έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 1:47 am
Για παράδειγμα, σκέφτηκα και έγραψα αυτήν την άσκηση:

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x) = \frac{e^x}{x} .

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f , η οποία διέρχεται από το σημείο Ο(0, 0).
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x ≥ 2 , ισχύει : \frac{e^x}{x}\frac{e^2}{4} x .
δ) Να υπολογίσετε το limx \mapsto +\inftyf(x) .
ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .


Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι η ευθεία y = \frac{e^2}{4} x .

Με την κυρτότητα το (γ) βγαίνει αμέσως. Αλλιώς θέλει δουλείτσα.

Επίσης, ποιος διδάσκει το όριο του (δ) χωρίς DLH ;
Έβαλα το (γ) ώστε να μπορεί να το δείξει κάποιος ότι αφού το \frac{e^2}{4} x τείνει στο +\infty , λόγω την ανισότητας (γ) το limx \mapsto +\inftyf(x) θα είναι κι αυτό +\infty .

Ενώ με DLH και το (δ) θα βγει χωρίς το (γ) με μία σχέση. :?

(Εννοείται ότι η Επιτροπή θα κοιτάξει ακριβώς να ΜΗΝ βάλει τέτοια άσκηση, αλλά είπα να τα συνδυάσω.)
Καλημέρα. Εγώ προσωπικά την βρίσκω μια χαρά άσκηση! Το γ' βγαίνει αρκετα εύκολα και χωρίς κυρτότητα. Το δ' λύνεται με βάση το γ΄πια... αλλά και χωρίς αυτό βγαίνει.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Νεα Υλη;

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τετ Απρ 22, 2020 11:19 am

Άρης Κεσογλίδης έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 1:47 am
Για παράδειγμα, σκέφτηκα και έγραψα αυτήν την άσκηση:

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x) = \frac{e^x}{x} .

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f , η οποία διέρχεται από το σημείο Ο(0, 0).
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x ≥ 2 , ισχύει : \frac{e^x}{x}\frac{e^2}{4} x .
δ) Να υπολογίσετε το limx \mapsto +\inftyf(x) .
ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .


Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι η ευθεία y = \frac{e^2}{4} x .

Με την κυρτότητα το (γ) βγαίνει αμέσως. Αλλιώς θέλει δουλείτσα.

Επίσης, ποιος διδάσκει το όριο του (δ) χωρίς DLH ;
Έβαλα το (γ) ώστε να μπορεί να το δείξει κάποιος ότι αφού το \frac{e^2}{4} x τείνει στο +\infty , λόγω την ανισότητας (γ) το limx \mapsto +\inftyf(x) θα είναι κι αυτό +\infty .

Ενώ με DLH και το (δ) θα βγει χωρίς το (γ) με μία σχέση. :?

(Εννοείται ότι η Επιτροπή θα κοιτάξει ακριβώς να ΜΗΝ βάλει τέτοια άσκηση, αλλά είπα να τα συνδυάσω.)
Για το (γ') ούτε γάτα ούτε ζημιά, βγαίνει από γνωστή ανισότητα. Παίρνουμε την e^\geq x+1 και θέτουμε όπου x το \dfrac{x-2}{2}, οπότε παίρνουμε την:

\displaystyle{e^{\frac{x-2}{2}}\geq1+\frac{x-2}{2}\Leftrightarrow e^{x-2}\geq\left(\frac{x}{2}\right)^2\Leftrightarrow e^xe^{-2}\geq\frac{x^2}{4}\Leftrightarrow\frac{e^x}{x}\geq\frac{e^2}{4}x}

που ήταν η ζητούμενη. Γενικά, πάρα πολλές ανισότητες που εμπλέκουν την εκθετική και πολυώνυμα - αντίστοιχα, φυσικό λογάριθμο και πολυώνυμα - βγαίνουν με το σωστό θέσιμο σε κάποια από τις γνωστές ανισότητες που ξέρουν τα παιδιά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Νεα Υλη;

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Απρ 22, 2020 1:26 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 11:19 am

Για το (γ') ούτε γάτα ούτε ζημιά, βγαίνει από γνωστή ανισότητα. Παίρνουμε την e^\geq x+1 και θέτουμε όπου x το \dfrac{x-2}{2}, οπότε παίρνουμε την:

\displaystyle{e^{\frac{x-2}{2}}\geq1+\frac{x-2}{2}\Leftrightarrow e^{x-2}\geq\left(\frac{x}{2}\right)^2\Leftrightarrow e^xe^{-2}\geq\frac{x^2}{4}\Leftrightarrow\frac{e^x}{x}\geq\frac{e^2}{4}x}

που ήταν η ζητούμενη. Γενικά, πάρα πολλές ανισότητες που εμπλέκουν την εκθετική και πολυώνυμα - αντίστοιχα, φυσικό λογάριθμο και πολυώνυμα - βγαίνουν με το σωστό θέσιμο σε κάποια από τις γνωστές ανισότητες που ξέρουν τα παιδιά.
Βασίλη καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους.
Για την κουβέντα και μόνο:

Πρόταση: Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα \Delta και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta, αν η f' είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε x_0 που ανήκει στο εσωτερικό του \Delta ισχύει ότι η C_f βρίσκεται πάνω απο την εφαπτομένη της στο x_0 εκτός απο το σημείο επαφής τους.

Απόδειξη:
Έστω (\epsilon) η εφαπτομένη της C_f στο x_0 δηλαδή (\epsilon):y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

θα δείξουμε ότι f(x)\ge f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) με την ισότητα να ισχύει για x=x_0.

Σε καθ'ένα απο τα διαστήματα [x,x_0],~[x_0,x] η f πληρεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής

άρα θα υπάρχουν \xi_1,\xi_2 σε καθ'ένα απο τα διαστήματα (x,x_0),~(x_0,x)

όπου f'(\xi_1)=\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} και f'(\xi_2)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Στην πρώτη περίπτωση ισχύει όμως f'(x_0)>f'(\xi_1)=\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}

ενώ στην δεύτερη f'(x_0)<f'(\xi_2)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

δηλαδή σε κάθε πρίπτωση f(x)-f(x_0)>f'(x_0)(x-x_0) με την ισότητα να ισχύει για x=x_0.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Τετ Απρ 22, 2020 2:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Νεα Υλη;

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Απρ 22, 2020 1:56 pm

Κύριε Χρήστο και κύριε Βασίλη υπέροχες οι παρεμβάσεις σας!!! Απλά να τονίσουμε ότι το γ΄ βγαίνει με απλή μελέτη ελάχιστου διπλοπαραγωγίζοντας!


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Νεα Υλη;

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Απρ 25, 2020 1:56 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 1:26 pm
Βασίλη καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους.
Για την κουβέντα και μόνο:

Πρόταση: Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα \Delta και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta, αν η f' είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε x_0 που ανήκει στο εσωτερικό του \Delta ισχύει ότι η C_f βρίσκεται πάνω απο την εφαπτομένη της στο x_0 εκτός απο το σημείο επαφής τους.

Απόδειξη:
Έστω (\epsilon) η εφαπτομένη της C_f στο x_0 δηλαδή (\epsilon):y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

θα δείξουμε ότι f(x)\ge f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) με την ισότητα να ισχύει για x=x_0.

Σε καθ'ένα απο τα διαστήματα [x,x_0],~[x_0,x] η f πληρεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής

άρα θα υπάρχουν \xi_1,\xi_2 σε καθ'ένα απο τα διαστήματα (x,x_0),~(x_0,x)

όπου f'(\xi_1)=\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} και f'(\xi_2)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Στην πρώτη περίπτωση ισχύει όμως f'(x_0)>f'(\xi_1)=\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}

ενώ στην δεύτερη f'(x_0)<f'(\xi_2)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

δηλαδή σε κάθε πρίπτωση f(x)-f(x_0)>f'(x_0)(x-x_0) με την ισότητα να ισχύει για x=x_0.
Καλημέρα και χρόνια πολλά!

Ωραία πρόταση. Μπορούμε να δούμε κι ένα ακόμα, λίγο πιο γενικό, μιας και άνοιξε αυτή η κουβέντα.

Πρόταση: Έστω συνάρτηση f:(a,b)\to\mathbb{R} πραγωγίσιμη στο (a,b) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x_0\in(a,b) στο οποίο όμως είναι συνεχής. Έστω επίσης ότι η παράγωγος της f είναι γνησίως αύξουσα στα (a,x_0),(x_0,b) και τα όρια:

\displaystyle{f_-'(x_0):=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\ f_+'(x_0):=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

υπάρχουν και μάλιστα f_-'(x_0)\leq f_+'(x_0). Τότε, για κάθε \lambda\in[f_-'(x_0),f_+'(x_0)] ισχύει:

\displaystyle{f(x)\geq\lambda(x-x_0)+f(x_0).}

Να αποδείξουμε κι ένα λήμμα πριν την απόδειξη (είναι το γνωστό λήμμα των τριών χορδών για κυρτές/κοίλες συναρτήσεις):

Λήμμα: Αν f:(a,b)\to\mathbb{R} είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση με γνησίως αύξουσα παράγωγο και x_1,x_2,x_3\in(a,b) με x_1<x_2<x_3 τότε:

\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.}

Απόδειξη: Θέτουμε για ευκολία:

\displaystyle{a=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}\Leftrightarrow 1-a=\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1},}

οπότε παρατηρούμε ότι a\in(0,1) και:

\displaystyle{x_2=ax_1+(1-a)x_3.}

Από ΘΜΤ στα [x_1,x_2] και [x_2,x_3] παίρνουμε \xi_1\in(x_1,x_2) και \xi_2\in(x_2,x_3) αντίστοιχα τέτοια ώστε:

\displaystyle{f'(\xi_1)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},\ f'(\xi_2)=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}

Από την μονοτονία της f' έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f'(\xi_1)<f'(\xi_2)&\Leftrightarrow\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\\ 
&\Leftrightarrow\frac{f(x_2)-f(x_1)}{1-a}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{a}\\ 
&\Leftrightarrow f(x_2)<(1-a)f(x_3)+af(x_1)\\ 
&\Leftrightarrow f(x_2)-f(x_1)<(1-a)f(x_3)-(1-a)f(x_1)\\ 
&\Leftrightarrow\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}. 
\end{aligned}}

Ομοίως και η δεύτερη ανισότητα.

Τώρα, στη απόδειξη της πρότασης.

Απόδειξη: Για x=x_0 η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα. Διακρίνουμε τώρα περιπτώσεις.

Αν x\in(a,x_0) τότε για τη συνάρτηση g(x)=f(x)-\lambda(x-x_0) έχουμε ότι:

\displaystyle{g'(x)=f'(x)-\lambda\leq f'(x)-f_-'(x_0).}

Αν πάρουμε τώρα a<x<t<s<x_0 από το λήμμα των τριών χορδών (δε θέλουμε και τις δύο ανισότητες, βέβαια) έχουμε ότι:

\displaystyle{\frac{f(x)-f(t)}{x-t}<\frac{f(s)-f(t)}{s-t}<\frac{f(s)-f(x_0)}{s-x_0}\Rightarrow\frac{f(x)-f(t)}{x-t}<\frac{f(s)-f(x_0)}{s-x_0}}

Αφήνοντας s\to x_0 και t\to x έπεται ότι f'(x)\leq f'_-(x_0) άρα g'(x)\leq0 για κάθε x\in(a,x_0). Τώρα, το ίσο ισχύει το πολύ για ένα σημείο (αφού η f' είναι γνησίως μονότονη, άρα και η g'), επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (a,x_0] και, ως εκ τούτου:

\displaystyle{g(x)>g(x_0)=f(x_0),}

για κάθε x\in(a,x_0) που ήταν το ζητούμενο.

Ομοίως η δεύτερη περίπτωση, x\in(x_0,b).

Τα παραπάνω, βεβαίως-βεβαίως είναι πιο απλά αν πάρουμε τον συνήθη ορισμό της κυρτότητας.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Νεα Υλη;

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 25, 2020 9:50 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Απρ 25, 2020 1:56 pm
Christos.N έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 1:26 pm
Βασίλη καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους.
Για την κουβέντα και μόνο:

Πρόταση: Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα \Delta και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta, αν η f' είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε x_0 που ανήκει στο εσωτερικό του \Delta ισχύει ότι η C_f βρίσκεται πάνω απο την εφαπτομένη της στο x_0 εκτός απο το σημείο επαφής τους.

Απόδειξη:
Έστω (\epsilon) η εφαπτομένη της C_f στο x_0 δηλαδή (\epsilon):y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

θα δείξουμε ότι f(x)\ge f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) με την ισότητα να ισχύει για x=x_0.

Σε καθ'ένα απο τα διαστήματα [x,x_0],~[x_0,x] η f πληρεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής

άρα θα υπάρχουν \xi_1,\xi_2 σε καθ'ένα απο τα διαστήματα (x,x_0),~(x_0,x)

όπου f'(\xi_1)=\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} και f'(\xi_2)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Στην πρώτη περίπτωση ισχύει όμως f'(x_0)>f'(\xi_1)=\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}

ενώ στην δεύτερη f'(x_0)<f'(\xi_2)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

δηλαδή σε κάθε πρίπτωση f(x)-f(x_0)>f'(x_0)(x-x_0) με την ισότητα να ισχύει για x=x_0.
Καλημέρα και χρόνια πολλά!

Ωραία πρόταση. Μπορούμε να δούμε κι ένα ακόμα, λίγο πιο γενικό, μιας και άνοιξε αυτή η κουβέντα.

Πρόταση: Έστω συνάρτηση f:(a,b)\to\mathbb{R} πραγωγίσιμη στο (a,b) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x_0\in(a,b) στο οποίο όμως είναι συνεχής. Έστω επίσης ότι η παράγωγος της f είναι γνησίως αύξουσα στα (a,x_0),(x_0,b) και τα όρια:

\displaystyle{f_-'(x_0):=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\ f_+'(x_0):=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

υπάρχουν και μάλιστα f_-'(x_0)\leq f_+'(x_0). Τότε, για κάθε \lambda\in[f_-'(x_0),f_+'(x_0)] ισχύει:

\displaystyle{f(x)\geq\lambda(x-x_0)+f(x_0).}

Να αποδείξουμε κι ένα λήμμα πριν την απόδειξη (είναι το γνωστό λήμμα των τριών χορδών για κυρτές/κοίλες συναρτήσεις):

Λήμμα: Αν f:(a,b)\to\mathbb{R} είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση με γνησίως αύξουσα παράγωγο και x_1,x_2,x_3\in(a,b) με x_1<x_2<x_3 τότε:

\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.}

Απόδειξη: Θέτουμε για ευκολία:

\displaystyle{a=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}\Leftrightarrow 1-a=\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1},}

οπότε παρατηρούμε ότι a\in(0,1) και:

\displaystyle{x_2=ax_1+(1-a)x_3.}

Από ΘΜΤ στα [x_1,x_2] και [x_2,x_3] παίρνουμε \xi_1\in(x_1,x_2) και \xi_2\in(x_2,x_3) αντίστοιχα τέτοια ώστε:

\displaystyle{f'(\xi_1)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},\ f'(\xi_2)=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}

Από την μονοτονία της f' έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f'(\xi_1)<f'(\xi_2)&\Leftrightarrow\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\\ 
&\Leftrightarrow\frac{f(x_2)-f(x_1)}{1-a}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{a}\\ 
&\Leftrightarrow f(x_2)<(1-a)f(x_3)+af(x_1)\\ 
&\Leftrightarrow f(x_2)-f(x_1)<(1-a)f(x_3)-(1-a)f(x_1)\\ 
&\Leftrightarrow\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}. 
\end{aligned}}

Ομοίως και η δεύτερη ανισότητα.

Τώρα, στη απόδειξη της πρότασης.

Απόδειξη: Για x=x_0 η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα. Διακρίνουμε τώρα περιπτώσεις.

Αν x\in(a,x_0) τότε για τη συνάρτηση g(x)=f(x)-\lambda(x-x_0) έχουμε ότι:

\displaystyle{g'(x)=f'(x)-\lambda\leq f'(x)-f_-'(x_0).}

Αν πάρουμε τώρα a<x<t<s<x_0 από το λήμμα των τριών χορδών (δε θέλουμε και τις δύο ανισότητες, βέβαια) έχουμε ότι:

\displaystyle{\frac{f(x)-f(t)}{x-t}<\frac{f(s)-f(t)}{s-t}<\frac{f(s)-f(x_0)}{s-x_0}\Rightarrow\frac{f(x)-f(t)}{x-t}<\frac{f(s)-f(x_0)}{s-x_0}}

Αφήνοντας s\to x_0 και t\to x έπεται ότι f'(x)\leq f'_-(x_0) άρα g'(x)\leq0 για κάθε x\in(a,x_0). Τώρα, το ίσο ισχύει το πολύ για ένα σημείο (αφού η f' είναι γνησίως μονότονη, άρα και η g'), επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (a,x_0] και, ως εκ τούτου:

\displaystyle{g(x)>g(x_0)=f(x_0),}

για κάθε x\in(a,x_0) που ήταν το ζητούμενο.

Ομοίως η δεύτερη περίπτωση, x\in(x_0,b).

Τα παραπάνω, βεβαίως-βεβαίως είναι πιο απλά αν πάρουμε τον συνήθη ορισμό της κυρτότητας.
Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Απρ 25, 2020 1:56 pm
Τα παραπάνω, βεβαίως-βεβαίως είναι πιο απλά αν πάρουμε τον συνήθη ορισμό της κυρτότητας.
Προφανώς αναφέρεσαι στο λήμμα των τριών χορδών.


Η απόδειξη μπορεί να γίνει και χωρίς αυτό.
(χρησιμοποιώ κάποια κομμάτια από την απόδειξη του Μάρκου.)

Για x\in(a,x_0) θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(x)-\lambda(x-x_0)
Είναι
\displaystyle{g'(x)=f'(x)-\lambda}.

Θα δείξουμε ότι f'(x)<\lambda για x\in(a,x_0).

Αν δεν ισχύει θα υπάρχει x_1 \in(a,x_0) με f'(x_1) \ge \lambda.

Επειδή η f' είναι γνησίως αύξουσα θα υπάρχει x_2 με f'(x_2) >\lambda
πχ \displaystyle x_{2}=\dfrac{x_{1}+x_{0}}{2}

Παίρνουμε ένα c ώστε f'(x_2) >c>\lambda.
π.χ\displaystyle c=\dfrac{f'(x_2)+\lambda }{2}

Είναι
\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq \lambda<c.

Θα υπάρχει αριστερά και κοντά στο x_0 ένα x_3 ώστε

\displaystyle  \frac{f(x_3)-f(x_0)}{x_3-x_0} <c
Είναι προφανές ότι μπορούμε να πάρουμε το x_3 ώστε x_2<x_3<x_0.

Απο ΘΜΤ υπαρχει x_4 με \displaystyle \frac{f(x_3)-f(x_0)}{x_3-x_0}=f'(x_4)
και  x_3<x_4<x_0.

Τότε όμως θα είναι \displaystyle f'(x_2)>c>f'(x_4) που είναι άτοπο αφού x_2<x_4
και f' είναι γνησίως αύξουσα.

Αρα είναι \displaystyle f'(x)<\lambda για x\in(a,x_0).

Ετσι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (a,x_0] και, ως εκ τούτου:

\displaystyle{g(x)>g(x_0)=f(x_0),}

για κάθε x\in(a,x_0) που ήταν το ζητούμενο.

Τα ίδια δουλεύουν και δεξιά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες