mathematica.gr

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Τις μέρες τούτες όλοι μας, αλλά και ολόκληρος ο κόσμος, ζει και βιώνει

την επιδημία του κορωνοϊού.

Επειδή πίσω από την επιστήμη της ιατρικής ακούγονται και διάφορα μαθηματικά μοντέλα,

(στατιστικοί πίνακες, πιθανότητες, προβλέψεις, καμπύλες, γεωμετρικές πρόοδοι, εκθετικές συναρτήσεις, κ.ά.),

δηλαδή μελέτες και προβλέψεις μέσα από την λογική της Μαθηματικής Σκέψης, που πηγάζει από

ένα ολόκληρο και αφανή κόσμο των μαθηματικών, αξίζει να τονιστεί η ανθρωπιστική σημασία του έργου

κι αυτών των ανθρώπων, όπου γης.

Εγώ κλεισμένος και μπροστά στον υπολογιστή παρακολουθώ τα δρώμενα σχετικά με τον κορονοϊό.

Ακούγοντας κάθε απόγευμα τα στατιστικά από τον κ. Σωτήρη Τσιόδρα, κυρίως τα νέα κρούσματα, σκέφτηκα να

ρωτήσω τα Μαθηματικά. Έτσι σκέφτηκα την παλινδρόμηση.
Το σχήμα που αναρτώ έχει ακριβώς τα στοιχεία, των νέων κρουσμάτων μέχρι και σήμερα 8 Απριλίου 2020
από τις 30 Μαρτίου 2020 ,(0,82).
Η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης, όπως φαίνεται από το διάγραμμα αυτό, "προβλέπει"(;), ότι ο μηδενισμός
των κρουσμάτων θα συμβεί κατά το διάσημα μεταξύ της 24 μει 25 Απριλίου, αν βέβαια όλες οι άλλες παράμετροι
του όλου δρώμενου είναι σταθερές.
Ο οριζόντιος άξονας δηλώνει τις μέρες του Απριλίου 2020 και ο κατακόρυφος τον αριθμό των νέων κρουσμάτων.

Το γράφημα αυτό το ενημερώνω κάθε μέρα.....

Ίδωμεν....

Κώστας Δόρτσιος

KDORTSI έγραψε: ↑

Τετ Απρ 08, 2020 9:56 pm

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Τις μέρες τούτες όλοι μας, αλλά και ολόκληρος ο κόσμος, ζει και βιώνει

την επιδημία του κορωνοϊού.
........................................................
Έτσι σκέφτηκα την παλινδρόμηση.



Το σχήμα που αναρτώ έχει ακριβώς τα στοιχεία, των νέων κρουσμάτων μέχρι και σήμερα 8 Απριλίου 2020
από τις 30 Μαρτίου 2020 ,(0,82).
Η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης, όπως φαίνεται από το διάγραμμα αυτό, "προβλέπει"(;), ότι ο μηδενισμός
των κρουσμάτων θα συμβεί κατά το διάσημα μεταξύ της 24 μει 25 Απριλίου, αν βέβαια όλες οι άλλες παράμετροι
του όλου δρώμενου είναι σταθερές.
Ο οριζόντιος άξονας δηλώνει τις μέρες του Απριλίου 2020 και ο κατακόρυφος τον αριθμό των νέων κρουσμάτων.

Το γράφημα αυτό το ενημερώνω κάθε μέρα.....

Ίδωμεν....

Κώστας Δόρτσιος

Καλησπέρα....

Μετά από μια εβδομάδα, αναρτώ το ακόλουθο γράφημα

με τα στοιχεία νέων κρουσμάτων μέχρι και σήμερα..
Και πάλι:

Ίδωμεν....

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα και Καλό Πάσχα, με υγεία σε όλους!

Έκανα μια επεξεργασία "με το χέρι" στο διάγραμμα του Κώστα, χρησιμοποιώντας τον τύπο της ευθείας παλινδρόμησης (εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων) από το σχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου (Γενικής Παιδείας).

Προκύπτει ακριβώς η ευθεία που έδωσε ο Κώστας. Μακάρι!


Δίνω το σχετικό αρχείο Geogebra.

Καλησπέρα...

Μετά και τα σημερινά αποτελέσματα για τα νέα κρούσματα, αναρτώ για τρίτη εβδομάδα το

διάγραμμα της γραμμικής παλινδρόμησης των νέων κρουσμάτων του κορονοϊού...


Από ό, τι φαίνεται ο μηδενισμός μετατοπίστηκε περίπου στις 8 Μαΐου 2020!

Και πάλι: Ίδωμεν....

Κώστας Δόρτσιος

Καλησπέρα κύριε Κώστα! Δεν γνωρίζω αλλά τα 156 κρούσματα μήπως δεν θα έπρεπε να προσμετρηθούν; Μήπως έπρεπε να μπουν στην θέση τους μόνο τα 6;

Κώστα και λοιποί Φίλοι, Χριστός Ανέστη!!

Δηλαδή, Κώστα, αν δεν είχαμε το Κρανίδι, "πηγαίναμε σφαίρα" για τις 26/4, η ξεγελάει το μάτι;;

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2020 9:45 pm

Καλησπέρα κύριε Κώστα! Δεν γνωρίζω αλλά τα 156 κρούσματα μήπως δεν θα έπρεπε να προσμετρηθούν; Μήπως έπρεπε να μπουν στην θέση τους μόνο τα 6;

Την ίδια άποψη έχω κι εγώ.

rek2 έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2020 9:49 pm

Κώστα και λοιποί Φίλοι, Χριστός Ανέστη!!

Δηλαδή, Κώστα, αν δεν είχαμε το Κρανίδι, "πηγαίναμε σφαίρα" για τις 26/4, η ξεγελάει το μάτι;;

Κώστα καλησπέρα και Χρόνια Πολλά. Δεν σε ξεγελά το μάτι. Οι υπολογισμοί έγιναν με στη συνάρτηση ελαχίστων τετραγώνων και δείχνει ακριβώς αυτό.

Όμως, όταν οι τιμές γύρω από την ευθεία παλινδρόμησης ενώ για μέρες συμπεριφέρονται όπως πρέπει κι έχουμε μια ξαφνική κορύφωση, ΔΕΝ φταίει η Στατιστική και οι τύποι της, απλά έχει γίνει κάποιο σφάλμα ή αστοχία στη δειγματοληψία. Αν συνεχίσουμε να εντοπίζουμε τέτοια φαινόμενα (κάτι που όλοι απευχόμαστε) τότε αλλάζουν τα δεδομένα και η γραμμή θα σηκώσει κεφάλι...

Η ένδειξη (156) δεν είναι σωστή γιατί έπρεπε να είχε διαχυθεί στις προηγούμενες ημέρες (ΔΕΝ κόλλησαν όλοι ταυτόχρονα!).

Αν βρω χρόνο, θα κάνω μια προσομοίωση με διαμοιρασμό των τιμών σε προηγούμενες μέρες (από 16-4 κι έπειτα) να δούμε πώς θα επηρεαστεί η ευθεία. Ίδωμεν, όπως γράφει ο αγαπητός Κώστας!

Φίλοι μου γεια σας και Χρόνια Πολλά.

Νίκο, Κώστα, Γιάννη και Γιώργο έχετε δίκιο.

Στο σχήμα μου έβαλα τα στοιχεία, όπως ακριβώς τα άκουγα
από το κανάλι της ΕΤ2, κοντά στις έξη το απόγευμα.

Για παράδειγμα, την ημέρα του Πάσχα δεν έγινε ενημέρωση. Έτσι τα
δέκα νέα κρούσματα σημειώθηκαν στις 20 Απριλίου, αν όμως
σημειώνονταν 5 στις 19 και 5 στις 20, τότε θα προέκυπτε
άλλη καμπύλη, η οποία, όπως λέτε, θα κατέληγε νωρίτερα στο μηδενισμό.

Το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση της χθεσινής καταγραφής (21, 156) η οποία έδωσε μια μικρή απομάκρυνση.

Και πάλι: Ίδωμεν...

Κώστας Δόρτσιος

KDORTSI έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2020 11:16 pm

Φίλοι μου γεια σας και Χρόνια Πολλά.

Νίκο, Κώστα, Γιάννη και Γιώργο έχετε δίκιο.

Στο σχήμα μου έβαλα τα στοιχεία, όπως ακριβώς τα άκουγα
από το κανάλι της ΕΤ2, κοντά στις έξη το απόγευμα.

Για παράδειγμα, την ημέρα του Πάσχα δεν έγινε ενημέρωση. Έτσι τα
δέκα νέα κρούσματα σημειώθηκαν στις 20 Απριλίου, αν όμως
σημειώνονταν 5 στις 19 και 5 στις 20, τότε θα προέκυπτε
άλλη καμπύλη, η οποία, όπως λέτε, θα κατέληγε νωρίτερα στο μηδενισμό.

Το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση της χθεσινής καταγραφής (21, 156) η οποία έδωσε μια μικρή απομάκρυνση.

Και πάλι: Ίδωμεν...

Κώστας Δόρτσιος

Αναρτώ μια εκδοχή της γραμμής με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, ξεκινώντας περίπου από το σημείο, όπου φαίνεται ότι άρχισε η πτώση του ρυθμού εμφάνισης κρουσμάτων (31 Μαρτίου). Μοίρασα τα κρούσματα σε πέντε ημέρες και η γραμμή επανήλθε στα φυσιολογικά της, εκτός από την -ελπίζω μεμονωμένη- κορυφή της 23ης Απριλίου με τα κρούσματα στις κλινικές και δομές φιλοξενίας προσφύγων.

Άραγε αυτό είναι "δημιουργική λογιστική" ή ανταποκρίνεται σε ρεαλιστικά δεδομένα, διορθώνοντας την προφανή λανθασμένη χρονικά μέτρηση;
Ίδωμεν!

Καλησπέρα...

Για τέταρτη εβδομάδα και συνεχίζω το "παιχνίδι" αυτό...


Η ιστορία συνεχίζεται με άλλη μορφή. Η καταγραφή συνεχίζεται...

Ίδωμεν...

Κώστας Δόρτσιος

Καλησπέρα....

Η συμπλήρωση του διαγράμματος για πέμπτη εβδομάδα.
Η πρώτη εβδομάδα του Μαΐου 2020.
Δεν ξέρω, αλλά η ενάτη Μαΐου πλησιάζει.

Θα δούμε...

Κώστας Δόρτσιος

Καλησπέρα...

Η καταχώριση των νέων κρουσμάτων για έκτη εβδομάδα...
Ο στόχος του μηδενισμού ίσως, προς το παρόν, είναι μια ουτοπία...

Αναμένουμε...

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα,
προφανώς και ο στόχος αυτός είναι ουτοπία γιατί τα δεδομένα που τον επηρεάζουν αλλάζουν συνεχώς (Πάσχα, Πρωτομαγιά, χαλάρωση μέτρων σταδιακά). Όταν γίνουν όλα ελεύθερα, μετά από 2 εβδομάδες θα είναι τα δεδομένα πραγματικά. Πάντως κ. Κώστα σας ευχαριστούμε για την ωραία εφαρμογή που κάνετε και μας δείχνει την αξία των μαθηματικών, αλλά και με τα τελευταία δεδομένα την αξία του σλόγκαν "υπό κανονικές συνθήκες", που φαίνεται ότι ακόμα δεν ισχύουν.

Καλησπέρα..
Φώτη σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια...
Να είσαι καλά με την οικογένειά σου...

Αναρτώ για έβδομη εβδομάδα την ευθεία η οποία με τα μέχρι τώρα
δεδομένα "δείχνει" την εξέλιξή της.
Αυτή τη μορφή έχει η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων για τα νέα κρούσματα ... μέχρι και σήμερα.

Κώστας Δόρτσιος

Καλησπέρα....

Αναρτώ τα νέα κρούσματα σε ένα διάγραμμα γραμμικής παλινδρόμησης για την 8η εβδομάδα,
το οποίο είναι από πλευρά μου το τελευταίο.
Ευχή για ένα αντίο στη λαίλαπα αυτή...
Από ό,τι φαίνεται το σημείο τομής της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων είναι κατά την 25η Μαΐου 2020
ενώ ακόμη ο μηδενισμός των νέων κρουσμάτων δεν έχει μηδενιστεί!
Έτσι μερικές δικές μου απορίες:

1) Τι θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού;
2) Έχει προβλεψιμότητα;
3) Ποιες είναι οι ευρύτερες πληροφορίες που μας δίνει για την εξέλιξη του φαινομένου;
4) Σε σχέση με τα εικονικά παραδείγματα ενός βιβλίου διδαχής της έννοιας αυτής, τι θα λέγατε;

Κώστας Δόρτσιος

KDORTSI έγραψε: ↑

Τετ Μάιος 27, 2020 6:38 pm

1) Τί θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού;
2) Έχει προβλεψιμότητα;
3) Ποια η χρησιμότητά του;
4) Σε σχέση με τα εικονικά παραδείγματα ενός βιβλίου διδαχής της έννοιας αυτής τί θα λέγατε;

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα καλησπέρα,

Θα έλεγα ή μάλλον θα φώναζα (για πρώτη φορά στα 11 χρόνια που γράφω στο )

Στον επόμενο, ήδη αναγκαίο σχεδιασμό για την πρόσβαση στη Γ/βάθμια εκπαίδευση, πρέπει τα μαθηματικά, με βάρος στις ενότητες κυρίως από το στοχαστικό χώρο, να εξετάζονται υποχρεωτικά για την εισαγωγή των Υποψηφίων στις Σχολές Επιστημών Υγείας.

Επίσης θα έλεγα ότι το διάγραμμα του Κώστα πρέπει να ενταχθεί στην επόμενη έκδοση του βιβλίου Στατιστικής ως ρεαλιστικό παράδειγμα εφαρμογής της θεωρίας.(*)

Επίσης, η θεωρία να διδάσκεται σε βάθος στη Γ΄ Λυκείου και να αποτελεί τμήμα της εξεταστέας ύλης, όπως σε όλον τον πολιτισμένο κόσμο, κι όχι
να στριμώχνεται σε 8 ώρες ανάμεσα σε άσχετες ενότητες της Β΄ Λυκείου και μάλιστα να μην είναι εξεταστέα ύλη!

Α! με την ευκαιρία, το βιβλίο Στατιστικής ονομάστε το βιβλίο κι όχι φάκελο (!), αλλιώς βάλτε του και τσεπάκια να μοιάζει με φάκελο!




(*) Καλό θα ήταν με αναφορά στο δημιουργό και παραπομπή στην εν λόγω συζήτηση!
Υπόσχομαι, τότε να διαγράψω τούτα τα σχόλια.

KDORTSI έγραψε: ↑

Τετ Μάιος 27, 2020 6:38 pm

Καλησπέρα....

Αναρτώ τα νέα κρούσματα σε ένα διάγραμμα γραμμικής παλινδρόμησης για την 8η εβδομάδα,
το οποίο είναι από πλευρά μου το τελευταίο.
Ευχή για ένα αντίο στη λαίλαπα αυτή...

Κορωνοϊός - παλινδρόμηση 8.png

Από ό,τι φαίνεται το σημείο τομής της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων είναι κατά την 25η Μαΐου 2020
ενώ ακόμη ο μηδενισμός των νέων κρουσμάτων δεν έχει μηδενιστεί!
Έτσι μερικές δικές μου απορίες:

1) Τί θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού;
2) Έχει προβλεψιμότητα;
3) Ποια η χρησιμότητά του;
4) Σε σχέση με τα εικονικά παραδείγματα ενός βιβλίου διδαχής της έννοιας αυτής τί θα λέγατε;

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα χαιρετώ εσένα και τα ωραία Γρεβενά
Δεν νομίζω ότι είναι χρήσιμο.
Τα στοιχεία απέχουν πολύ από το να βρίσκονται πάνω σε ευθεία.
Αυτό φαίνεται και από το διάγραμμα.
Υπάρχει και το πρόβλημα με ποια στοιχεία πρέπει να βάλουμε.
π.χ αν θυμάμαι υπήρχε ένα πλοίο που ηρθε από εξω και είχε γύρω στα 120 κρούσματα.
Δεν νομίζω ότι θα έπρεπε αυτά να είναι στο διάγραμμα.
Είναι πιο πιθανόν είναι να μην είναι ευθεία αλλά συνάρτηση της μορφής

και βέβαια άλλα θα πρέπει να είναι τα στην αρχή που έχουμε αύξηση κρουσμάτων
και άλλα όταν αρχίσει η μείωση.
Να σημειώσω ότι τα μπορούμε να τα βρούμε με ελάχιστα τετράγωνα αν
την (1) την γράψουμε ως


Υπάρχουν τέστ που μας δείχνουν αν η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ανταποκρίνεται
στην πραγματική σχέση των δεδομένων.
Νομίζω ότι αν εφαρμοσθούν θα δείξουν ότι τα στοιχεία δεν βρίσκονται σε γραμμική σχέση.

Ένα άλλο σημείο που νομίζω ότι θα έπρεπε να τονιστεί είναι ότι τα παραπάνω ισχύουν ceteris paribus. Στην περίπτωσή μας, συστηματικά αλλάζουν και άλλες παράμετροι του προβλήματος πέρα από τον χρόνο - όπως τα spikes που οφείλονται σε στοχευμένη δειγματοληψία ή το περιβάλλον μέσα στο οποίο κινούνται τα άτομα (καραντίνα vs «κανονικότητα») - οπότε η σχέση, ακόμα κι αν ήταν γραμμική κάποτε, σίγουρα δεν μπορεί να παραμείνει γραμμική.

Ωστόσο, ακριβώς αυτή είναι η χρησιμότητα του παραπάνω παραδείγματος. Ότι δεν είναι όλα μία γραμμική παλινδρόμηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τετ Μάιος 27, 2020 9:59 pm

KDORTSI έγραψε: ↑

Τετ Μάιος 27, 2020 6:38 pm

1) Τί θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού;
2) Έχει προβλεψιμότητα;
3) Ποια η χρησιμότητά του;
4) Σε σχέση με τα εικονικά παραδείγματα ενός βιβλίου διδαχής της έννοιας αυτής τί θα λέγατε;
Κώστας Δόρτσιος

Δεν νομίζω ότι είναι χρήσιμο.
Τα στοιχεία απέχουν πολύ από το να βρίσκονται πάνω σε ευθεία.
Αυτό φαίνεται και από το διάγραμμα.
Υπάρχει και το πρόβλημα με ποια στοιχεία πρέπει να βάλουμε.
π.χ αν θυμάμαι υπήρχε ένα πλοίο που ηρθε από εξω και είχε γύρω στα 120 κρούσματα.
Δεν νομίζω ότι θα έπρεπε αυτά να είναι στο διάγραμμα.
(...)
Υπάρχουν τέστ που μας δείχνουν αν η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ανταποκρίνεται
στην πραγματική σχέση των δεδομένων.
Νομίζω ότι αν εφαρμοσθούν θα δείξουν ότι τα στοιχεία δεν βρίσκονται σε γραμμική σχέση.

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 28, 2020 12:12 am

Ένα άλλο σημείο που νομίζω ότι θα έπρεπε να τονιστεί είναι ότι τα παραπάνω ισχύουν ceteris paribus. Στην περίπτωσή μας, συστηματικά αλλάζουν και άλλες παράμετροι του προβλήματος πέρα από τον χρόνο - όπως τα spikes που οφείλονται σε στοχευμένη δειγματοληψία ή το περιβάλλον μέσα στο οποίο κινούνται τα άτομα (καραντίνα vs «κανονικότητα») - οπότε η σχέση, ακόμα κι αν ήταν γραμμική κάποτε, σίγουρα δεν μπορεί να παραμείνει γραμμική.
Ωστόσο, ακριβώς αυτή είναι η χρησιμότητα του παραπάνω παραδείγματος. Ότι δεν είναι όλα μία γραμμική παλινδρόμηση.

Καλησπέρα σε όλους. Ασφαλώς είναι σωστές οι παρατηρήσεις του Σταύρου και του Βασίλη σχετικά με την αποτύπωση με ένα διάγραμμα ενός ρεαλιστικού φαινομένου λόγω της επίδρασης πολλαπλών παραμέτρων που δεν είναι εύκολο να μελετηθούν σε πραγματικό χρόνο.
Επίσης, δεν νομίζω να πιστεύει κανείς ότι τα σημεία στο σύστημα αξόνων μπορεί "να βρίσκονται σε ευθεία". Δεν θα ήταν φυσιολογικό κάτι τέτοιο! Ακόμα, η περιορισμένη δειγματοληψία, αλλά και οι μαζικές καταγραφές σε μια μέρα (που σχολιάζονται στην παραπάνω συζήτηση) καθιστούν την όλη καταγραφή προβληματική όσον αφορά την πραγματική σχέση των δεδομένων.

Στο σχολικό βιβλίο αναφέρεται ότι με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων αναζητάμε την καλύτερη ευθεία που προσαρμόζεται στα δεδομένα (όπως αυτά έχουν δημοσιοποιηθεί). Υπό αυτή τη σκοπιά έγραψα παραπάνω ότι θεωρώ χρήσιμη τη σταδιακή-χρονική παρουσίαση του Κώστα, που αξιοποίησε το λογισμικό του Geogebra. Το οποίο (λογισμικό) χρησιμοποιεί σωστά τον τύπο της ευθείας παλινδρόμησης (εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων), όπως φαίνεται στο συνημμένο αρχείο Ευθεία Παλινδρόμησης.ggb στην ανάρτηση #3.

Μια μελέτη υψηλού επιστημονικού επιπέδου ενός ερευνητικού κέντρου θα έπρεπε, λοιπόν, να συμπεριλάβει πολύ περισσότερες παραμέτρους και να αξιοποιήσει δεδομένα και στοιχεία που μόνο ειδικοί μελετητές μπορούν να επεξεργαστούν.

Απαντώντας όμως στο 4ο ερώτημα του Κώστα, επαναλαμβάνω ότι το παράδειγμα μπορεί να αξιοποιηθεί ως ρεαλιστικό μοντέλο μελέτης ενός φαινομένου και μάλιστα για εξάσκηση μαθητών στη χρήση των εργαλείων της τεχνολογίας, όπως το Geogebra, κάνοντας αναφορά στη σχέση που έχει ένα απλοποιημένο μοντέλο εργαστηρίου με τα πραγματικά πολύπλοκα φαινόμενα. Δείτε π.χ. το ελάχιστα ελκυστικό, θα έλεγα, παράδειγμα του σχολικού βιβλίου (πάλαι ποτέ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου) με τα ποντίκια που εμβολιάζονται στη σελίδα 113. Εκεί μάλιστα αναφέρεται: "Οι προβλέψεις της εξαρτημένης μεταβλητής έχουν νόημα, είναι δηλαδή δυνατές, μόνο για τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής οι οποίες βρίσκονται στο διάστημα που έχουμε εξετάσει ή τουλάχιστον πολύ κοντά στα άκρα του διαστήματος αυτού".

Τίθεται λοιπόν το ερώτημα: Θα διδάσκουμε με φτιαχτά απλά παραδείγματα ή θα χρησιμοποιούμε πραγματικά δεδομένα;

1η άποψη:

Στο παλιό βιβλίο των ΤΕΕ (πρώην ΕΠΑΛ)
"Επιδιώχθηκε το μεγαλύτερο ποσοστό των προβλημάτων να είναι πραγματικά μαθηματικά μοντέλα και όχι ειδικά κατασκευασμένα προβλήματα". Χρειάζεται "από τους μαθητές προσεκτική μελέτη και ικανότητα προσαρμογής στη «γλώσσα» αυτών των προβλημάτων".
Μαθηματικά 2ου Κύκλου ΤΕΕ, ΟΕΔΒ, 2004.
Δείτε π.χ. δύο ασκήσεις για να εξασκηθούν οι μαθητές των ΤΕΕ (νυν ΕΠΑΛ) στις συναρτήσεις:



Περισσότερα σχόλια σχετικά με τη δυνατότητα να διδαχθούν αυτά τα θέματα μπορείτε να βρείτε στο 6ο κεφάλαιο του βιβλίου "Οι περιπέτειες του προβλήματος στα σχολικά μαθηματικά", που υπάρχει αναρτημένο ΕΔΩ.

2η άποψη:

« (...) Τα "προβλήματα" που κατασκεύασα, καθαρά για εκπαιδευτικές ανάγκες, ΔΕΝ υποκρίνονται ότι αντανακλούν την "πραγματικότητα":
Οι πληθυσμοί στη Στατιστική είναι μικροί και το μέγεθός τους συνήθως πολλαπλάσιο του 25, οι μέσες τιμές είναι βατοί αριθμοί και γενικά οι πράξεις δεν απαιτούν χρήση αριθμομηχανής.
Όλο αυτό το "έγκλημα" συντελέστηκε χωρίς ίχνος τύψης. Είναι προτιμότερα "τα μαθηματικά της μη πραγματικότητας", ώστε να εμπεδώσουν ευχάριστα οι μαθητές τις βασικές έννοιες. Όσοι προχωρήσουν παραπέρα, θα αντιμετωπίσουν, θεωρητικά εξοπλισμένοι, τις δυσκολίες της (πραγματικής) μαθηματικής ζωής (...) »
Λεωνίδας Θαρραλίδης (*)
(Διαγωνίσματα Μαθηματικών 2ου κύκλου TEE, Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη, Χάρης Βαφειάδης, Θεσσαλονίκη 2003).



(*)Για όσους δεν γνώρισαν τον Λεωνίδα (lonis), (που συνεργάστηκε στενά για χρόνια με τον Κώστα Δόρτσιο στο βαθμολογικό κέντρο της Δυτικής Μακεδονίας, μπορούν να ανατρέξουν π.χ. σε ένα διαρκώς επίκαιρο άρθρο του για τη μορφή των θεμάτων των εξετάσεων ΕΔΩ και σε κάποιες όμορφες στιγμές με πολλούς φίλους στο ΕΔΩ.