Κορωνοϊός - γραμμική παλινδρόμηση

Μάρκος Βασίλης · #21

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 06, 2020 8:25 pm

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Καλησπέρα σε όλους. Ασφαλώς είναι σωστές οι παρατηρήσεις του Σταύρου και του Βασίλη σχετικά με την αποτύπωση με ένα διάγραμμα ενός ρεαλιστικού φαινομένου λόγω της επίδρασης πολλαπλών παραμέτρων που δεν είναι εύκολο να μελετηθούν σε πραγματικό χρόνο.
Επίσης, δεν νομίζω να πιστεύει κανείς ότι τα σημεία στο σύστημα αξόνων μπορεί "να βρίσκονται σε ευθεία". Δεν θα ήταν φυσιολογικό κάτι τέτοιο! Ακόμα, η περιορισμένη δειγματοληψία, αλλά και οι μαζικές καταγραφές σε μια μέρα (που σχολιάζονται στην παραπάνω συζήτηση) καθιστούν την όλη καταγραφή προβληματική όσον αφορά την πραγματική σχέση των δεδομένων.

Στο σχολικό βιβλίο αναφέρεται ότι με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων αναζητάμε την καλύτερη ευθεία που προσαρμόζεται στα δεδομένα (όπως αυτά έχουν δημοσιοποιηθεί). Υπό αυτή τη σκοπιά έγραψα παραπάνω ότι θεωρώ χρήσιμη τη σταδιακή-χρονική παρουσίαση του Κώστα, που αξιοποίησε το λογισμικό του Geogebra. Το οποίο (λογισμικό) χρησιμοποιεί σωστά τον τύπο της ευθείας παλινδρόμησης (εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων), όπως φαίνεται στο συνημμένο αρχείο Ευθεία Παλινδρόμησης.ggb στην ανάρτηση #3.

Μια μελέτη υψηλού επιστημονικού επιπέδου ενός ερευνητικού κέντρου θα έπρεπε, λοιπόν, να συμπεριλάβει πολύ περισσότερες παραμέτρους και να αξιοποιήσει δεδομένα και στοιχεία που μόνο ειδικοί μελετητές μπορούν να επεξεργαστούν.

Απαντώντας όμως στο 4ο ερώτημα του Κώστα, επαναλαμβάνω ότι το παράδειγμα μπορεί να αξιοποιηθεί ως ρεαλιστικό μοντέλο μελέτης ενός φαινομένου και μάλιστα για εξάσκηση μαθητών στη χρήση των εργαλείων της τεχνολογίας, όπως το Geogebra, κάνοντας αναφορά στη σχέση που έχει ένα απλοποιημένο μοντέλο εργαστηρίου με τα πραγματικά πολύπλοκα φαινόμενα. Δείτε π.χ. το ελάχιστα ελκυστικό, θα έλεγα, παράδειγμα του σχολικού βιβλίου (πάλαι ποτέ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου) με τα ποντίκια που εμβολιάζονται στη σελίδα 113. Εκεί μάλιστα αναφέρεται: "Οι προβλέψεις της εξαρτημένης μεταβλητής έχουν νόημα, είναι δηλαδή δυνατές, μόνο για τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής οι οποίες βρίσκονται στο διάστημα που έχουμε εξετάσει ή τουλάχιστον πολύ κοντά στα άκρα του διαστήματος αυτού".

Τίθεται λοιπόν το ερώτημα: Θα διδάσκουμε με φτιαχτά απλά παραδείγματα ή θα χρησιμοποιούμε πραγματικά δεδομένα;

1η άποψη:

Στο παλιό βιβλίο των ΤΕΕ (πρώην ΕΠΑΛ)
"Επιδιώχθηκε το μεγαλύτερο ποσοστό των προβλημάτων να είναι πραγματικά μαθηματικά μοντέλα και όχι ειδικά κατασκευασμένα προβλήματα". Χρειάζεται "από τους μαθητές προσεκτική μελέτη και ικανότητα προσαρμογής στη «γλώσσα» αυτών των προβλημάτων".
Μαθηματικά 2ου Κύκλου ΤΕΕ, ΟΕΔΒ, 2004.
Δείτε π.χ. δύο ασκήσεις για να εξασκηθούν οι μαθητές των ΤΕΕ (νυν ΕΠΑΛ) στις συναρτήσεις:

TEE (2).jpg

TEE (1).jpg

Περισσότερα σχόλια σχετικά με τη δυνατότητα να διδαχθούν αυτά τα θέματα μπορείτε να βρείτε στο 6ο κεφάλαιο του βιβλίου "Οι περιπέτειες του προβλήματος στα σχολικά μαθηματικά", που υπάρχει αναρτημένο ΕΔΩ.

2η άποψη:

« (...) Τα "προβλήματα" που κατασκεύασα, καθαρά για εκπαιδευτικές ανάγκες, ΔΕΝ υποκρίνονται ότι αντανακλούν την "πραγματικότητα":
Οι πληθυσμοί στη Στατιστική είναι μικροί και το μέγεθός τους συνήθως πολλαπλάσιο του 25, οι μέσες τιμές είναι βατοί αριθμοί και γενικά οι πράξεις δεν απαιτούν χρήση αριθμομηχανής.
Όλο αυτό το "έγκλημα" συντελέστηκε χωρίς ίχνος τύψης. Είναι προτιμότερα "τα μαθηματικά της μη πραγματικότητας", ώστε να εμπεδώσουν ευχάριστα οι μαθητές τις βασικές έννοιες. Όσοι προχωρήσουν παραπέρα, θα αντιμετωπίσουν, θεωρητικά εξοπλισμένοι, τις δυσκολίες της (πραγματικής) μαθηματικής ζωής (...) »
Λεωνίδας Θαρραλίδης (*)
(Διαγωνίσματα Μαθηματικών 2ου κύκλου TEE, Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη, Χάρης Βαφειάδης, Θεσσαλονίκη 2003).

(*)Για όσους δεν γνώρισαν τον Λεωνίδα (lonis), (που συνεργάστηκε στενά για χρόνια με τον Κώστα Δόρτσιο στο βαθμολογικό κέντρο της Δυτικής Μακεδονίας, μπορούν να ανατρέξουν π.χ. σε ένα διαρκώς επίκαιρο άρθρο του για τη μορφή των θεμάτων των εξετάσεων ΕΔΩ και σε κάποιες όμορφες στιγμές με πολλούς φίλους στο ΕΔΩ.

Πέρα από όλα αυτά που με βρίσκουν εν γένει σύμφωνο - και είναι και πολύ ενδιαφέροντα - το παραπάνω παράδειγμα εξυπηρετεί και έναν ακόμα σκοπό. Φτιάξαμε ένα μοντέλο με κάποια εργαλεία που είχαμε αναπτύξει έως τώρα, το δοκιμάσαμε σε ένα πραγματικό πρόβλημα και είδαμε ότι δε μας βγαίνει τόσο καλό - π.χ. με όρους αξιοπιστίας - όσο θα θέλαμε. Αυτό ακριβώς σαν γεγονός μας δίνει κίνητρο στα μαθηματικά να ψάξουμε νέες έννοιες. Για εμένα, αυτό είναι κάτι που σίγουρα μπορεί να προσφέρει με πολύ απλά παραδείγματα η εισαγωγή της στατιστικής στη δευτεροβάθμια - και, γιατί όχι, και στο δημοτικό, όπως π.χ. στην Αυστραλία.

Σε σχέση, τώρα, με το αν είναι προτιμότερο να διδάσκουμε αυτούσια προβλήματα στην τάξη ή «φτιαχτά», νομίζω ότι μπορούμε να τα εντάξουμε και τα δύο. Για παράδειγμα, σε ένα φύλλο εργασίας που σκοπεύουμε να δώσουμε 1-2 διδακτικές ώρες μέσα στην τάξη, είναι πιο ταιριαστό τα προβλήματα που θα παρουσιαστούν να είναι πραγματικά - ή αναπροσαρμογές πραγματικών προβλημάτων - έτσι ώστε να αναδείξουμε την αναγκαιότητα των μαθηματικών εννοιών που θα αξιοποιηθούν αλλά και τη σύνδεσή τους με την ζωή έξω από τα μαθηματικά και το σχολείο. Ωστόσο, όταν θέλουμε να εστιάσουμε περισσότερο στις μαθηματικές έννοιες και τη μελέτη τους, ίσως είναι προτιμότερο τα νούμερα να είναι «στρωτά» και τα προβλήματα λίγο πιο «φτιαχτά», έτσι ώστε να μην μετατοπιστεί το επίκεντρο από τις μαθηματικές έννοιες στις πράξεις.

Με άλλα λόγια, όταν θέλουμε να αναδείξουμε τη σύνδεση πλαισίου με αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, τα πραγματικά προβλήματα φαντάζουν καταλληλότερη επιλογή ενώ όταν θέλουμε να αναδείξουμε τις μαθηματικές έννοιες καθεαυτές, τα «φτιαχτά» προβλήματα μπορούν να μας βοηθήσουν να στρέψουμε την προσοχή των παιδιών προς αυτές.

#22

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 27, 2020 6:38 pm
Καλησπέρα....

Αναρτώ τα νέα κρούσματα σε ένα διάγραμμα γραμμικής παλινδρόμησης για την 8η εβδομάδα,
το οποίο είναι από πλευρά μου το τελευταίο.
Ευχή για ένα αντίο στη λαίλαπα αυτή...

Έτσι μερικές δικές μου απορίες:

1) Τι θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού;
2) Έχει προβλεψιμότητα;
3) Ποιες είναι οι ευρύτερες πληροφορίες που μας δίνει για την εξέλιξη του φαινομένου;
4) Σε σχέση με τα εικονικά παραδείγματα ενός βιβλίου διδαχής της έννοιας αυτής, τι θα λέγατε;

Κώστας Δόρτσιος

Γιώργο, Σταύρε και Βασίλη καλησπέρα σας...

Στις παρατηρήσεις που γράψατε σχετικά με τα ερωτήματα που έβαλα έχω να πω τα ακόλουθα:

1ο) Γιώργο σ' ευχαριστώ για τη θετική αποτίμηση της όλης μου ανάρτησης κι ακόμα, για την αναφορά σου
στο φίλο μας και συνεργάτη Λεωνίδα Θαρραλίδη.

Με συγκίνησες, ..., θυμήθηκα τη συνεργασία μας,...,
τη βαθειά πίστη του στη Δημόσια Εκπαίδευση, ..., την εργατικότητά του, ..., τη φαντασία του, ..., τη
δημιουργικότητά του, ....
Ήμουνα τυχερός που τον γνώρισα και σεργιάνισα μαζί του σε αίθουσες σχολείων
της Καστοριάς, Κοζάνης, Γρεβενών, Πτολεμαΐδας, Φλώρινας, ....,μιλώντας για Μαθηματικά...

2ο)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 27, 2020 9:59 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 27, 2020 6:38 pm
Καλησπέρα....

Αναρτώ τα νέα κρούσματα σε ένα διάγραμμα γραμμικής παλινδρόμησης για την 8η εβδομάδα,
το οποίο είναι από πλευρά μου το τελευταίο.
Ευχή για ένα αντίο στη λαίλαπα αυτή...

Κορωνοϊός - παλινδρόμηση 8.png

Από ό,τι φαίνεται το σημείο τομής της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων είναι κατά την 25η Μαΐου 2020
ενώ ακόμη ο μηδενισμός των νέων κρουσμάτων δεν έχει μηδενιστεί!
Έτσι μερικές δικές μου απορίες:

1) Τί θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού;
2) Έχει προβλεψιμότητα;
3) Ποια η χρησιμότητά του;
4) Σε σχέση με τα εικονικά παραδείγματα ενός βιβλίου διδαχής της έννοιας αυτής τί θα λέγατε;

Κώστας Δόρτσιος
Κώστα χαιρετώ εσένα και τα ωραία Γρεβενά
Δεν νομίζω ότι είναι χρήσιμο.
Τα στοιχεία απέχουν πολύ από το να βρίσκονται πάνω σε ευθεία.
Αυτό φαίνεται και από το διάγραμμα.
Υπάρχει και το πρόβλημα με ποια στοιχεία πρέπει να βάλουμε.
................................................
Υπάρχουν τέστ που μας δείχνουν αν η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ανταποκρίνεται
στην πραγματική σχέση των δεδομένων.
Νομίζω ότι αν εφαρμοσθούν θα δείξουν ότι τα στοιχεία δεν βρίσκονται σε γραμμική σχέση.

Σταύρε, αν κατάλαβα καλά θέλεις να πεις ότι το διάγραμμα της ευθύγραμμης παλινδρόμησης
που αναρτούσα κάθε φορά δεν ήταν χρήσιμο.

Ναι, πάντα όταν έχουμε μια διασπορά σημείων $\displaystyle{(X,Y)}$ προσπαθούμε να βρούμε όλο και καλύτερες
προσεγγιστικές καμπύλες που να ταιριάζουν καλύτερα στα δοσμένα μας σημεία. Κάτι τέτοιο το πετυχαίνουμε,
όπως λέει και το σχολικό βιβλίο, "με το μάτι" ή παραπέρα με προχωρημένες μεθόδους, όπως είναι κι αυτή
που εφάρμοσα. Δηλαδή την "ευθεία παλινδρόμησης" που στηρίζεται στην αρχή των ελαχίστων τετραγώνων.

Η προσωπική μου άποψη είναι ότι, κάθε εβδομάδα που αναρτούσα την ευθεία παλινδρόμησης, προέκυπτε και
μια προοπτική πρόβλεψης. Έδειχνε το καθένα από τα οχτώ διαγράμματα, όχι μόνο την μέχρι εκείνη τη στιγμή
εξέλιξη του φαινομένου, αλλά και μια "κατεύθυνση". Ας μην ξεχνάμε ότι πάντοτε μια καμπύλη παλινδρόμησης
είναι και ένα στιγμιότυπο της όλης εξέλιξης και μόνον έτσι το θεωρούμε. Αυτό και μόνο είναι η προσφορά της
όλης προσπάθειας. Στιγμιότυπα! Και μέσα από τα στιγμιότυπα αυτά διατυπώνονται εικασίες.

Θα μπορούσα να επιλέξω άλλη συνάρτηση που να προσεγγίζει το φαινόμενο. Για παράδειγμα την εκθετική της
μορφής $\displaystyle{y=ae^x}$ .
Κάτι τέτοιο φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα:

: Κορωνοϊός - παλινδρόμηση 9.png (64.38 KiB) Προβλήθηκε 2268 φορές

Στο διάγραμμα αυτό φαίνονται και οι δυο καμπύλες παλινδρόμησης. Η ευθύγραμμη και η εκθετική. Παρατηρώντας
αυτές μπορούμε να κάνουμε ανάλογα τις παρατηρήσεις μας. Στιγμιότυπα....του όλου δρώμενου.

Πάντως, κι αυτό είναι η άποψή μου, η προσοχή μας ως εκπαιδευτικοί είναι να παρουσιάζουμε προβλήματα που έρχονται από το άμεσο
περιβάλλον μέσα στο οποίο ζει και κινείται ο μαθητής. Αυτό πιστεύω ότι είναι ό,τι το καλύτερο για τη διδαχή των μαθηματικών.

Θυμάμαι την αστειότητα όταν κάποτε στους μαθητές των Γρεβενών μιλούσα και έλυνα προβλήματα του σχολικού βιβλίου
που αναφέρονταν σε κυλιόμενες σκάλες, κάτι που ήταν εντελώς παράξενο γι΄αυτούς τότε!

3ο) Βασίλη για το όσο οι υπόλοιποι παράγοντες(ceteris paribus), κι αυτοί είναι πολλοί, πρέπει να μένουν σταθεροί για την αξιοπιστία του
αποτελέσματος της παλινδρόμησης είναι φανερό. Εξάλλου το τόνισα στο αρχικό μου μήνυμα:

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 6:20 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 9:56 pm
Καλησπέρα από Γρεβενά...
......................................
Η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης, όπως φαίνεται από το διάγραμμα αυτό, "προβλέπει"(;), ότι ο μηδενισμός
των κρουσμάτων θα συμβεί κατά το διάσημα μεταξύ της 24 μει 25 Απριλίου, αν βέβαια όλες οι άλλες παράμετροι
του όλου δρώμενου είναι σταθερές.
Ο οριζόντιος άξονας δηλώνει τις μέρες του Απριλίου 2020 και ο κατακόρυφος τον αριθμό των νέων κρουσμάτων.

Το γράφημα αυτό το ενημερώνω κάθε μέρα.....

Ίδωμεν....

Να είστε καλά...

Κώστας Δόρτσιος

#23

Βάζω ένα ποστ εκτός θεματικής του φόρουμ, αλλά νομίζω μας ενδιαφέρει όλους.

Πρόκειται για έγκυρη πηγή (στα Αγγλικά) με την πρόοδο σχετικά με πιθανό εμβόλιο αντιμετώπισης του κορονοϊού. Η πηγή είναι το Imperial College, που ίσως έχει την πρωτοκαθεδρία στην έρευνα για τον κορονοϊό. Βλέπε εδώ και εδώ

#24

Φίλοι μου γεια σας, από Γρεβενά...

Μπορεί να γίνομαι κουραστικός, αλλά τώρα, στις μέρες του εγκλεισμού και της αγωνίας
προσωπικά βρίσκω ενδιαφέρον να παρακολουθώ την εξέλιξη αυτής της επιδημίας.

Το μόνο που μπορώ να πράξω είναι να καταγράφω, κάθε φορά που ολοκληρώνεται μια
εβδομάδα, τα αποτελέσματα και να μελετώ την ευθεία παλινδρόμησης.

Επανέρχομαι λοιπόν με δυο γραφήματα:

1ο) Κρούσματα

: Covid -19 (1.a).png (20.66 KiB) Προβλήθηκε 1861 φορές

2ο) Θάνατοι

: Covid - 19 (1.b).png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 1861 φορές

Αναμένουμε τη συμπεριφορά των ευθειών αυτών....

Κώστας Δόρτσιος

#25

Απολογισμός της δεύτερης εβδομάδας εγκλεισμού...

1ο) Κρούσματα

: Covid - 19 (2.a).png (24.37 KiB) Προβλήθηκε 1826 φορές

2ο) Θάνατοι

: Covid -19 (2.b).png (19.6 KiB) Προβλήθηκε 1826 φορές

Δύσκολα...., ανοδικές ευθείες...

Κώστας Δόρτσιος

#26

Συνεχίζω την ανάρτηση των δύο γραφημάτων γραμμικής παλινδρόμησης

για την εβδομάδα που πέρασε.

1ο) Κρούσματα

: Covid -19 (3. k).png (29.46 KiB) Προβλήθηκε 1789 φορές

Η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης αρχίζει να κατηφορίζει...

2ο) Θάνατοι

: Covid - 19 (3.b).png (23.48 KiB) Προβλήθηκε 1789 φορές

Αντίθετα στην περίπτωση αυτή η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης συνεχίζει την ανηφόρα της...

Κώστας Δόρτσιος

#27

Συνέχεια των στοιχείων

σχετικά με τον Κορονοϊό για τέταρτη εβδομάδα...

1ο Κρούσματα

: Covid - 19 (4.a).png (28.31 KiB) Προβλήθηκε 1728 φορές

Η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης κατηφορίζει ...

2ο Θάνατοι

: Covid - 19 (4.b).png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 1728 φορές

Στην περίπτωση αυτή όμως η ευθεία αυτή ανηφορίζει.. με μικρότερη κλίση...

Κώστας Δόρτσιος

#28

Περί κορονοϊού συνέχεια....

Συνολικά μέχρι τώρα τα στοιχεία εξέλιξης των κρουσμάτων

καθώς και των θανάτων σε γραφήματα

με την αντίστοιχη ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης.

1ο) Κρούσματα

: Covid - 19(5.a).png (27.64 KiB) Προβλήθηκε 1686 φορές

Η κατηφοριά της ευθείας όλο και μεγαλώνει...

2ο) Θάνατοι

: Covid -19 (5.b).png (27.45 KiB) Προβλήθηκε 1686 φορές

Και στο γράφημα αυτό η ανηφοριά γίνεται όλο και με μικρότερη κλίση...

Κώστας Δόρτσιος

#29

Συνέχεια....

1) Κρούσματα

: Covid -19 (6.a).png (30.2 KiB) Προβλήθηκε 1654 φορές

2) Θάνατοι

: Covid -19 (6.b).png (34.82 KiB) Προβλήθηκε 1654 φορές

Οι ρυθμοί αργοί και σταθεροί....με μικρή αισιοδοξία.... για 6η εβδομάδα.

Κώστας Δόρτσιος

#30

Συνέχεια...

1ο διάγραμμα

: Covid -19 (7.a).png (23.2 KiB) Προβλήθηκε 1614 φορές

Ελπιδοφόρα πορεία...

2ο διάγραμμα

: Covid -19 (7.b).png (30.44 KiB) Προβλήθηκε 1614 φορές

Η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης γίνεται σχεδόν παράλληλη προς τον ορίζοντα!

Ίδωμεν...

Για να δούμε και μια συνολική μέχρι σήμερα αποτύπωση των στοιχείων παραθέτω, από
το Excell που σημειώνω, δυο πίνακες συνολικών δεδομένων.

1ος πίνακας των κρουσμάτων

: Covid -19(Διάγραμμα 1.α).png (65.81 KiB) Προβλήθηκε 1609 φορές

2ος πίνακας των θανάτων

: Covid -19(Διάγραμμα 1.β).png (94.85 KiB) Προβλήθηκε 1609 φορές

Οι παρατηρήσεις δικές σας!!

Κώστας Δόρτσιος

#31

Περί "κρουσμάτων και θανάτων" του Covid -19 συνέχεια...

1ο διάγραμμα

: Covid -19 (8.a).png (20.2 KiB) Προβλήθηκε 1582 φορές

2ο διάγραμμα

: Covid -19 (8.b).png (27.08 KiB) Προβλήθηκε 1582 φορές

Και ο χορός καλά κρατάει....

Παρόλ' αυτά λέμε: "Καλή Χρονιά και Χρόνια Πολλά"

Κώστας Δόρτσιος

#32

Η συνέχεια των στοιχείων περί κορονοϊού έχει ως ακολούθως:

1ο Διάγραμμα

: Covid -19 (9.a).png (24.4 KiB) Προβλήθηκε 1551 φορές

Η κατηφόρα της ευθείας γραμμικής παλινδρόμησης συνεχίζεται...

2ο Διάγραμμα

: Covid - 19 (9.b).png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 1533 φορές

Είναι μακριά ακόμα ο μηδενισμός της...

Ευχές και πάλι για το Νέο Έτος....

Κώστας Δόρτσιος

#33

Για την εβδομάδα που μας πέρασε τα δεδομένα περιγράφονται στα

παρακάτω διαγράμματα:

1ο Διάγραμμα

: Covid -19 (10.a).png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 1523 φορές

2ο Διάγραμμα

: Covid _19(10.b).png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 1523 φορές

Και καλή συνέχεια....

Κώστας Δόρτσιος

#34

Για την εβδομάδα που μας πέρασε έχουμε τα ακόλουθα διαγράμματα:

1ο Διάγραμμα

: Covid _19 (11.a).png (21.29 KiB) Προβλήθηκε 1483 φορές

Στο διάγραμμα αυτό ο κατακόρυφος άξονας που φιλοξενεί τον αριθμό

των νέων κρουσμάτων κάθε μέρα έχει ως μονάδα τον αριθμό 500 ώστε να

γίνεται αναγνώσιμος στο περιβάλλον μιας κόλλας $\displaystyle{A_4}$ .

Με άλλα λόγια το ορθογώνιο αυτό σύστημα έχει λόγο μονάδων $\displaystyle{1:500}$ .

2ο Διάγρααμμα

: Covid - 19 (11.b).png (23.23 KiB) Προβλήθηκε 1461 φορές

Για παρόμοιους λόγους στο σύστημα αυτό έχουμε την αναλογία

των μονάδων των αξόνων ίση με $\displaystyle{1:20}$ .

Ο κορονοϊός επιτίθεται "αμυνόμενος" ...

Κώστας Δόρτσιος