Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

Συντονιστής: spyros

glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Τρί Μάιος 29, 2018 11:47 pm

Σχήμα.jpg
Σχήμα.jpg (47.41 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές
Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα M_0M_1= a_1 και M_1M_2=a_2.Το M_1M_2 είναι κάθετο στο M_0M_1 και διπλάσιο αυτού.

Φέρνουμε και το M_2M_3=a_3 όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε επόμενο τμήμα είναι κάθετο με

το προηγούμενο του και κατασκευάζεται με την ίδια φορά όπως τα παραπάνω,

ενώ το μήκος του a_n ισούται με n\cdot a_{n-1}


Να βρεθούν:

α) Το a_n συναρτήσει των a_1,n

β) Το μήκος M_nM_0=d_n συναρτήσει των a_1,n


Γιαννάκης Άγγελος

Λέξεις Κλειδιά:
sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Ιουν 02, 2018 7:24 pm

glinos έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 11:47 pm
Σχήμα.jpg

Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα M_0M_1= a_1 και M_1M_2=a_2.Το M_1M_2 είναι κάθετο στο M_0M_1 και διπλάσιο αυτού.

Φέρνουμε και το M_2M_3=a_3 όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε επόμενο τμήμα είναι κάθετο με

το προηγούμενο του και κατασκευάζεται με την ίδια φορά όπως τα παραπάνω,

ενώ το μήκος του a_n ισούται με n\cdot a_{n-1}


Να βρεθούν:

α) Το a_n συναρτήσει των a_1,n

β) Το μήκος M_nM_0=d_n συναρτήσει των a_1,n
Με επαγωγή

α) a_{n}=n!a_{1}

β) d_n=a_1*\sum_{i=1}^{n}i!


glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Re: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Δευ Ιουν 04, 2018 8:31 pm

sokpanvas έγραψε:
Σάβ Ιουν 02, 2018 7:24 pm
glinos έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 11:47 pm
Σχήμα.jpg

Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα M_0M_1= a_1 και M_1M_2=a_2.Το M_1M_2 είναι κάθετο στο M_0M_1 και διπλάσιο αυτού.

Φέρνουμε και το M_2M_3=a_3 όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε επόμενο τμήμα είναι κάθετο με

το προηγούμενο του και κατασκευάζεται με την ίδια φορά όπως τα παραπάνω,

ενώ το μήκος του a_n ισούται με n\cdot a_{n-1}


Να βρεθούν:

α) Το a_n συναρτήσει των a_1,n

β) Το μήκος M_nM_0=d_n συναρτήσει των a_1,n
Με επαγωγή

α) a_{n}=n!a_{1}

β) d_n=a_1*\sum_{i=1}^{n}i!
Μάλλον εσείς βρήκατε το μήκος της διαδρομής M_nM_{n-1}...M_1M_0, δηλαδή το άθροισμα a_1+a_2+...+a_n,

ενώ το ζητούμενο της άσκησης είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει το M_n με το M_0


Γιαννάκης Άγγελος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8145
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 06, 2018 12:10 pm

Η απάντηση για το (β) είναι:

\displaystyle  a_1 \sqrt{\left( \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k (2k+1)! \right)^2 + \left( \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} (-1)^k (2k)! \right)^2}

Δεν νομίζω να υπάρχει κλειστός τύπος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης