mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 26, 2012 11:54 pm**

Στο τραπέζι μπιλιάρδου της εικόνας χτυπούμε τη μπάλα από την κάτω αριστερή γωνία με γωνία 45 μοιρών. Η μπάλα χτυπάει 3 φορές πριν καταλήξει στην πάνω αριστερή τρύπα. Όταν το μπιλιάρδο έχει διαστάσεις 3×2 η μπάλα χτυπάει 3 φορές.
Τι θα συμβεί αν χτυπήσουμε τη μπάλα με τον ίδιο τρόπο σε μπιλιάρδο διαφορετικών διαστάσεων;
Βρείτε τη σχέση μεταξύ των διαστάσεων του μπιλιάρδου και των αριθμό των χτυπημάτων της μπάλας.

: billiard1.png (24 KiB) Προβλήθηκε 1780 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 27, 2012 12:58 am**

Ο ζητούμενος λόγος (λόγος διαστάσεων μπιλιάρδου/αριθμό κρούσεων μπάλλας) είναι 1/2... φαίνεται στο αρχείο GeoGebra που επισυνάπτω...

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 27, 2012 1:26 am**

: Εικονικό μπιλιάρδο.PNG (7.46 KiB) Προβλήθηκε 1781 φορές

Βάζω κι εγώ μια εικόνα κι ένα δυναμικό αρχείο(Cabri II) με το μπιλιάρδο αυτό....
που μπορεί να λειτουργήσει δυναμικό στο άλλο αρχείο που αναρτώ για όσους
χρησιμοποιούν το λογισμικό αυτό.

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 27, 2012 2:09 am**

: Μπιλιάρδο.PNG (14.05 KiB) Προβλήθηκε 1734 φορές

Στη γενική περίπτωση:

Έστω ότι το τραπέζι του μπιλιάρδου έχει διαστάσεις $\displaystyle{a,b}$
και ότι θέλουμε να έχουμε $\displaystyle{n, n\in N, n>0}$ ανακλάσεις στην οριζόντια πλευρά.

Τότε όπως φαίνεται κι από το σχήμα, από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AST}$ είναι:
$\displaystyle tan\varphi =\frac{b}{2x} \ \ (1)$
όμως επειδή έχουμε $\displaystyle{n}$ ανακλάσεις θα είναι:
$\displaystyle x=\frac{a}{4n+1} \ \ (2)$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\displaystyle tan\varphi =(4n+1)\frac{b}{2a}\Rightarrow \varphi =Arctan((4n+1)\frac{b}{2a})$
η γωνία αυτή πάντα ορίζεται και συνεπώς πάντα το ζητούμενο είναι δυνατό.

Δηλαδή:
Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο μπιλιάρδο, μπορούμε να βρούμε τη γωνία με την οποία θα στείλουμε τη μπάλα
ώστε να κάνει $\displaystyle{n}$ (όσες θέλουμε) ανακλάσεις στη μια πλευρά και μία στην άλλη, ώστε να επιστρέψει στην άνω γωνία.

Στο σχήμα που αναρτώ είναι κατασκευάστηκε με στοιχεία:
$\displaystyle{a=14.02cm, \ \ b=6.96cm}$ και ζήτησα $\displaystyle{n=5}$
οπότε: $\displaystyle{\varhphi =79.14^o}$ .

Θα ήταν όμορφο να έβαζα και μια προσομοίωση όπως στην προηγούμενη ανάρτηση!!

(*) Τώρα το πρωί είδα μια αβλεψία μου και διόρθωσα τον τύπο και το σχήμα. Πιστεύω πως είναι σωστή η αντιμετώπιση.

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 27, 2012 10:54 am**

Ευχαριστώ πολύ παιδιά!!!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 26, 2012 5:04 am**

παρόμοιες σε δυο και σε τρεις διαστάσεις

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 28, 2012 10:30 pm**

Μια και το έφερε η συζήτηση, υπάρχει εκτός από μία έκδοση της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας για τα Μαθηματικά και το μπιλιάρδο
και ένα βιβλίο σχετικό στην ελληνική γλώσσα.
Πρόκειται για το βιβλίο «Τέρψις μαθηματική», το οποίο αναφέρεται στις μαθηματικές ιδιότητες του σφαιριστηρίου (μπιλιάρδου).
Είναι έργο του Απόστολου Χαρικλέου και εκδόθηκε στη Οδυσσό το 1836!! (Όχι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος).
Ήταν έκδοση του Τυπογραφείου του «Ελληνοεμπορικού Σχολείου» που λειτουργούσε στην Οδυσσό εκείνη την αποχή.
Αντίτυπα του βιβλίου έχω εντοπίσει στην Εθνική Βιβλιοθήκη (2 αντίτυπα), στην Κεντρική Βιβλιοθήκη του Α.Π.Θ. και στη Μονή Κουτλουμουσίου στον Άθω.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 28, 2012 10:48 pm**

Και ο Γιάννης Ντάνης στο βιβλίο του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ι ασχολείται με το πρόβλημα του μπιλιάρδου στις σελ. 202-204

mathematica.gr

Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Re: Μπιλιάρδο!!! Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;