ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Φρου · #1

Πως αποδεικνύουν αυστηρά ότι:

$\sum_{x=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2^{4x}} + \frac{1}{2^{4x+1}} \right ) = \frac{1}{10}$

Tolaso J Kos · #2

Εύκολη είναι. Πόσο κάνει η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} x^n }$ όταν |x|<1

; Χρησιμοποίησα το για να βγάλεις τη σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} x^n}$ . Το συμπέρασμα επεται .

Φρου · #3

Για |×|<1 η σειρά αυτή ισούται με 1/(1-x).
Όμως και πάλι δεν βλέπω πως αυτό με βοηθάει στην αρχική σειρά που λέω.

Tolaso J Kos · #4

Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} &\Leftrightarrow 1 + \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \\ &\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} - 1 \\ &\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} \end{aligned}}$
Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{4n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2^4} \right )^n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{16^n} \\ &= \frac{\frac{1}{16}}{1- \frac{1}{16}} \\ &= \frac{1}{15} \end{aligned}}$

Όμοια και η άλλη. Θα χαρώ να δω τη λύση σου.

Υ.Σ: Το

είναι απαίσιος δείκτης για να χρησιμοποιηθεί σε σειρά.

Φρου · #5

Α ωραία το τελευταίο βήμα δεν έβλεπα.
Επομένως έχουμε:

$\sum_{x=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2^{4x+1}} \right )= \frac{1}{2}\sum_{x=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2^{4x}} \right )=\frac{1}{2}\frac{1}{15}=\frac{1}{30}$

και τελικά:

$\sum_{x=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2^{4x}} + \frac{1}{2^{4x+1}} \right )= \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$

Σε ευχαριστώ πάρα πολύ!!!

Φρου · #6

Υ.Γ. Ισχύει αυτό για τον δείκτη, στο γραπτό χρησιμοποιώ το n.

Tolaso J Kos · #7

Φρου έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 6:55 pm
Σε ευχαριστώ πάρα πολύ!!!

Να σαι καλά....

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Re: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Re: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Re: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Re: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Re: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Re: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΡΑΣ

Μέλη σε σύνδεση