mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 17, 2022 9:25 am**

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2} = \binom{2n}{n}^2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 17, 2022 5:12 pm**

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\frac{(2n)!}{(k!)^2(((n-k)!)^2}=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)^2\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{n}{k}^2\binom{2n}{n}.}$

Άρα το άθροισμα ισούται με

$\displaystyle{\binom{2n}{n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}^2,}$

αφού ισχύει

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}.}$

Αυτή είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας Vandermonde

$\displaystyle{\boxed{\sum_{k=0}^{r}\binom{m}{k}\binom{n}{r-k}=\binom{m+n}{r}}}$

θέτοντας $\displaystyle{r=m=n.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 17, 2022 7:21 pm**

matha έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 5:12 pm
Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\frac{(2n)!}{(n!)^2(((n-k)!)^2}=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)^2\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{n}{k}^2\binom{2n}{n}.}$

Γιατί ισχύει η πρώτη ισότητα; Κάτι χάνω

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 17, 2022 8:07 pm**

jas έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 7:21 pm

matha έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 5:12 pm
Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\frac{(2n)!}{(n!)^2(((n-k)!)^2}=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)^2\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{n}{k}^2\binom{2n}{n}.}$

Γιατί ισχύει η πρώτη ισότητα; Κάτι χάνω

Έχει πολλαπλασιάσει πάνω κάτω με (n!)^2

.

mathematica.gr

Διωνυμικό άθροισμα

Διωνυμικό άθροισμα

Re: Διωνυμικό άθροισμα

Re: Διωνυμικό άθροισμα

Re: Διωνυμικό άθροισμα