mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 06, 2009 11:15 pm**

Αγαπητοί φίλοι,

Ο κος Λάμπρου μου έστειλε τα θέματα του 3ου φοιτητικού διαγωνισμού SEEMOUS - και τον ευχαριστούμε πολύ - που διεξήχθη σήμερα στην Κύπρο. Ας ελπίσουμε ότι η Ελληνική Αποστολή πήρε αρκετά μετάλλια.

Ας σχολιάσουμε εδώ τα θέματα και ας βάλουμε τις λύσεις μας...

Πρόβλημα 1

α) Υπολογίστε το όριο $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1\left(x(1-x)\right)^nx^k dx$ , όπου $k\in\mathbb{N}$ .

β) Υπολογίστε το όριο $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1\left(x(1-x)\right)^nf(x) dx$ , όπου $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι μία συνεχής συνάρτηση.

Πρόβλημα 2

Έστω

πολυώνυμο 5ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές. Υποθέστε ότι το γράφημα του

έχει τρία σημεία καμπής τα οποία βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Υπολογίστε τους λόγους των εμβαδών των φραγμένων χωρίων που ορίζονται από αυτή την ευθεία και το γράφημα του πολυωνύμου.

Πρόβλημα 3

Έστω $SL_2\left(\mathbb{Z}\right)=\{ A|$ o A είναι 2x2

πίνακας με ακέραια στοιχεία και $det(A)=1 \}$ .

α) Βρείτε ένα παράδειγμα πινάκων $A,B,C \in SL_2\left(\mathbb{Z}\right)$ ώστε A^2+B^2=C^2

.

β) Δείξτε ότι δεν υπάρχουν $A,B,C \in SL_2\left(\mathbb{Z}\right)$ τέτοιοι ώστε A^4+B^4=C^4

.

Πρόβλημα 4

Αν $a_1,a_2,\ldots, a_n$ και $b_1,b_2,\ldots, b_n$ είναι πραγματικοί αριθμοί, ορίζουμε τους nxn

πίνακες $A=\left(a_{ij}\right)$ και $B=\left(b_{ij}\right)$ ως εξής:

$a_{ij}=a_i-b_j$ και $b_{ij}= \left\{ \begin{array}{ll} 1 , & \alpha \nu \ \ a_{ij}\geq 0 \\ 0 , & \alpha \nu \ \ a_{ij} < 0. \end{array} \right$ για κάθε $i,j \in\{1,2,\ldots,n\}$ .

Θεωρήστε ένα πίνακα $C=\left(c_{ij}\right)$ με τις ίδιες διαστάσεις και στοιχεία

ή

ώστε $\displaystyle\sum_{j=1}^n b_{ij}=\sum_{j=1}^n c_{ij}, \ \ i\in\{1,2,\ldots,n\}$ και $\displaystyle\sum_{i=1}^n b_{ij}=\sum_{i=1}^n c_{ij}, \ \ j\in\{1,2,\ldots,n\}$ .

Δείξτε ότι

α) $\displaystyle\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\left(b_{ij}-c_{ij}\right)=0$ και ότι B=C

.

β) ο

είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν υπάρχουν δύο αναδιατάξεις $\sigma$ και $\tau$ του συνόλου $\{1,2,\ldots,n\}$ ώστε $b_{\tau(1)}\leq a_{\sigma(1)} < b_{\tau(2)}\leq a_{\sigma(2)} < \cdots \leq a_{\sigma(n-1)} < b_{\tau(n)}\leq a_{\sigma(n)}$ .

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2009 8:06 am**

μερικές βιαστικές σκέψεις
Για το1α )
σκέτο το ολοκληρωμα είναι η $B(k+n,n)=...=\frac{n!}{(k+n+1)...(k+2n+1)}$
H ακολουθια εξω είναι η 1/B(n,n)

εύκολα τοόριο είναι το 0
Για το1β)
Από το προσεγγιστικό θεώρημα του Βαγιεστρας όπου τα x^k

αποτελούν βάση των πολυωνύμων που προσεγγίζουν την f πρέπει οριο να είναι πάλι το 0

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2009 11:27 am**

Μια πρόταση για το 2. (Ρισκάρω, ότι το πρότεινε ο Λάμπρου)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2009 4:43 pm**

cretanman έγραψε: Ας ελπίσουμε ότι η Ελληνική Αποστολή πήρε αρκετά μετάλλια.

1) Από τα 6 παιδιά της Εθνικής Ομάδας τα 2 πήραν Ασημένια και τα 3 Χάλκινα.
2) Η μία φοιτήτρια που εκπροσωπούσε το Παν/μιο Αθηνών πήρε Χάλκινο
3) Από τα 8 παιδιά του Πολυτεχνείου Ξάνθης, ένας πήρε Χάλκινο.

εύγε στα παιδιά

Μιχάλης Λάμπρου

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2009 11:50 pm**

Ένα μεγάλο ΜΠΡΑΒΟ στα παιδιά από μένα!!

Πάντα επιτυχίες...

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 08, 2009 12:32 am**

ΜΠΡΑΒΟ και απο μενα! Μεγαλη επιτυχια.
Ξερει κανεις ακριβως πως πηγαν τα μεταλλια; Δηλαδη ποιος πηρε τι;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 08, 2009 11:47 am**

Από ότι έμαθα, Λαμπρόπουλος και Σακελλάρης πήραν Αργυρά και Σιλουανός , Παναγιωτάκος, Καραταπάνης Χάλκινα

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 08, 2009 11:55 am**

Και η φοιτήτρια που πήρε χάλκινο είναι η Νεστορίδη (νομίζω κόρη του Βασίλη;)
Θερμά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδια!! Και εις ανώτερα!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 08, 2009 12:02 pm**

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά !

Η πατρίδα διαθέτει κεφάλαιο που δεν το αγγίζουν κρίσεις και πτωχεύσεις και που δεν είναι άλλο από τη θέληση και το ταλλέντο αυτών των φοιτητών, των φοιτητών και των Καθηγητών τους !
Είναι λοιπόν καιρός να επενδύσει δυναμικά σε αυτό το σταθερό και πάντα ανερχόμενο χρηματιστήριο αξιών που λέγεται Μαθηματική παιδεία αλλά και παιδεία γενικότερα !
Αν δεν το καταλάβει για να ξεκινήσει από σήμερα κιόλας , αύριο φοβάμαι πως θα είναι όλοι φτωχότεροι !

Ξανά ΕΥΓΕ !!!

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 08, 2009 3:23 pm**

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στους φίλους μου Σιλουανό και Παναγιωτάκο! Αντε και εις ανώτερα (σε όσους ειδικά δίνουν και του χρόνου

)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 10:36 am**

rek2 έγραψε:Μια πρόταση για το 2. (Ρισκάρω, ότι το πρότεινε ο Λάμπρου)

Όχι Θωμά, δεν είμαι ο "δράστης". Αν θυμάμαι καλά, την ωραία αυτή άσκηση την πρότεινε
ένα Πανεπιστήμιο του Ισραήλ.

Επ΄ ευκαιρία αξίζει να καταγράψω εδώ την διαδικασία επιλογής των θεμάτων του διαγωνισμού SEEMOUS (= South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students).

Η όλη διαδικασία βασίζεται στην αρχή ότι το "O" στο ακρωνύμιο SEEMOUS προέρχεται από την λέξη Ολυμπιάδα, με την αρχαία ελληνική έννοια του όρου. Οι συνειρμοί από το Ολυμπιακό ιδεώδες και τις άφθαρτες αξίες πρέπει να είναι πάντα στο προσκύνιο.
Η πείρα, άλλωστε, μου λέει ότι τα ιδεώδη αυτά τηρούνται σχολαστικά από όλους τους εμπλεκόμενους.

Επί του θέματος:
Πρώτα κάθε συμμετέχουσα ομάδα, πλην της οργανώτριας χώρας (φέτος η Κύπρος) στέλνει στους οργανωτές υποψήφια θέματα.

Τα θέματα αυτά συγκεντρώνονται από ολιγομελή επιτροπή, την Λεγόμενη short list committee. Φέτος η επιτροπή ήταν ο Sava Grozdev από την Βουλγαρία και ο υπογράφων.

Η επιτροπή ελέγχει τα θέματα ως προς την πρωτοτυπία, ορθότητα και καταλληλότητα για τον διαγωνισμό. Τα υπόλοιπα πάνε στον κάλαθο των αχρήστων. Επίσης η επιτροπή προσπαθεί να δώσει πολλαπλές λύσεις (άαααχ) για να προβλέψει τις δυσκολίες που μπορεί να προκύψουν. Ειδικά, αν βρει απλή λύση που "σκοτώνει" το θέμα, τότε το αποσύρει.
Κατόπιν η επιτροπή καταγράφει τις "αρετές" κάθε θέματος και τα κατατάσσει ως προς α) το περιεχόμενο (Ανάλυση, Άλγεβρα, Θεωρία Αριθμών, Συνδυαστική και λοιπά), β) ως προς την δυσκολία (εύκολο, μέτριο, δύσκολο). Εννοείται, "εύκολο" θέμα δεν υπάρχει, αλλά όλα είναι τηρουμένων των αναλογιών.

Τα θέματα που απομένουν, δηλαδή καμιά 25-ρια από έναν αρχικό κατάλογο περίπου 50 προβλημάτων, είναι όλα υποψήφια για τον διαγωνισμό.

Οι αρχηγοί των αποστολών (από Ελλάδα ήταν ο Μιχάλης Λουλάκης με την Εθνική Ομάδα και ο Βασίλης Παπαδόπουλος με του Δημοκριτείου) έρχονται δύο μέρες πριν από τον διαγωνισμό και συζητούν κεκλεισμένων των θυρών για ... ατέλειωτες ώρες ποιά θα είναι τα 4 θέματα που πέσουν. Η συζήτηση γίνεται από κοινού με την παραπάνω διμελή επιτροπή και όλα γίνονται με ψηφοφορία. Η διμελής επιτροπή δεν έχει ψήφο, αλλά η γνώμη της είναι βαρύνουσα αφού έχει μελετήσει διεξοδικά τα 25 θέματα.
Αφού επιλεγούν τα 4 θέματα (λαμβάνεται μέριμνα ώστε να είναι από ένα φάσμα κλάδων και κλιμακούμενης δυσκολίας) η διμελής επιτροπή προτείνει τα μόρια για κάθε βήμα των πιθανών λύσεων.

Αφού γίνει ο διαγωνισμός, υπάρχει διαδικασία βαθμολόγησης: Δύο άτομα διορθώνουν, ανεξάρτητα και χωρίς να φαίνονται τα ονόματα των διαγωνιζομένων, ένα θέμα. Το δεύτερο θέμα πάει σε άλλο ζευγάρι βαθμολογητών, και λοιπά.

Μετά ανοίγονται τα ονόματα, και οι αρχηγοί των αποστολών μελετούν την βαθμολογία τω δικών τους διαγωνιζομένων. Υποβάλλουν ενστάσεις, εάν υπάρχουν, σε διμελή επιτροπή (διαφορετική επιτροπή ειδικών, ανά θέμα. Π.χ. δύο Αναλύστες ήσαν η επιτροπή για το θέμα της Ανάλυσης, και λοιπά). Αν δεν τα βρουν, τότε η ένσταση πάει σε δεύτερο βαθμό, της οποίας η ετυμηγορία είναι οριστική. Η επιτροπή του δεύτερου βαθμού είναι η ίδια με την short list committee που ανέφερα παραπάνω.

Και πάλι να πω μπράβο στα παιδιά μας, αλλά και στους Ρουμάνους που σάρωσαν τα χρυσά.

Αυτά.

Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου.

(παρεμπιπτόντως, η Ρουμανία έχει (μόνο) διπλό πλυθησμό από την Ελλάδα. Στο Καγκουρό όμως παίρνουν μέρος 270 000 μαθητές! Φαντάσου το χάος που θα γινόταν στην Ελλάδα αν έπαιρναν μέρος 135 000 Έλληνες στον διαγωνισμό. Αλλά μπορεί να το αναλάβουν οι φωστήρες των δύο ΕΛΜΕ, και όλα θα πάνε ρολόι ... )

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 11:17 am**

Ειμαι πολυ χαρουμενος με την επιτυχια αυτη της εθνικης μας ομαδας. Απο την αλλη ομως λυπαμε πολυ που δεν μπορεσα να γραψω κατι παραπανω, οχι για εμενα, αλλα για την εικονα της ελληνικης ομαδας... Αν και τα 2.5 απο τα 4 θεματα ηταν εξω απο τις δυναμεις μου (ως πρωτοετης φοιτητης δεν γνωριζω γραμμικη 2 ουτε εχω εξασκηθει ποτε με το Weirstrass) πιστευω πως απο τα υπολοιπα θα μπορουσα να ειχα παρει πολυ περισσοτερα αν ειχα ακολουθισει καλυτερη τακτικη στη διαρκεια του διαγωνισμου. Τελος παντων, θα προσπαθησω για κατι καλυτερο του χρονου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 12:25 pm**

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 5:02 pm**

[quote="AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ"]Και η φοιτήτρια που πήρε χάλκινο είναι η Νεστορίδη (νομίζω κόρη του Βασίλη;)
quote]

Ναι, η Ευρυδίκη (Εβίτα) Νεστορίδη είναι κόρη του Βασίλη, Καθηγητή στο Μαθηματικό Αθηνών. Η μητέρα της Εβίτας είναι επίσης Μαθηματικός, σε Δημόσιο Σχολείο.
Η Εβίτα είναι σήμερα δευτεροετής φοιτήτρια ενώ πέρσι μπήκε πρώτη στο Μαθηματικό Αθηνών.
Πρόπερσι, ως μαθήτρια, η Εβίτα έδωσε στο Καγκουρό και, φυσικά, πήρε διάκριση.

Μιχάλης Λάμπρου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 5:07 pm**

Nα συγχαρώ κι εγώ τα παιδιά της ομάδας. Καλή συνέχεια και πάντα διακρίσεις, σε όλους τους τομείς της ζωής και τύχη (χρειάζεται)!!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 5:53 pm**

Nick1990 έγραψε:Ειμαι πολυ χαρουμενος με την επιτυχια αυτη της εθνικης μας ομαδας. Απο την αλλη ομως λυπαμε πολυ που δεν μπορεσα να γραψω κατι παραπανω, οχι για εμενα, αλλα για την εικονα της ελληνικης ομαδας... Αν και τα 2.5 απο τα 4 θεματα ηταν εξω απο τις δυναμεις μου (ως πρωτοετης φοιτητης δεν γνωριζω γραμμικη 2 ουτε εχω εξασκηθει ποτε με το Weirstrass) πιστευω πως απο τα υπολοιπα θα μπορουσα να ειχα παρει πολυ περισσοτερα αν ειχα ακολουθισει καλυτερη τακτικη στη διαρκεια του διαγωνισμου. Τελος παντων, θα προσπαθησω για κατι καλυτερο του χρονου.

Νίκο, χαίρομαι ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ που σας γνώρισα από κοντά, τόσο εσένα όσα τα υπόλοιπα παιδιά της ομάδας, Σιλουανό, Κώστα, Λεωνίδα και λοιπά. Το ίδιο και για τα παιδιά από το Δημοκρίτειο.

Όλοι σας είσαστε ξεχωριστοί. Άξιοι εκπρόσωποι της εθνικής ομάδας τόσο για τις Μαθηματικές σας επιδόσεις, όσο για την ζωντάνιά σας, την χαρά που εμπνέετε στο περιβάλλον σας (πολύ γέλασα με τα ανέκδοτα που λέγατε) και για την σπάνια σεμνότητά σας.

Εύχομαι περαστικά στο πόδι σου (για τους υπόλοιπους: Ο Νίκος είχε ένα ατύχημα παίζοντας ποδόσφαιρο μετά τον διαγωνισμό.)

Εύχομαι του χρόνου με Χρυσό.

Φιλικά

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 10:30 pm**

Συγχαρητήρια και από εμένα σε όλα τα παιδιά.

Στην 4β κάτι δεν καταλαβαίνω. Εγώ βρίσκω ότι ο Β είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν όλα τα α_κ είναι διαφορετικά. Τα β_κ τι ρόλο παίζουν;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 10:59 pm**

Υπαρχει τυπογραφικό $a_{ij}=a_i-b_j$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2009 11:13 pm**

Έχετε δίκιο! Μόλις τώρα το είδα... Έμπλεξα στους δείκτες την ώρα που το έγραφα και ιδού!! Ζητώ συγγνώμη από το Δημήτρη και οποιονδήποτε ασχολήθηκε με το θέμα...

Σιλουανέ σ'ευχαριστώ πολύ για την επισύμανση και συγχαρητήρια!!!

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 12, 2009 4:30 pm**

Να δωσω κι εγω συγχαρητηρια στα παιδια της ομαδας μας. Παντοτε ανοδος!

Για το προβλημα 3 :

1. Ισχυει οτι

$\left( \begin{array} {c c} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) ^2 + \left( \begin{array} {c c} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) ^ 2 = \left( \begin{array}{c c} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{array} \right)^2$

2. Για καθε $A \in SL_2 (\mathbb{Z})$ ισχυει οτι tr(A^2) = tr(A)^2 - 2

και $tr(A^4) = tr(A)^4 - 4 \ tr(A)^2 + 2$ .

Κατα συνεπεια, $tr(A^4) \equiv 2, 7 \mod 8$ . Οποτε $tr(A^4 + B^4) = tr(A^4) + tr(B^4) \equiv 1, 4, 6 \mod 8$ και δεν υπαρχει

με

.

Δημητρης Σκουτερης

mathematica.gr

SEEMOUS 2009

SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009

Re: SEEMOUS 2009