Διωνυμικό άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=m}^{m^2-m+1} \frac{\binom{m^2-2m+1}{k-m}}{k \binom{m^2}{k}}= \frac{1}{m \binom{2m-1}{m}}}$

#2

Με απλές πράξεις καταλήγουμε ότι το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το

$\displaystyle \sum_{k=m}^{m^2-m+1} \binom{m^2-k}{m-1} \binom{k-1}{m-1} = \binom{m^2}{2m-1}$

Το δεξί μέλος μετρά ασφαλώς τα υποσύνολα του $\{1,2,\ldots,m^2\}$ με 2m-1

στοιχεία. Αν το μεσαίο στοιχείο είναι στη θέση

, τότε $m \leqslant k \leqslant m^2-m+1$ . Υπάρχουν $\binom{k-1}{m-1}$ τρόποι να επιλέξουμε τα πρώτα m-1

στοιχεία και $\binom{m^2-k}{m-1}$ τρόποι να επιλέξουμε τα τελευταία m-1

στοιχεία. Άρα και το αριστερό μέλος μετρά το ίδιο πλήθος.

Διωνυμικό άθροισμα

Διωνυμικό άθροισμα

Re: Διωνυμικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση