Ανίσωση ολοκλήρωμα

Summand · #1

Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$ . Δίνεται επίσης ότι υπάρχουν

αριθμοί $x_1, x_2, ..., x_n \in [0,1]$ για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$ .

Να δειχτεί ότι:

$\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$

stranger · #2

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 3:00 pm
Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$ . Δίνεται επίσης ότι η μηδενίζει φορές στο .

Να δειχτεί ότι:

$\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$

Το

τι σχέση έχει με την άσκηση;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 3:00 pm
Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$ . Δίνεται επίσης ότι η μηδενίζει φορές στο .

Να δειχτεί ότι:

$\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται το

Δίνεται επίσης ότι η

μηδενίζει

φορές στο

το οποίο παρεπιπτόντως είναι και ασαφές.

Summand · #4

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 11:42 pm

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 3:00 pm
Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$ . Δίνεται επίσης ότι η μηδενίζει φορές στο .

Να δειχτεί ότι:

$\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$
Το τι σχέση έχει με την άσκηση;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 1:44 am

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 3:00 pm
Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$ . Δίνεται επίσης ότι η μηδενίζει φορές στο .

Να δειχτεί ότι:

$\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται το

Δίνεται επίσης ότι η μηδενίζει φορές στο

το οποίο παρεπιπτόντως είναι και ασαφές.

Όντως δεν χρειάζεται, απλά έτσι είχε δοθεί η άσκηση και είπα να το συμπεριλάβω σε περίπτωση που έχουμε λύση στην οποία χρησιμοποιείται. Εννοούμε ότι υπάρχουν

αριθμοί $x_1, x_2, ..., x_n \in [0,1]$ για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Summand έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 1:55 am

Όντως δεν χρειάζεται, απλά έτσι είχε δοθεί η άσκηση και είπα να το συμπεριλάβω σε περίπτωση που έχουμε λύση στην οποία χρησιμοποιείται. Εννοούμε ότι υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$

Ποιος την έδωσε έτσι την άσκηση ;
(η από πιο βιβλίο-σημειώσεις είναι )

Summand · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 2:03 am

Summand έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 1:55 am

Όντως δεν χρειάζεται, απλά έτσι είχε δοθεί η άσκηση και είπα να το συμπεριλάβω σε περίπτωση που έχουμε λύση στην οποία χρησιμοποιείται. Εννοούμε ότι υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$
Ποιος την έδωσε έτσι την άσκηση ;
(η από πιο βιβλίο-σημειώσεις είναι )

Δεν γνωρίζω από ποιο βιβλίο είναι, αλλά ήταν θέμα στο διαγωνισμό επιλογής του ΑΠΘ για την ομάδα του SEEMOUS 2020. Έχω μια λύση (την προτεινόμενη που μας δόθηκε), ψάχνω όμως να δω αν υπάρχει κάτι πιο απλό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Summand έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 3:56 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 2:03 am

Summand έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 1:55 am

Όντως δεν χρειάζεται, απλά έτσι είχε δοθεί η άσκηση και είπα να το συμπεριλάβω σε περίπτωση που έχουμε λύση στην οποία χρησιμοποιείται. Εννοούμε ότι υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$
Ποιος την έδωσε έτσι την άσκηση ;
(η από πιο βιβλίο-σημειώσεις είναι )
Δεν γνωρίζω από ποιο βιβλίο είναι, αλλά ήταν θέμα στο διαγωνισμό επιλογής του ΑΠΘ για την ομάδα του SEEMOUS 2020. Έχω μια λύση (την προτεινόμενη που μας δόθηκε), ψάχνω όμως να δω αν υπάρχει κάτι πιο απλό.

Ευχαριστώ για την απάντηση.
Θα την αφήσω κάποιες μέρες και αν δεν δοθεί λύση θα δώσω.
Να προσθέσω και ένα επιπλέον ερώτημα

Η σταθερά

στην ανισότητα είναι η καλύτερη δυνατή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 3:00 pm
Δίνεται $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\in C^1$ και $\int_{0}^{1}f=0$ . Δίνεται επίσης ότι υπάρχουν αριθμοί $x_1, x_2, ..., x_n \in [0,1]$ για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$ .

Να δειχτεί ότι:

$\displaystyle{2\int_{0}^{1}f^2\leq \int_{0}^{1}|f'|\int_{0}^{1}|f|}$

Για $x\in [0,1]$ είναι $\displaystyle\int_{0}^{x}f=-\int_{x}^{1}f$
Ετσι
$\displaystyle2|\int_{0}^{x}f|=|\int_{x}^{1}f|+|\int_{0}^{x}f|\leq \int_{0}^{1}|f|$

Κάνοντας παραγοντική είναι $\displaystyle \int_{0}^{1}f^2(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)(\int_{0}^{x}f(t)dt)'dx=-\int_{0}^{1}f'(x)(\int_{0}^{x}f(t)dt)dx\leq$
$\displaystyle \int_{0}^{1}|f'(x)||(\int_{0}^{x}f(t)dt)|dx \leq \frac{1}{2}\int_{0}^{1}|f'(x)|dx\int_{0}^{1}|f(t)|dt$

που δίνει την ζητούμενη.
Η ανισότητα ισχύει ακόμα και αν η $f\in C^1$ κατά τμήματα.

Αν πάρουμε την
$\displaystyle f_n(x)=1 for 0\leq x\leq \frac{1}{2}-\frac{1}{n}$
$\displaystyle f_n(x)=-1 for \frac{1}{2}+\frac{1}{n}\leq x\leq 1$
και γραμμική στο $[\frac{1}{2}-\frac{1}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]$
βλέπουμε ότι το

δεν μπορεί να μεγαλώσει.

Το ότι Δίνεται επίσης ότι υπάρχουν

αριθμοί $x_1, x_2, ..., x_n \in [0,1]$ για τους οποίους $f(x_i) = 0, 1\leq i \leq n$ .
μάλλον παραπλανητικό είναι.
Από τις υποθέσεις είναι άμεσο ότι η συνάρτηση μηδενίζεται σε τουλάχιστον ένα σημείο του (0,1)

Ανίσωση ολοκλήρωμα

Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση