IMC 2021/3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2021/3
Ονομάζουμε έναν θετικό πραγματικό αριθμό καλό αν υπάρχει μια άπειρη ακολουθία έτσι ώστε για κάθε τα σημεία διαμερίζουν το διάστημα σε τμήματα μήκους το πολύ το κάθε ένα.
Να βρεθεί το
Να βρεθεί το
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2021/3
Η απάντηση είναι .
Μέρος 1ο: Αν ο είναι καλός τότε .
Για κάθε , έστω η αναδιάταξη των τέτοια ώστε αν . Έστω επίσης και για . Τότε είναι για κάθε .
Όταν προσθέσουμε τον πρέπει τα διαστήματα που δημιουργούνται να είναι όλα μήκους το πολύ . Όμως, με την προσθήκη μόνο ενός στοιχείου, ακριβώς από τα διαστήματα που είχαμε πριν θα παραμείνουν του ίδιου μήκους. Οπότε για τουλάχιστον δείκτες ισχύει .
Όμοια, όταν προσθέσουμε τα τουλάχιστον από τα διαστήματα που είχαμε πριν θα παραμείνουν του ίδιου μήκους, οπότε για τουλάχιστον δείκτες ισχύει .
Γενικά, για τουλάχιστον δείκτες ισχύει , με .
Συμπεραίνουμε ότι . Όμως είναι , άρα .
Όμως, είναι , και , , (όπου η σταθερά Euler-Mascheroni), άρα και , οπότε για , συνεπώς , όπως θέλαμε.
Μέρος 2ο: Ο είναι καλός. Αποδεικνύουμε το εξής:
Ισχυρισμός: Μπορούμε να επιλέξουμε τα ώστε, μετά την επιλογή των , τα διαστήματα που δημιουργούνται να είναι μήκους , για κάθε .
Απόδειξη: Για είναι προφανές. Έστω ότι για έχουμε επιλέξει κατάλληλα τα . Τότε, έχουμε τμήματα μήκους:
, και θέλουμε να προσθέσουμε το έτσι ώστε να προκύψουν τμήματα μήκους
. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε αν ''σπάσουμε'' το τμήμα μήκους σε δύο τμήματα μήκους .
Πίσω στο πρόβλημα, ουσιαστικά μένει να δείξουμε ότι , για κάθε . Προφανώς το αριστερό μέλος ισούται με (όλα τα στοιχεία είναι της μορφής με και αυτό γίνεται μέγιστο για ), και είναι:
, και τελειώσαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 23 επισκέπτες