SEEMOUS 2021/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8643
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2021/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 22, 2021 10:06 am

Για p\in\mathbb{R}, ορίζουμε την ακολουθία (a_n)_{n\geqslant 1} ως

\displaystyle  a_n=\frac 1{n^p}\int_0^n\big|\sin(\pi x)\big|^x \,{\textrm d}x\,.

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του p για τις οποίες η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n} συγκλίνει.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3369
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: SEEMOUS 2021/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 22, 2021 8:37 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Ιούλ 22, 2021 10:06 am
Για p\in\mathbb{R}, ορίζουμε την ακολουθία (a_n)_{n\geqslant 1} ως

\displaystyle  a_n=\frac 1{n^p}\int_0^n\big|\sin(\pi x)\big|^x \,{\textrm d}x\,.

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του p για τις οποίες η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n} συγκλίνει.
Πολύ θα ήθελα να μάθω ποιος το πρότεινε.

Είναι \displaystyle \int_{0}^{n }|\sin \pi x|^x dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^x dx
Θέτοντας
\displaystyle d_k=\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^x dx, b_k=\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^k dx
είναι τετριμμένο να δούμε ότι
\displaystyle b_{k+1}\leq d_k\leq b_k
Είναι
\displaystyle b_k=\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^k dx=C\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin t)^k dx=Cr_k
Αυτός που ξέρει πολλά γνωρίζει ότι
https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals
και καθαρίζει.

Αλλιώς .
Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι \displaystyle r_k=\frac{k-1}{k}r_{k-2}
και με επαγωγή ότι υπάρχουν σταθερές c_1,c_2 ώστε

\displaystyle \frac{c_1}{\sqrt{k}}\leq r_{k}\leq \frac{c_2}{\sqrt{k}}(1-\frac{1}{k}),k\geq 2

Ετσι βγάζουμε το συμπέρασμα ότι υπάρχουν σταθερές d_1,d_2 ώστε

\displaystyle d_1\frac{1}{n^{p-\frac{1}{2}}}\leq a_n\leq d_2\frac{1}{n^{p-\frac{1}{2}}}

Αρα η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν p> \frac{3}{2}

συμπλήρωμα.
Διόρθωσα τυπογραφικό.
Ευχαριστώ τον Λ.Κατσάπα που μου το επισήμανε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8643
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2021/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:50 am

Αν και για έναν έμπειρο φαίνεται σχετικά βατό πρόβλημα, τελικά αποδείχθηκε αρκετά δύσκολο για τους φοιτητές και είχε μεγάλη δόση αποτυχίας.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2021/4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Ιούλ 29, 2021 2:50 am

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:50 am
Αν και για έναν έμπειρο φαίνεται σχετικά βατό πρόβλημα, τελικά αποδείχθηκε αρκετά δύσκολο για τους φοιτητές και είχε μεγάλη δόση αποτυχίας.
Δημήτρη, μήπως γνωρίζεις τα cut-offs του διαγωνισμού;


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης