SEEMOUS 2021/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8643
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2021/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 22, 2021 9:51 am

Έστω συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1\,.

(α) Να δείξετε ότι η ακολουθία (x_n)_{n \geqslant 1} η οποία ορίζεται ως

\displaystyle  
x_n=f\left(\frac{1}{1}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) + \cdots + f\left(\frac{1}{n}\right)-\int_{1}^{n}f\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}x

συγκλίνει.

(β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας (y_n)_{n \geqslant 1} η οποία ορίζεται ως

\displaystyle  
y_{n}=f\left(\frac{1}{n+1}\right)+f\left(\frac{1}{n+2}\right)+ \cdots +f\left(\frac{1}{2021n}\right).



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: SEEMOUS 2021/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Ιούλ 22, 2021 12:15 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Ιούλ 22, 2021 9:51 am
Έστω συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1\,.

(α) Να δείξετε ότι η ακολουθία (x_n)_{n \geqslant 1} η οποία ορίζεται ως

\displaystyle  
x_n=f\left(\frac{1}{1}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) + \cdots + f\left(\frac{1}{n}\right)-\int_{1}^{n}f\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}x

συγκλίνει.

(β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας (y_n)_{n \geqslant 1} η οποία ορίζεται ως

\displaystyle  
y_{n}=f\left(\frac{1}{n+1}\right)+f\left(\frac{1}{n+2}\right)+ \cdots +f\left(\frac{1}{2021n}\right).
a)
x_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}[f(1/k)-\int_{k}^{k+1}f(1/x)dx]+f(1/n)\geq \sum_{k=1}^{n-1}[f(1/k)-\int_{k}^{k+1}f(1/k)dx]+f(1/n)=
=f(1/n)> 0

αλλιώς υπάρχει n_{0} ακέραιος ώστε f(1/n_{0})\leq 0 και λόγο αύξουσας f(x)\leq 0 για x> 0 κοντά στο μηδέν άρα \limsup_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)/x\leq 0 άτοπο

x_{n+1}-x_{n}=f(\frac{1}{n+1})-\int_{n}^{n+1}f(\frac{1}{x})dx\leq f(\frac{1}{n+1})-\int_{n}^{n+1}f(\frac{1}{n+1})dx=0

άρα x_{n} κάτω φραγμένη και φθίνουσα άρα συγκλίνει στο l\in \mathbb{R} (1)

b)
y_{n}=\sum_{k=1}^{2020n}f(\frac{1}{n+k})=x_{2021n}-x_{n}+\int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})dx (2)

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)}{x}=\lim_{u\rightarrow \propto }(f(\frac{1}{u})u)=1

τυχαίο \varepsilon >0 τότε υπάρχει N\in \mathbb{N}:\forall x\geq N\Rightarrow |f(\frac{1}{x})x-1|<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1-\varepsilon }{x}<f(1/x)<\frac{1+\varepsilon }{x}

οπότε για n\geq N έχουμε \int_{n}^{2021n}\frac{1-\varepsilon }{x}dx\leq \int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})dx\leq \int_{n}^{2021n}\frac{1+\varepsilon }{x}dx \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (1-\varepsilon )ln2021\leq \int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})\leq (1+\varepsilon )ln2021

και αφού \varepsilon >0 τυχαίο έχουμε \lim_{n\rightarrow \propto }\int_{n}^{2021n}f(\frac{1}{x})dx=ln2021 (3)

από (1) (2) (3) έχουμε \lim_{n\rightarrow \propto }y_{n}=ln2021


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης