Γινόμενο

Tolaso J Kos · #1

Έστω

η ακολουθία Fibonacci η οποία ορίζεται ως F_0=0

,

και για $n \geq 1$ ισχύει $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=0}^{\infty}\frac{\cosh(F_{n+1})+i\sinh(F_n)}{\cosh(F_{n+1})-i\sinh(F_n)}=i\left(\frac{e+i}{e-i}\right)^2}$

Summand · #2

Επαναφορά!

#3

Μπορούμε να πάρουμε το γινόμενο από n=1

ως $\infty$ αφού για n=0

ο παράγοντας είναι ίσος με

.

Ας γράψουμε

$\displaystyle \cosh{F_{n+1}} + i\sinh{F_n} = r_ne^{i\vartheta_n}$ με r_n > 0

και $\vartheta_n \in (0,\pi/2)$

Τότε

$\displaystyle \begin{aligned} \tan{\vartheta_n} &= \frac{\sinh{F_n}}{\cosh{F_{n+1}}} = \frac{e^{F_n}-e^{-F_n}}{e^{F_{n+1}} + e^{-F_{n+1}}} \\ &= \frac{e^{F_n-F_{n+1}} - e^{-(F_n+F_{n+1})}}{1 + e^{-2F_{n+1}}} \\ &= \tan\left(\arctan(e^{-F_{n-1}}) - \arctan(e^{-F_{n+2})} \right) \end{aligned}$

Άρα $\displaystyle \vartheta_n = \arctan\left(e^{-F_{n-1}}\right) - \arctan\left(e^{-F_{n+2}}\right) \in (0,\pi/4)$

Έχουμε επιπλέον $\displaystyle \cosh{F_{n+1}} + i\sinh{F_n} = r_ne^{-i\vartheta_n}$

Γράφοντας $x_m = \arctan\left(e^{-F_m} \right)$ , έχουμε

$\displaystyle \prod_{n=1}^N \frac{\cosh{F_{n+1}} + i\sinh{F_n} }{\cosh{F_{n+1}} - i\sinh{F_n} } &= \prod_{n=1}^N e^{2i\vartheta_n} = e^{2i(\vartheta_1 + \cdots + \vartheta_N)} = e^{2i(x_0+x_1+x_2 - x_N - x_{N+1} - x_{N+2})} \to e^{2i(x_0 + x_1+x_2)}$

Έχουμε τώρα $x_0 = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}$ και $x_1 = x_2 = \arctan(1/e)$

Έχουμε όμως και

$\displaystyle \frac{e+i}{e-i} = e^{2i\arctan(1/e)}$

και επειδή $i = e^{i\pi/2}$ το ζητούμενο έπεται.

Γινόμενο

Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση