Γινόμενο

Tolaso J Kos · #1

Για κάθε θετικό ακέραιο

έστω $\omega(n)$ το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων

τέτοιο ώστε το

να είναι δύναμη του

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{\omega(n)}{n+1} \right )^{1/n} = 1 }$

#2

Θέτοντας $f(n) = \omega(n)/n$ , αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} f(n)^{1/n} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n}\right)^{1/n} \neq 0$

Ισοδύναμα θέλουμε

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}$

Οι δυνάμεις $k^2,k^3,\ldots$ συνεισφέρουν $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty} \frac{\log(k)}{k^m} = \frac{\log(k)}{k^2(1-1/k)} = \frac{\log(k)}{k(k-1)}$ στο άθροισμα. Προσοχή στο ότι δεν λαμβάνουμε υπόψη τον αριθμό

διότι

.

Άρα

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\log(k)}{k(k-1)} = \sum_{k=2}^{\infty} \log{k}\left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}$

όπως θέλαμε να δείξουμε. Στην πρώτη ισότητα της τελευταίας γραμμμής αλλάξαμε τη σειρά με την οποία αθροίζουμε τους όρους, κάτι που επιτρέπεται μιας και όλοι οι όροι είναι μη αρνητικοί.

Γινόμενο

Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση