Γινόμενο

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 14, 2021 3:28 pm

Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω \omega(n) το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων k τέτοιο ώστε το n να είναι δύναμη του k. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{\omega(n)}{n+1} \right )^{1/n} = 1 }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 18, 2021 1:58 pm

Θέτοντας f(n) = \omega(n)/n, αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle  \prod_{n=1}^{\infty} f(n)^{1/n} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n}\right)^{1/n} \neq 0

Ισοδύναμα θέλουμε

\displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}

Οι δυνάμεις k^2,k^3,\ldots συνεισφέρουν \displaystyle  \sum_{m=2}^{\infty} \frac{\log(k)}{k^m} = \frac{\log(k)}{k^2(1-1/k)} = \frac{\log(k)}{k(k-1)} στο άθροισμα. Προσοχή στο ότι δεν λαμβάνουμε υπόψη τον αριθμό k διότι f(k) = 1.

Άρα

\displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\log(k)}{k(k-1)} = \sum_{k=2}^{\infty} \log{k}\left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}

όπως θέλαμε να δείξουμε. Στην πρώτη ισότητα της τελευταίας γραμμμής αλλάξαμε τη σειρά με την οποία αθροίζουμε τους όρους, κάτι που επιτρέπεται μιας και όλοι οι όροι είναι μη αρνητικοί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες